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2013高考函数基本性质专题练习及答案


2013 高考函数基本性质综合练习
1.函数 y ?| x | 与 y ? ( )

x2 ? 1 在同一坐标系的图象为

2.f(x)是定义在 R 上的偶函数,它在 [0,?? ) 上递减,那么一定有( )

A. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) C. f (? ) ? f (a 2 ? a

? 1)

3 4

B. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1)

3 4

3 3 D. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4 4 3.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(3)=0,则使得 f(x)<0

的 x 的取值范围是(

) B.(-∞,3) C.(3,+∞) D.(-3,3)

A.(-∞,3)∪(3,+∞)

4. 10.(2010·浙江高考理科·T10) 设函数的集合 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? ,平面上点的集合

? ?

1 2

1 2

? ?

? ? 1 1 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? ,则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x) 的图象 2 2 ? ?
恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是( ) .. (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

5.(2010·重庆高考理科·T5)函数 f ? x ? ? A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称

4x ? 1 的图象( ) 2x

B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

6.(2009· 陕西文,10)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1 ,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 f(x2)-f(x1) x2-x1 <0,则( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

7. 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于( A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5 8.已知 f(x)=ax +bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=_____________。
3

)

9.(2010· 温州一模)设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如 图所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

10. ( 2007 上 海 春 , 5 ) 设 函 数 y ? f ( x ) 是 奇 函 数 。 若 f (?2) ? f (?1) ? 3 ? f (1) ? f (2) ? 3, 则

f (1) ? f (2) ? ___________。

解答题: 1.设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 1 f ( x) ? g ( x) ? ,求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式. x ?1

2.已知 g(x)=-x -3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值是 1,且 f(x)+g(x) 是奇函数,求 f(x)的表达式。

2

3.已知函数 f ( x) ? 是增函数,

ax 2 ? 1 (a, b, c ? N ) 是奇函数, f (1) ? 2, f (2) ? 3, 且 f ( x)在[1, ??) 上 bx ? c

(1)求 a,b,c 的值; (2)当 x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.

4.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?7,7 ? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数; (2) f ( x ) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (2a ? 5) ? 0, 求 a 的取值范围。

5.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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取得最小值 ?5 。 ① 证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ② y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; 求

③ y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。 求

6.(2010 辽宁文数)已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | .

7.(2006 福建,21)(12 分)已知函数 f (x) ? ?x ? 8x, g(x) ? 61nx ? m. (1)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (2)是否存在实数 m,使得 y ? f ( x ) 的图象与 y ? g( x ) 的图象有且只有三个不同的交
2

点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

8.(探究创新题)若函数 f(x)对定义域中任意 x 均满足 f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数 y=f(x) 的图象关于点(a,b)对称. (1)已知函数 f(x)=

x 2 ? mx ? m 的图象关于点(0,1)对称, x

求实数 m 的值; (2)已知函数 g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点( 0,1)对称,且当 x∈(0,+∞) 时,g(x)=x2+ax+1,求函数 g(x)在 (-∞,0)上的解析式; (3)在(1)(2)的条件下,当 t>0 时,若对任意实数 x∈ (-∞,0),恒有 g(x)<f(t)成立,求实数 a 的取值范围.

9.设 f ( x) ? log 1 (1)求 a 的值得;

1 ? ax 为奇函数, a 为常数. 2 x ?1

(2)证明 f(x)在区间(1,+ ? )内单调递增; (3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f ( x ) ? ( ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值
x

1 2

范围.

习题答案 1-8.ABDB BDAB (8)-26 (9)(-2,0)∪(0,2) (10)-3

1 1 ? ? f ( x) ? g ( x) ? , f ( x) ? g ( x) ? ? ? x ?1 x ?1 1. ? ?? 1 1 ? f (? x) ? g (? x) ? ?? f ( x) ? g ( x) ? ? , ? x ?1 x ?1 ? ? x 1 , g ( x) ? 2 得 f ( x) ? 2 . x ?1 x ?1
2.解:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 则 f ( x) ? g ( x) ? (a ?1) x2 ? bx ? c ? 3 是奇函数

?a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ?? ?? , ?c ? 3 ? 0 ?c ? 3
b 1 f ( x) ? x 2 ? bx ? 3 ? ( x ? ) 2 ? 3 ? b 2 2 4 b 1 (1)当 ?1 ? ? ? 2 即 -4 ? b ? 2 时,最小值为: 3 ? b 2 ? 1 ? b ? ?2 2 4 2

?b ? ?2 2, f ( x) ? x2 ? 2 2x ? 3
b ? 2 即 b ? ?4 时,f(2)=1 无解; 2 b (3)当 ? ? ?1 即 b ? 2 时, 2

(2)当 ?

f (?1) ? 1 ? b ? 3, f ( x) ? x2 ? 3x ? 3
综上得: f ( x) ? x2 ? 2 2 x ? 3 或 3.解:(1) f ( x ) 是奇函数,则

f ( x) ? x2 ? 3x ? 3

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? ? c ? 0 由 f (1) ? 2得 a ? 1 ? 2b , ?bx ? c bx ? c ?bx ? c

由 f (2) ? 3 ?

a?2 ? 0 ? ?1 ? a ? 2 a ?1

又 a ? N ,? a ? 0,1 .
1 当 a ? 0时, b ? ? N , 舍去. 2

当 a=1 时,b=1, f ( x) ?

x2 ? 1 1 ? x? x x

5. 解:∵ f ( x) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) ,

又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) ,∴ f (1) ? f (4) ? 0 。 ② x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 当 由

f (1) ? f (4) ? 0



a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0





a?2



∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) 。

x(1 ) ③ y ? f ( ) ? ? x ?1 ∵

是奇函数,∴ f (0) ? 0 ,

又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数, ∴ 可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2)2 ? 5 ? ?3 , ∴k ? ?3 ,∴ 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 当 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x 。 ∴ 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 , 当 ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 。 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5 ∴ f ( x) ? ?

??3x ? 15,

4? x?6 6? x?9
a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

2 ?2( x ? 7) ? 5,

6.解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a ? a ?1 )单调增加,在 2a

x∈(

?

a ?1 , + ? ) 时 , f ?( x ) < 0, 故 f(x) 在 ( 0, 2a

( ?

a ?1 ,+ ? )单调减少. 2a

(Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少.

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2, 即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 g ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4= . x x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .
2 2 7. 解析:(1) f (x) ? ?x ? 8x ? ?(x ? 4) ? 16,

当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,

h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1) 2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7; 当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h ( t ) ? f (4) ? 16;
当 t ? 4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,

h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t.
?? t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? h ( t ) ? ?16, 3 ? t ? 4, ? 2 t ? 4. ?? t ? 8 t , 综上,
( 2 ) 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 与 y ? g( x ) 的 图 象 有 且 只 有 三 个 不 同 的 交 点 , 即 函 数 ?( x ) ? g( x ) ? f ( x ) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

? ?( x ) ? x 2 ? 8x ? 61nx ? m,? ??( x ) ? 2x ? 8 ? 2x 2 ? 8x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ( x ? 0), x x 当 x ? (0,1) 时, ??( x ) ? 0, ?( x ) 是增函数; 当 x ? (1,3) 时, ??( x) ? 0, ?( x) 是减函数; ?
当 x ? (3,?? ) 时, ??( x ) ? 0, ?( x ) 是增函数; 当 x ? 1或 x ? 3 时,

6 x

??(x) ? 0.??(x) 极大值 ? ?(1) ? m ? 7 , ?(x) 极小值 ? ?(3) ? m ? 61n3 ? 15. ∵当 x 充分接近 0 时, ?( x ) ? 0, 当充分大时, ?( x ) ? 0.
∴要使 ? ( x ) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,有且只有

? ??(x) 极大值 ? m ? 7 ? 0, ? ??(x) 极小值 ? m ? 61n3 ? 15 ? 0, 即 7 ? m ? 15 ? 61n 3. ? 所以存在实数 m,使得函数 y ? f ( x ) 与 y ? g( x ) 图象有且只有三个不同的交点,m 的
取值范围为 (7,15 ? 61n 3).

8. 【 解 析 】 ( 1 ) 由 题 设 可 得 f(x)+f(-x)=2, 即
m ? 1.

x 2 ? mx ? m x 2 ? mx ? m + =2 , 解 得 x ?x

(2)当 x<0 时,-x>0 且 g(x)+g(-x)=2, ∴g(x)=2- g(-x)=-x +ax+1. (3)由(1)得 f(t)=t+ +1(t>0),其最小值为 f(1)=3.

2

1 t

a2 g(x)= -x +ax+1=-(x-a/2) +1+ , 4
2 2

①当

a a2 ? 0,即a ? 0时,g(x)max ? 1 ? ? 3, 得a ? (?2 2, 0); 2 4

a ? 0,即a ? 0时, g ( x) max ? x ? 3, 得a ?[0, ??); ②当 2 由①②得a ? (?2 2, ??).

9. 【解析】(1)由已知 f(x)+f(-x)=0 即
log 1 1 ? ax 1 ? ax ? log 1 ? 0, 2 x ?1 2 x ?1 1 ? a2 x2 1 ? a2 x2 ? 0,? ? 1, 2 1 ? x2 2 1? x 1? x ? log 1 (?1), 无意义,舍去. 2 x ?1 2

亦即: 1 log

即(a 2 ? 1)x 2 ? 0, 又a ? 1时,f ( x) ? log 1 ? a=-1.
(2)由(1)得 f ( x) ? log 1
2

x ?1 , x ?1

设1 ? x1 ? x2 , 则 ?

x1 ? 1 x2 ? 1 2( x2 ? x1 ) ? ? ? 0, x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x1 ? 1 x2 ? 1 ? ? 0, x1 ? 1 x2 ? 1
2

从而 log 1

x1 ? 1 x ?1 ? log 1 2 , x1 ? 1 2 x2 ? 1

即f ( x1 ) ? f ( x2 ), ? f ( x)在(1, ??)内单调递增.
(3)原不等式可化为 f ( x) ? ( ) ? m.
x

1 2

1 令? ( x) ? f ( x) ? ( ) x , 则? ( x) ? m对于区间[3, 4]上的每一个x都成立等价于 2 ? ( x)在[3, 4]上的最小值大于m. ?? ( x)在[3, 4]上为增函数, ?当x ? 3时,? ( x)取得最小值, log 1
2

3 ?1 1 3 9 9 ? ( ) ? ? ,? m ? ? . 3 ?1 2 8 8


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