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2013年新知杯上海市高中数学竞赛


中 等 数 学 

2 0 1   3年新知杯上海 市高 中数学竞赛 
中图分类号: c 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 5— 0 0 2 8—0 4  

【 说明】 解答本试卷不得使用计算器.  


二、 解答题 ( 共6 0 分)  
9 . ( 1 2 分) 正数 数列 { a   } 的前 I t项 和 为 b   ,  



填空题 ( 第 1 ~ 4小 题每题 7分 , 第 5~ 8   )=   +   + C  

小题 , 每题 8分 , 共6 0分 )  

数列 { b   } 的前 I t项 积 为 c   , 且 b  +2 c  = 1  

1 . 若在 区间 [ 2 , 3 ] 上, 函数 
‘ 

与g (   )=  +   在 同一点 取相 同的最小值 , 则函  
数  ) 在[ 2 , 3 ] 上 的最大值为一 2 . 若a 、 b 、 C 、 d 为整数 , 且  则有序数组 ( a , b , c , d )= 一 3 . 已知 函数     

(  ∈z + ) . 求数列{   } 中最接近2   0 1 3 的数.   L   c   n   J  
l 0 . ( 1 2分 ) 已知 正数 P及 抛物线 C : Y   =  

( p > 0 ) , A ( 詈 , 0 ) 为 抛 物 线 c 对 称 轴 上 一 点 , 0 为  
抛物线 C的顶 点 ,   为抛物线 C上 任意一 点. 求  的最大道.  
1 1 . ( 1 8 分) 已知 

a l g   2 +b i g   3+c l g   5 +d i g   7 =2   0 1 3.  

Y =√ (  一 2 )   + (  一 5 )  +√ (  一 3 )   +  .  
则该 函数 的最小值为— — .   4 . 已知线段  + Y = 9 (  I >0 , y ≥O ) 与Y 轴、 指 

k ( a b + 6 c + c a ) > 5 ( a   + b   + C   ) .  
明: k> 5;  

① 

( 1 ) 若存在 正数 a 、 b 、 C 使 不等 式① 成 立 , 证  ( 2 ) 存在正数 a 、 b 、 c 使不等式①成立 , 且凡使  不等式①成立 的任意一组正数 a 、 b 、 c 均为某个三 
角形的三边 长 , 求满足条件 的整数 k .   1 2 . ( 1 8 分) 如图 2 , 已知棱 长 为 1的正 方体 
A B C D E F G H, P为 其 八 个 顶 

数函数 Y = a   的图像 、 对数 函数 Y = l o g   的图像 、  
轴分别交于点 A 、  、 C 、 D, 其中, a> 0 , a ≠1 . 若 中  间两点恰三等分线段 A D, 则a =   5 . 如图 1 , 已知 
2  

椭圆 c:   + Y   =1 和oD:   + y 2 :1 ,   在椭圆 C内, 且在 o0外 的区域 内 ( 包括边界 ) 所  含圆 的最大半径 为— — .  
) ,  

点构成 的集 合. 规定 2 n+1   ( n ∈ Z+ ) 个 有 序 顶 点 组 
( A o   。 …A :   ) 满 足点 A 。 与A  

/,
\ 、 、  

r  、 } 、


、  
i  

重合, 且对每个 i ∈{ 0 , 1 ,   2 n一1 } , A … 与  是 集  合 P中的相邻顶点.  


C  



图2  

图 1  

( 1 ) 求顶点 A   所有可能 的位置 ;   6 . 关 于 m、 n的方 程  十 一 1
Ht   t  I
一  

:  

m n 

q 

的整 数 

( 2 ) 若用 J s   表示 A   =C的所有 2  +1 个有 

解( m, t I )= 一

 

序顶点组 ( A 。   …A :   ) 的个数 , 求. s   .  

7 . 袋中有 6只红球和 8只 白球 , 任 意取 五只 

参 考 答 案 


球放人  盒中 , 其 余九 只球 放人 B盒 中. 则 A盒 
中白球 个数 与 日盒 中红球 个数之 和不 是素数 的 


1 . 1 5 —4  

.  

概率为— — ( 用数字作答 ) .   8 . 若在集合 { 1   1 , 2   1 , …, 1 0 0   1 } 中删 去一个元 

 ̄- , g t , N, g(  )=  

6  >2   4 6 - - , 当  =  


素后 , 余下元素 的乘积恰为一个完全平方数 , 则删  去 的这个元素为 

E[ 2 , 3 ] 时, 上式 等号成立 , 即g ( x ) 在  = √   时取 

到最小值 2 5.  

2 0 1 4年第 5期 

2 9  

于是 , 由题意得 

由( / 7 , , n+1 )=1 =( n , / / , 一1 ) , 知n   1 4 .   于是 , n= ±1 , ± 2, ±4 .  

)=(  一 √ 6 )  + 2 , g.   又3 一   >   一 2 , 则  ) 在[ 2 , 3 ] 上 的最大 
值为  3 ) = 1 5- 4   .   2 . ( 2   0 1 3, 0 , 2   0 1 3, 0 ) .  
由题意得 
2 。×3   ×5  ×7 d=1 0   o ¨ =2 2   0 。  ×5 2   0 1 3
.  

经检验 , 只有当 凡 = 2时 , m为非零整数 3 .  
21 3   。 1   0 0 1‘  

设 A盒 中有 白球 n ( 0 ≤n ≤5 ) 个, 则  盒中有  红球 5 一n 个; B盒 中有 白球 8一 n个 , 红 球 n+1   个. 于是 , A盒 中白球个数与 B盒中红球个数之和  为2 n +1 , 且1 ≤2  +1 ≤1 1 .  

由算术基本定理知  ( 1 7 , , b , c , d )=( 2   0 1 3 , 0, 2   0 1 3 , 0 ) .  
3 .   .  

注意到 , 2  +1 为奇数 , 非 素数 只有 1 或9 , 即 
, t = 0或 4 .  

函数 ) , 可视 为抛 物线 Y=   上 的点 P(  ,  )  
到点 m( 5 , 2 ) 及 N( O , 3 ) 的距离之和.   由图像易知 , 当点 P为线段 MN与抛 物线 的 

故所求 粹
8 . 5 0   1 .  

P=  
‘  .  

=  

.  

1   UU l  

交点时 , Y 最小 , 此时 ,  
Y   i  = I MN I =   2 6.  

记 A=1   1 × 2   1 ×… ? ×1 0 0   1 .  

4。 3 0 6或   6

.  

因为 ( 2 . 1 } ) ! =( 2 k ) ? ( 2 k 一1 ) ! , 所 以,  
A=( 1   1 )  x 2×( 3   1 )  x 4×… ×( 9 9   1 )  ×1 0 0  


显然 , A ( 0, 9 ) , D( 9 , 0 ) .  

当A  = ÷A D时, 点  ( 3 , 6 ) .  
于是 , 6= 0   0 =   .  

( 1   1 × 3   1 ×… x 9 9   1 )   ( 2   x 4× 6×… ×1 0 0 )   ( 1   1 ×3   1 ×… x 9 9   1 )  ( 2  )  × 5 0   1 .  



当A 曰= ÷A D时, 点B ( 6 , 3 ) .  
于是 , 3=0  
一 2 5。  

于是 , 删去 5 o ! 后余 下的元素之积  恰为完 
全平方数.  

口=   .  

接下来证明 : 删去 5 0   1 是唯一 的.   若还能删去 k ! , 使得 也为完全平方 , 则 
!  

要使所含 圆的半径 r 最大 , 其 圆心又 在  轴  上, 且与o0外切 , 与椭圆 c在第一象限内仅有一 
个公共点.   由对称性 , 设 所求 圆  的方程 为  (  一 r 一1 )  + y   =r  
j  Y  =r  一(  —r 一1 )   .  

当5 0< k ≤1 0 0时 ,  
A  


5l×5 2  

. ×k  

k!  

也 为完全平方数 ;  
当1 ≤  < 5 0 时,  
A 

代入椭 圆方程得 

美+ r   一 (   — r 一 1 )   = 1  
=  2 4 x   一5 0 ( , +1 )  +5 0 ( r +1 )=0 .  

芋= (   + 1 ) ( 后 + 2 )  ? × 5 o  
5 0   1  

由 △= 2   5 0 0 ( r +1 )  一 4   8 0 0 ( r + 1 )= 0  
2 3  
r   ?  

也为完全平方数.  

6 . ( 3 , 2 ) .   显然 , m≠0 , n #O .   将 已知方程变形成 
m =  .  

因为 5 3为 素 数 , 且 5 3×2>1 0 0 , 所 以, 当 
5 3 ≤| i } ≤1 0 0时 , 5 1× 5 2×… × k不可能 为完全平 

方数 ( 所含 5 3的指数为 1 ) , 且5 1 、 5 1 × 5 2均不 为 
完全平方数.   因为 4 7是 素 数 , 所 以, 当 1≤k≤4 6 时,  

中 等 数 学 

当t ≠1时 , 由  ∈ R, 知 

4 8× 4 9× 5 0 、 4 9× 5 0 、 5 0均不为完全平方数.   综上 , 删去 的元素 5 0   1 是 唯一 的.  
二、 9 . 因为 0 l =b l =C 1 , 所 以, 在 b  +2 c  =1  

△ = p   [   一 2   1 (   ) ]  
一  

4  

( n∈ Z+ ) 中令 凡= 1 , 得 
3 口, =   j 口  =   .  

当凡 >2时 , I 由6   =  
=?   =  

及6   + 2 c   = 1 , 得 

甘 t ≥   或   ≤ 詈 .   当 t = 詈 时 , 有   : 号 ; 且 当   ≥ 0 时 ,   詈 甘   巩 
2  



+ 

又一 1



一 :

3, 于是 ,  

即 对 一 切   t > 0 , 有 z ≤ 詈 ( 从 而 , z ≥   不 可 能 ) .  
于 是 , f 的 最 大 值 为 詈 ?  



C 

3 + 2 ( n— 1 ) : 2 n + 1 ( n∈ z+ ) .  

故  

= 丁 C n - 1 = 2 丽 n - 1 ( n   .  

眦(  
由不等式①知 

.  

1 1 . ( 1 ) 因为 口   + b  + c   ≥a b + 6 c + c 0 , 所以,  

该 结 果 对 n = 1 也 成 立 ( 因 为 6 。 = 口   = ÷ ) .  
-6 n  
=  

( a b + b c + c 0 ) > 5 ( a b + b c + C O , ) .  

一  

注意到 , a 、 b 、 C 为正数.  
于是 , a b +b c +C O , > 0 .   故 k> 5 .  

( n ≥2 ) .   / 1 , 2 -   1 ( n ≥2 )
.  

于是 ,   t  ̄ 0 。4 4  


( 2 ) 由( 1 ) 知k > 5 .  

又 k为整数 , 则k 16 > .  


1   9 3 5   3
,  



-  =  

斗  口4 5  

= 2   0 2 4 { 4 .  

取 0:1 , b : 1 , c = 2 . 易知 , 口 、 b 、 C 不是某 三角 
形三边长.  

经 比较  最接 近 2   0 1 3 .   1 0 . 设点 M( x , y ) . 则  ≥ O , 且y 。 =p x .  

由题意 , 知其不能使不等式①成立 , 即 
k ( 1+ 2+ 2 ) ≤5 ( 1+1+ 4 )   k ≤6 .  

从而 , k = 6 .  

故   前  


接下来证明 : k = 6 .   此时 , 不等式①为 

6 ( a b + 6 c + c 0 ) > 5 ( 0   + b   + c   ) .  

② 

争+  +  
: ±  


注意到, 0 = 1 , b = l , c = ÷满足不等式②.  
设0 、 b 、 c 满足不等式②.  
由对称性 , 不妨设 o ≤6 ≤c .  



 

2 + 

蠹  
. 则 
+ 

将不等式②化成  5 c   一 6 c ( 口 + b )+ 5 a   + 5 b   一 6 a b < O .  
= 一

设t : — 
+ 

③ 

故 A=[ 6 ( 口+ b ) ]  一 2 0 ( 5 a   + 5 b   一 6 a b )  
6 4( 0一b )  + 6 4 a b   ≤6 4 a b ≤1 6 ( 口+b ) 2 .  

( t - 1  + p  一 2 卜蠢  .  

2 0 1 4年第 5期 

3 1  

于是 , 由不等式③得 
c<   ≤ 

设( A 。 A 。 …  2   A 2 川A 2   + 2 ) 是满足条件的 2 凡+ 3  



 

个有序顶点组 , 即 
A 0=A, A2   + 2= C .  

=口 +b .  

当A  =C时 , ( A 。 A   …A 知) 有  个 , 而A   + 。 有  三种可能性 , 故这类 2 n + 3 个有序顶点组有 3 S 2   个  当A :   是 顶点 A、 F、 日 中的一个 时 ,  :   + 。 均只 

从而 , 口 、 b 、 C 是某 三角形 的三条边长.  

综上 , 所求 的整数 k = 6 .  

1 2 . ( 1 ) 分别 以 A B、 A D、 A E为 、   轴建立 空 
间直 角坐标 系. 则  A ( O , 0 , 0 ) , B ( 1 , 0 , 0 ) , …, 日( 0 , 1 , 1 ) .  

有两种 可能. 由于所 有 的 2 n+1个 有序 顶 点 组 
( A 。 A 。 …A  ) 有3  个 , 故 这类 2 n+3个有 序顶 点  组有 2 ( 3  — S  ) 个.   贝 0   S 2   + 2 = 3 S 2   + 2 ( 3 2 “ 一 S 2   )= S 2   + 2 × 3 2   .  
又S 2 = 2 , 于是 ,   S 2   =( | s 2   一 I s 2   一 2 ) +… +( S 4 一 . s 2 ) + I s 2  
=2 ( 3  一  +3  一  +… + 3   )+2  

若A … 与A   为相邻顶点 , 则A … 只有把 A i 的 
某一维坐标 由 0变 1 , 或由 1 变0 .   从而 , A …与 A   的三 维坐标 之 和有不 同的奇  偶性.  
注意到 , A 0 = A ( 0 , 0 , 0 ) .  

于是 , A :   的三维坐标之和必为偶数.  
因此 , 只 能 是 A( 0 , O , O ) 或 C( 1 , 1 , 0 ) 或  F ( 1 , 0 , 1 ) 或H ( o , 1 , 1 ) .   ( 2 ) 考虑 5 2 n + 2 与I s  的关系.  

: 2 ( 9   + 9   +. . . + 1 ) :  

.  

( 顾鸿达 凯 命题 )  

李大元  刘 鸿坤  叶 声扬  康士 



稿

启  事 

本刊是 以报道 中学 数学课外 活动 和数学竞赛为 中心 内容的专业 刊物。欢迎作者为数 学活动课  程讲座、 命题 与解题 、 自主招生与数 学竞赛、 学生习作 、 初 等数 学研 究、 赛题新 解、 数 海拾 贝、 课 外训 
练、 数 学奥林 匹克 问题等栏 目撰稿 。来稿请注意以下各项 :  

1 . 内容要新颖 , 形式要活泼 , 提倡短小精悍 , 讲 清一 、 两个 问题 , 不要 “ 大而全 ” 。来稿一般不超 
过3   0 0 0字 , 长文不超过 4   0 0 0字 。  

2 . 讲 座稿应 附有相应 的练 习题 ( 5~ 7 个) , 并 随练习题给出提示 。  

3 . 文中例题最好选用 国内外 的竞赛试题 , 并请注意标 出竞赛名称 ( 全称) 、 届次和时间。   4 . 凡 为本 刊课 外训 练和数 学奥林 匹克 问题栏 目提供的稿件 , 请注意 : 试题 内容范围以中国数学 

会普及 工作委员会 制定 的《 数学竞赛大纲》 为准 ; 题 目要 有新意 ( 不 能用成题 ) , 要 注明是 自编 或改  编, 改编题需注 明原题 出处 。为数 学奥林 匹克 问题栏 目投稿 时 , 题 目要一式两份 。  
5 . 来稿 可用 1 6 开稿 纸誊写 , 字迹清晰 , 电子稿排 版格式规范 , 插 图力 求准确并 随文 绘 出, 外文  字母 的正斜体 、 大小写 、 上下角标清楚 、 准确无误 。   6 . 参考 文献请用顺序编码制 , 在正文引用处注 明。   7 . 本 刊已加人多个数据库并在 网上发行 , 如作者不 同意所著文章被数据库 收录 , 请在来稿 时声  明。来稿 三个月未 收到 录用通知可 自行处理 , 恕不退稿 。为联系方便 , 请注 明联系电话 、 邮箱。  

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