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北京市海淀区2016届高三下学期期中冲刺练习 数学文-100教育


北京市海淀区 2016 届高三下学期期中练习

数学(文)试题
本试卷共4 页,150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合A= ?x ? z | ?2 ? x

? 3? ,B= ?x | ?2 ? x ? 1 ? ,则 A ? B = A. ??2, ?1,0? ? ? B . ??2, ?1,0,1? ? ? C . ?x | ?2 ? x ? 1 ? ? D. ?x | ?2 ? x ? 1? 【知识点】集合的运算 【试题解析】由题知:A={-2,-1,0,1,2},所以 故答案为:A 【答案】A 2、已知向量 a ? (1, t ), b ? (t ,9) ,若 a ? b ,则t = A.1? ? B .2? ?C.3? 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为 所以 D.4

?

?

? ?

故答案为:C 【答案】C 3.某程序的框图如图所示,若输入的z=i(其中i为虚数单位) ,则输出的S 值为 A.-1 B .1 C.-i D .i 【知识点】算法和程序框图 【试题解析】n=1,否,s=i,n=2,否,s=i 否,s=i 否,s=i n=4,否,s=i n=6,是,则输出的 n=5, 值为 。 n=3,

故答案为:D 【答案】D

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?x ? y ? 2 ? 0 1 ? 4.若x,y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 2 ?y ? 0 ?
5 2 7 C. 2
A. B.3 D.4

【知识点】线性规划 【试题解析】作可行域:

由图知:当目标函数线过点 C(1,3)时,目标函数值最大,为 故答案为:C 【答案】C 5.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为 A.

3 3 2 3 3

B.

3 2

C.

D.

2 6 3

【知识点】 空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与 直观图 【试题解析】该三棱锥的底面是以 2 为底,以 为高的三角形,高为 1,

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所以 故答案为:A 【答案】A 6、已知点P ( x0 , y0 ) 在抛物线W: y 2 ? 4 x 上,且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等,则 x0 的值为 A、

1 2

B、1

C、

3 2

D、2

【知识点】抛物线 【试题解析】抛物线 点 到 轴的距离为: 又 解得: 的准线为:x=-1,所以点 到 的准线的距离为:

根据题意有: 故答案为:B 【答案】B 7.已知函数 f ( x) ? ?

?sin( x ? a), x ? 0 ? ,则“ ? ? ”是“函数 f ( x ) 是偶函数“的 4 ?cos( x ? b), x ? 0

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】函数的奇偶性充分条件与必要条件

【试题解析】若



,当 x>0 时,-x<0,

所以 所以函数为偶函数成立; 反过来,若函数为偶函数,则 即 故答案为:A 【答案】A 8.某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则
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, 。

不一定

下列叙述正确的是

A.甲只能承担第四项工作 B.乙不能承担第二项工作 C.丙可以不承担第三项工作 D.获得的效益值总和为78 【知识点】加法计数原理 【试题解析】由表知:五项工作获得效益值总和最大为 17+23+14+11+15=80,但不能同时取得。 要使总和最大,甲可以承担第一或四项工作;丙只能承担第三项工作;丁则不可以承担第三项工作, 所以丁承担第五项工作;乙若承担第二项工作,则甲承担第四项工作;戊承担第一项工作,此时效 益值总和为 17+23+14+11+13=78. 乙若不承担第二项工作,承担第一项,甲承担第二项工作,则戊承担第四项工作,此时效益值总和 为 17+22+14+11+15=79. 所以乙不能承担第二项工作。 故答案为:B 【答案】B 二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分. 9.函数 y ?

2x ? 2 的定义域为___

【知识点】函数的定义域与值域 【试题解析】要使函数有意义,需满足: 故答案为: 【答案】 10.已知数列 ?an ? 的前n项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ,则 a2 ? a1 =_______. 【知识点】等差数列 【试题解析】 所以 故答案为:
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所以

【答案】2 11.已知l 为双曲线C:

? x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线,其倾斜角为 ,且C 的右焦点为(2,0) ,点C的 2 4 a b

右顶点为____,则C 的方程为_______. 【知识点】双曲线 【试题解析】由题知: 所以 的右顶点为:

的方程为:

故答案为:

【答案】

12.在

1 1 , 2 3.log 3 2 这三个数中,最小的数是_______. 2

【知识点】对数与对数函数指数与指数函数 【试题解析】

故答案为:

【答案】 13.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,若 f ( 【知识点】三角函数的图像与性质 【试题解析】由题知: 所以 所以
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?

12

) ? f (?

5? ) ? 2 ,则函数 f ( x) 的单调增区间为__ 12

由 得: 故答案为: 【答案】

14.给定正整数k≥2,若从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点,组成一个集合M=

? X1, X 2 ,???, X k ? ,均满足 ?X i , X j ? M , ?X s , X t ? M ,使得直线 X i X j ? X s X t ,则k的所有可能
取值是___ 【知识点】点线面的位置关系 【试题解析】分析知: 当 k=4 时,若取对角面的四个顶点时,相对的顶点连线没有垂直的线, 所以不符合题意;所以 故答案为: 【答案】 三、解答题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13 分) 在△ABC 中,∠C=

2? ,a ? 6. 3

(Ⅰ)若c=14,求sinA的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为3 3 ,求c的值. 【知识点】余弦定理正弦定理 【试题解析】(Ⅰ) 在 中,因为 ,



所以



(Ⅱ)因为



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所以

,解得



又因为



所以



所以 【答案】见解析



16. (本小题满分13 分) 已知数列 ?an ? 是等比数列,其前n项和为 Sn ,满足 S2 ? a1 ? 0 , a3 ? 12 。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数n,使得 Sn >2016?若存在,求出符合条件的n的最小值;若不存在,说明理 由。 【知识点】等比数列 【试题解析】(Ⅰ) 设数列 因为 因为 又因为 所以 所以 , ,所以 所以 , 的公比为 , .

(Ⅱ)因为





,即

,整理得

当 为偶数时,原不等式无解; 当 为奇数时,原不等式等价于 ,解得 ,

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所以满足

的正整数 的最小值为 11.

【答案】见解析 17. (本小题满分14 分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点M ,N 分别为线段PB,PC 上的点,MN⊥PB. (Ⅰ)求证: 平面PBC⊥平面PAB ; (Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M N ∥平面ABCD; (Ⅲ)当AB=3,PA=4时,求点A到直线MN距离的最小值。

【知识点】距离平行垂直 【试题解析】 (Ⅰ)证明:在正方形 因为 平面 , 平面 又 , 平面 ,

中, ,所以

. .

所以 平面 . 因为 平面 ,所以平面 平面 (Ⅱ)证明: 由(Ⅰ)知, 平面 , 平面 在 中, , ,所以 又 平面 , 平面 , //平面 所以 . (Ⅲ)解:因为 ,所以 平面 而 平面 ,所以 , 所以 的长就是点 到 的距离, 而点 在线段 上 所以 到直线 距离的最小值就是 到线段 在 中, 所以 到直线

. , , .



的距离, 的最小值为

【答案】见解析 18. (本小题满分13 分) 一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制,按男、女生比例采取分层抽样的方法,从某 班选出10人参加活动,在活动前,对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测
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试成绩(百分制)的茎叶图如图所示。 (I)根据这10名同学的测试成绩,分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;
2 2 2 2 (II) 这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为 s1 ,s2 , 试比较 s1 与 s2 的大小 (只

需直接写出结果) ; (III)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学,求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良 的概率。 (注:成绩大于等于75分为优良)

【知识点】样本的数据特征古典概型 【试题解析】 (Ⅰ)设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为 则 .

(Ⅱ)女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. (Ⅲ)设“两名同学的成绩均为优良”为事件 , 男生按成绩由低到高依次编号为 女生按成绩由低到高依次编号为 , ,

则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种取法 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

其中两名同学均为优良的取法有 12 种取法 , , , , , , , , , , , ,

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所以



即两名同学成绩均为优良的概率为 【答案】见解析

19. (本小题满分14 分) 已知椭圆C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆C 与y 轴交于A, B 两点, 2 a b 2

且|AB|=2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且直线PA,PB与直线x=4分别交于M , N 两点.是否存在点 P使得以MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,说明理由。 【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】 (Ⅰ)由已知 ,得知 , ,

又因为离心率为

,所以



因为

,所以



所以椭圆

的标准方程为



(Ⅱ)假设存在. 设 由已知可得 ,

所以

的直线方程为



的直线方程为





,分别可得





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所以



线段

的中点



若以

为直径的圆经过点







因为点

在椭圆上,所以

,代入化简得



所以

,而

,矛盾,

所以这样的点 不存在. 【答案】见解析 20. (本小题满分13 分)

1? x ex (Ⅰ)求曲线 y ? f (x)在点(0,f(0) )处的切线方程;
已知函数f (x) = (Ⅱ)求函数f (x)的零点和极值; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ?[a, ??) ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 成立,求实数 a 的最小值。 e2

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【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义 【试题解析】 (Ⅰ)因为 所以 因为 (Ⅱ)令 所以 由 则 及 的零点为 解得 . ,所以曲线 在 ,解得 . , , 处的切线方程为 . ,

的情况如下:

所以函数 (Ⅲ)当 当 若 时,

在 时,

时,取得极小值 . . 的最小值为 ,有 , , 的最大值为 恒成立”等价于

,由(Ⅱ)可知

所以“对任意 即

解得 . 所以 的最小值为 1. 【答案】见解析

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