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湖北省黄冈中学2013届高三11月月考数学(文)试题


湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考 数学试题(文) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. sin(?1920? ) 的值为( A. ? ) B. ?

3 2

1 2

C.

3 2

r />D.

1 2
?

解析: sin(?1920? ) ? sin(240? ? 6 ? 360? ) ? sin(180? ? 60? ) ,即原式 ? ? sin 60 ,故选 A. 答案:A 2.命题“ ?x ? R , x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R , x 2 ? 0 C. ?x ? R , x 2 ? 0 ) B. ?x ? R , x 2 ? 0 D. ?x ? R , x 2 ? 0

解析:全称命题的否定是特称命题,易知应选 D. 答案:D 3.已知集合 P ? { 正奇数 } 和集合 M ? {x | x ? a ? b, a ? P, b ? P} ,若 M ? P ,则 M 中的 运算“ ? ”是( A.加法 ) B.除法 C.乘法 D.减法
*

解析:由已知集合 M 是集合 P 的子集,设 a ? 2m ?1, b ? 2n ?1(m, n ?N ) , ∵ a ? b ? (2m ? 1)(2n ? 1) ? 4mn ? 2(m ? n) ? 1 ? 2[2mn ? (m ? n) ? 1] ? 1? P , ∴ M ? P ,而其它运算均不使结果属于集合 P ,故选 C. 答案:C 4.已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺寸如下图所示,则这个几何体的体积是 ( ) 4 正 视 图 A. 8? 1 侧视图 B. 7?
主视图

3

俯视图
主视图

C. 2?
2

`D.

解析:依题意该几何体为一空心圆柱,故其体积 V ? ? [2 ? ( ) ] ? 1 ?
2

3 2

7? ,选 D. 4


7? 4

答案:D 5.已知幂函数 f ( x) ? x
2? m

是定义在区间 [?1, m] 上的奇函数,则 f (m ? 1) ? (

A.8

B.4

C.2

D.1

解析:由已知必有 m ? 1 ,函数即 g ( x) ? x3 ,∴f (m ? 1) ? f (2) ? 23 ? 8 ,选 A. 答案:A 6.已知平面向量 a ? (1, m), b ? (?1, 2) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( A. (5, 2) B. (?1, 2) C. (5, ?10)

?

?

?

?

) D. (?1, ?10)

解析:∵ a // b ,∴ 1? 2 ? m ? (?1) ? 0 ,∴ m ? ?2 ,∴ a ? (1, ?2) , ∴ 2a ? 3b ? 2(1, ?2) ? 3(?1, 2) ? (5, ?10) ,故选 C. 答案:C 7.已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2 x ? y ? 0 和 x ? ay ? 0 上,且 AB 线段的中点 为 P (0, A.11

?

?

?

10 ) ,则线段 AB 的长为( a
B.10

) C.9 D.8

解析:由已知两直线互相垂直得 a ? 2 ,∴ 线段 AB 中点为 P (0,5) ,且 AB 为直角三角形

AOB 的斜边,由直角三角形的性质得 | AB |? 2 | PO |? 10 ,选 B.
答案:B 8.已知各项为正的等比数列 {an } 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值为 ( ) B.8 C. 2 2 D.4

A.16

解析:由已知 a4 a14 ? (2 2)2 ? 8 ,再由等比数列的性质有 a4 a14 ? a7 a11 ? 8 , 又 a7 ? 0 , a11 ? 0 , 2a7 ? a11 ? 2 2a7 a11 ? 8 ,故选 B. 9.设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? bx ? c , x ? 0 ,若 f (4) ? f (0) , f (2) ? 2 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? x ,x ? 0 ?1
) B.1 C.2 D.3

的零点的个数是( A.0 解析: 已知即 ?

?16 ? 4b ? c ? c ?b ? ?4 2 ,? ∴ , x ? 0 , x ? 4x ? 6 ? x , x ? 2 , x ? 3 ; 若 则 ∴ 或 ?4 ? 2b ? c ? 2 ?c ? 6

若 x ? 0 ,则 x ? 1 舍去,故选 C. 答案:C 10.设集合 A ?

?? x, y ? || x | ? | y |? 1? , B ? ?? x, y ? ( y ? x)( y ? x) ? 0? , M ? A ? B ,若动

点 P( x, y ) ? M ,则 x2 ? ( y ? 1)2 的取值范围是(



A. [ , ]

1 5 2 2

B. [

2 5 , ] 2 2

C. [ ,

1 2

10 ] 2

D. [

2 10 , ] 2 2

解析:在同一直角坐标系中画出集合 A、B 所在区域,取交集后如 图,故 M 所表示的图象如图中阴影部分所示,而

d?

x 2 ? ( y ? 1) 2 表示的是 M 中的点到 (0,1) 的距离,从而易知

所求范围是 [ , ] ,选 A. 8 题解答图 答案:A 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中横线上. 11.在空间直角坐标系中,点 (?1, b, 2) 关于 y 轴的对称点是 (a, ?1, c ? 2) ,则点 P (a, b, c) 到 坐标原点 O 的距离 | PO |? _____________. 解析:由点 ( x, y, z ) 关于 y 轴的对称点是 (? x, y, ? z ) ,? a ? 1 , b ? ?1 , c ? 0 ,故所 求距离 | PO |? 答案: 2 12.定义运算

1 5 2 2

2.

a c z i ? ad ? bc ,复数 z 满足 ? 1 ? i ,则复数 z ? _______________. b d 1 i z i 1 ? 2i ? 2?i . ? 1 ? i 得 zi ? i ? 1 ? i ? z ? i 1 i

解析:由

答案: 2 ? i 13.已知 A ? {x |

1 1 ? 2? x ? } , B ? {x | log2 ( x ? 2) ? 1} ,则 A ? B ? _________________。 8 2 1 3 1 x 11 解析: A ? {x | ( ) ? ( ) ? ( ) } ? {x |1 ? x ? 3} , 2 2 2

B ? {x | 0 ? x ? 2 ? 2} ? {x | 2 ? x ? 4} ,∴ A ? B ? {x |1 ? x ? 4}.
答案: {x |1 ? x ? 4} 14.已知方程 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 0 所表示的圆有最大的面积,则直线 y ? (k ? 1) x ? 2 的
2 2 2

倾斜角 ? ? _______________. 解析: r ?

1 2 k ? 4 ? 4k 2 ? 1 ,当有最大半径时圆有最大面积,此时 k ? 0 , r ? 1 ,∴ 2

直线方程为 y ? x ? 2 ,设倾斜角为 ? ,则由 tan ? ? 1 ,且 ? ?[0, ? ) 得 ? ? 答案:

?
4



? 4

15.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数 1 2 列,则 a ? b ? c 的值为________________. 0.5 1 1 1 1 1 解析:由题意易得第一列的五个数依次为 1, , , , , a 2 4 8 16 b 1 1 1 1 c 第三列的五个数依次为 2,1, , , ,即 a ? ,

2 4 8

2

由于第四、五两行均成等差数列,故其公差分别为

1 1 和 , 16 32

1 1 5 1 1 3 ? ? ,c ? ? ?2 ? , 4 16 16 8 32 16 1 5 3 ? ?1. 故a?b?c ? ? 2 16 16
∴ 可得 b ? 答案:1 16.四棱锥 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分 别是 CB、CD 的中点,若 AC+BD=3,AC· BD=1,则 EG2+ FH2=___________. 解析:易知四边形 EFGH 是平行四边形,而平行四边形对 角线的平方和等于各边的平方和, H A

D G C E B F

1 1 ∴ 2 ? FH 2 ? 2( HG2 ? EH 2 ) ? 2[( AC)2 ? ( BD)2 ] EG 2 2 1 1 1 7 ? ( AC 2 ? BD2 ) ? [( AC ? BD)2 ? 2 AC?BD] ? (32 ? 2 ? 1) ? . 2 2 2 2
答案:

7 2

e x ? e? x e x ? e? x 17.在工程技术中,常用到双曲正弦函数 shx ? 和双曲余弦函数 chx ? ,双 2 2
曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质,请 类比正、余弦函数的和角或差角公式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的 类似公式 . 解析:由右边 ?

e x ? e? x e y ? e? y e x ? e? x e y ? e? y ? ? ? 2 2 2 2

?

1 x? y (e ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ? e x ? y ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ) 4

1 e x ? y ? e? ( x ? y ) x? y ?( x? y ) ? (2e ? 2e )? ? ch( x ? y) ? 左边,故知. 4 2
答案:填入 c h ? x ? y ? ? c hx c hy ? s hx s hy , c h ? x ? y ? ? c hx c hy ? s hx s hy ,

sh ? x ? y ? ? shx c hy ? chx s hy , sh ? x ? y ? ? shx c hy ? chx s hy 四个之一即可.
三.解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,请给出详细的解答过程. 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? sin x cos x . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间; (2)若 tan x ? 2 ,求 f ( x ) 的值.

1 2? 解答: (1)已知函数即 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ,∴ ? T ? ? ,………………………3 分 2 2

3? ? 3? ? 2k? (k ? Z) ,则 ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) , 2 2 4 4 ? 3? ? k? ](k ? Z) ;………………………6 分 即函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? k? , 4 4


?

? 2 k? ? 2 x ?

sin 2 x ? sin x cos x ? cos2 x tan 2 x ? tan x ? 1 ,……………………9 分 ? sin 2 x ? cos2 x tan2 x ? 1 22 ? 2 ? 1 7 ∴ tan x ? 2 时, y ? 当 ………………………12 分 ? . 5 22 ? 1 19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中, E AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2, AB=1. F (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直 B 线 BF∥ 平面 ACD,并证明这一事实; (2)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值.
(2)由已知 y ? A E C B F D

A

G H C

D

解答:如图, (1)由已知 AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,∴AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 // 连接 FH,则 FH ? ED ,∴ FH ? AB ,

2

……………3 分

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,? BF // 平面 ACD; (2)取 AD 中点 G,连接 CG、EG,则 CG ? AD,

……………6 分

又平面 ABED ? 平面 ACD,∴CG ? 平面 ABED, ∴ ?CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角, 设为 ? ,则在 Rt ?CEG 中, 有 sin ? ?

……………9 分

CG 3 6 . ? ? CE 2 2 4

……………12 分

20. (本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an ? 1(n ? N* ) . (1)求 a1 , a2 ; (2)设 bn ? log3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式. 解答: (1)由已知 4S1 ? a1 ? 1 ,即 4a1 ? a1 ? 1 ,∴ a1 ? 又 4S2 ? a2 ? 1 ,即 4(a1 ? a2 ) ? a2 ? 1 ,∴ a2 ? ? (2)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 , 3

………………3 分 ………………6 分

1 ; 9

1 1 (an ? 1) ? (a n ?1 ?1) , 4 4

即 3an ? ?an?1 ,易知数列各项不为零(注:可不证不说), ∴

an 1 ? ? 对 n ? 2 恒成立, an ?1 3
1 1 ,公比为 ? 的等比数列, 3 3
………………10 分

∴ ?an ? 是首项为 ∴ an ?

1 1 n ?1 (? ) ? (?1) n ?1 3? n , 3 3
………………13 分

∴ log3 | an |? log3 3?n ? ?n ,即 bn ? ?n .

21. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 的两边长分别为 AB ? 25 , AC ? 39 ,且 O 为 ?ABC 外 接圆的圆心. (1)若外接圆 O 的半径 R ? (2)求 AO ? BC 的值.

65 ,且角 B 为钝角,求 BC 边的长; 2

???? ??? ?

BC AB AC ? ? ? 2R ) sin A sin C sin B AB AC ? ? 2R , 解答: (1)由正弦定理有 sin C sin B 25 39 3 5 ? ? 65 ,∴ sin B ? , sin C ? , ∴ ………………3 分 sin C sin B 5 13 12 4 且 B 为钝角,∴ cos C ? , cos B ? ? 13 5
(注: 39 ? 3 ? 13 , 65 ? 5 ? 13 ,且

∴ sin( B ? C ) ? sin B cos C ? sin C cos B ? 又

3 12 5 4 16 ? ? ? (? ) ? , 5 13 13 5 65
………………7 分

BC ? 2 R ,∴ BC ? 2R sin A ? 65sin( B ? C ) ? 16 ; sin A ???? ??? ??? ? ? ???? ???? ???? 2 (2)由已知 AO ? OC ? AC ,∴ ( AO ? OC )2 ? AC ,
即 | AO |2 ?2 AO ? OC ? | OC |2 ?| AC |2 ? 392

??? ?

??? ??? ? ?
??? ?

??? ?

??? ?

………………9 分

同理 AO ? OB ? AB ,∴ | AO |2 ?2 AO ? OB? | OB |2 ?| AB |2 ? 252 , …………11 分 两式相减得 2 AO ? OC ? 2 AO ? OB ? (39 ? 25)(39 ? 25) ? 896 , 即 2 AO ? BC ? 896 ,∴ AO ? BC ? 448 . 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? ax(a, x ?R) . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增,试求 a 的取值或取值范围; (3)设函数 h( x) ?

???? ??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

………………14 分

1 1 8 f ?( x) ? (2a ? ) x ? a ? 1 , x ? ? ?1, b? , (b ? ?1) ,如果存在 3 3 3

a ? ? ??, ?1? ,对任意 x ? ? ?1, b? 都有 h( x) ? 0 成立,试求 b 的最大值.
3 2 / 2 解答: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ,∴ f ( x) ? 3x ? 2 x ?1, / 令 f ( x) ? 0 ,则 x1 ?

1 , x2 ? ?1 , 3

………………2 分

x 、 f / ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表
x
f / ( x)
f ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值

1 ( ?1, ) 3

1 3
0 极小值

1 ( , ??) 3
+

?
?

?

f (?1) ? 1
5 ; 27

1 5 f( )?? 3 27

?

即函数的极大值为 1,极小值为 ?
2 (2) f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a ,

………………5 分

若 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上是单调递增函数, 则 f ?( x ) 在区间 [0, ??) 内恒大于或等于零,

若 a ? 0 ,这不可能, 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x2 符合条件, 若 a ? 0 ,则由二次函数 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a 的性质知

? 2 ?a ? 0 ?? ? 0 ,即 ? ,这也不可能, ? 3a ?a ? 0 ? f (0) ? ?a ? 0 ?
综上可知当且仅当 a ? 0 时 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增; (3)由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a , h( x) ? ……………10 分

1 1 8 f ?( x) ? (2a ? ) x ? a ? 1 , 3 3 3
……………10 分

∴ h( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) , x ? ? ?1, b? ,(b ? ?1) ,

当 ?1 ? x ? b 时,令 ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ? 0 ,………………①, 由 a ? ? ??, ?1? ,∴ h( x) 的图象是开口向下的抛物线, 故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得, 又 h(?1) ? ?4a ? 0 , ∴ 不等式①恒成立的充要条件是 h(b) ? 0 ,即 ab2 ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0 , ∵ b ? ?1 ,∴ b ? 1 ? 0 ,且 a ? 0 ,∴ ……………11 分

b 2 ? 2b ? 3 1 ?? , b ?1 a

依题意这一关于 a 的不等式在区间 ? ??, ?1? 上有解,

b 2 ? 2b ? 3 1 b 2 ? 2b ? 3 ? (? ) max ,即 ? 1 , b2 ? b ? 4 ? 0 , ∴ b ?1 a b ?1


?1 ? 17 ?1 ? 17 ?1 ? 17 ?b? ,又 b ? ?1 ,故 ?1 ? b ? , 2 2 2 ?1 ? 17 . 2
………………14 分

从而 bmax ?


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