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湖南省永州市新田一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


湖南省永州市新田一中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)设 A={1,2,5},B={2,3,4},则 A∩B=() A.? B.{2} C.{1,2} 2. (5 分)“p∨q 为真命题”是“p∧q 为真命题”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.

非充分非必要条件 3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

D.{1,2,3,4,5}

B.y=|x|+1

C.y=﹣x +1

2

D.y=2

﹣|x|

4. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=() A. B.
0.7 0.6

C. ﹣

D.﹣

5. (5 分)a=log0.76,b=6 ,c=0.7 ,则 a,b,c 的大小关系为() A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 6. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

7. (5 分)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)= 是() A.(﹣1,0)∪(0,1) (0,1)
2

2

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围

B.(﹣1,0)∪(0,1] C. (0,1] D.

9. (5 分)已知函数 f(x)=x +2bx 的图象在点 O(0,0)处的切线 l 与直线 x﹣y+3=0 平行, 若数列{ A. }的前 n 项和为 Sn,则 S2014=() B. C. D.

10. (5 分)已知定义在 R 上的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) , x 且 y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为() 4 4 A.(﹣∞,e ) B.(e ,+∞) C.(﹣∞,0) D.(0,+∞)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分) 11. (5 分)已知直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣ )= ,则极点到这条直线的距离等于.

12. (5 分) lg

﹣4lg

+lg
2

=.

13. (5 分)命题“?x0∈R,x0 ﹣x0+1≤0”的否定是.

14. (5 分)设函数 f(x)=

,若 f(a)=a,则实数 a 的值是.

15. (5 分)对于实数 a,b,定义运算“?”:a?b=
2

,设 f(x)=(x ﹣2)?(2﹣

2

x) ,x∈R.若函数 y=f(x)﹣m 的图象与 x 轴有四个公共点,则实数 m 的取值范围是.

三、解答题: (共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知在△ ABC 中, (1)求 tan2A; (2)若 ,求△ ABC 的面积. ,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.

17. (12 分)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,a3=8.

(1)若 bn=log2an(n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn= (n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
*

*

18. (12 分)已知函数 f(x)=x +bx +ax+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) ) 处的切线方程为 6x﹣y+7=0. (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间. 19. (13 分)如图,直四棱柱 ABC﹣A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. (Ⅰ)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)求直线 C1E 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. ,

3

2

20. (13 分) 椭圆 C: +

=1 (a>b>0) 的两个焦点为 F1, F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF2⊥F1F2,

|PF1|=

,|PF2|= .

(1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)若直线 l 过圆 x +y +4x﹣2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称, 求直线 l 的方程.

21. (13 分)设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣ 使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围.
2

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],

湖南省永州市新田一中 2015 届高三上学期第二次月考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)设 A={1,2,5},B={2,3,4},则 A∩B=() A.? B.{2} C.{1,2}

D.{1,2,3,4,5}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A,B,求出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:∵A={1,2,5},B={2,3,4}, ∴A∩B={2}, 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)“p∨q 为真命题”是“p∧q 为真命题”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.非充分非必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 p∨q 为真命题,则 p,q 至少有一个为真命题, 若 p∧q 为真命题,则 p,q 都为真命题, 则“p∨q 为真命题”是“p∧q 为真命题”的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复合命题真假之间的关系是解决本 题的关键. 3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

B.y=|x|+1

C.y=﹣x +1

2

D.y=2

﹣|x|

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 常规题型. 2 分析: 首先由函数的奇偶性排除选项 A, 然后根据区间 (0, +∞) 上 y=|x|+1=x+1、 y=﹣x +1、 y=2
﹣|x|

=

的单调性易于选出正确答案.
3 2
﹣|x|

解答: 解:因为 y=x 是奇函数,y=|x|+1、y=﹣x +1、y=2 所以选项 A 错误;

均为偶函数,

又因为 y=﹣x +1、y=2

2

﹣|x|

=

在(0,+∞)上均为减函数,只有 y=|x|+1 在(0,+∞)

上为增函数, 所以选项 C、D 错误,只有选项 B 正确. 故选:B. 点评: 本题考查基本函数的奇偶性及单调性. 4. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=() A. B. C. ﹣ D.﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = =﹣ , =5.

故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 5. (5 分)a=log0.76,b=6 ,c=0.7 ,则 a,b,c 的大小关系为() A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 a=log0.76<0;b=6 > b,c 的大小关系. 解答: 解:a=log0.76<0,b=6 >
0.6 0 1 0.7 0.7 0.7 0.6

=

>2; c=0.7 <0.7 =1,且 c>0.7 =0.7,可得 a,

0.6

0

1

=

>2,

c=0.7 <0.7 =1,且 c>0.7 =0.7, 则 a,b,c 的大小关系为 b>c>a, 故选 D. 点评: 本题主要考查对数函数、指数函数的单调性和特殊点,属于中档题. 6. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据函数零点的判定定理求得函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间.

解答: 解:由

,以及及零点定理知,f(x)的零点在

区间(﹣1,0)上, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题. 7. (5 分)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据几何体的三视图确定几何体的形状是解决本题的关键,可以判断出该几何体是 圆锥,下面细上面粗的容器,判断出高度 h 随时间 t 变化的可能图象. 解答: 解:该三视图表示的容器是倒放的圆锥,下面细,上面粗, 随时间的增加,可以得出高度增加的越来越慢. 刚开始高度增加的相对快些.曲线越“竖直”,之后,高度增加的越来越慢,图形越平稳. 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的辨别能力,考查学生对两变量变化趋势的直观把握能力,通过 曲线的变化快慢进行筛选,体现了基本的数形结合思想.
2

8. (5 分)若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)= 是() A.(﹣1,0)∪(0,1) (0,1) 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 分析函数 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=
2

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围

B.(﹣1,0)∪(0,1] C. (0,1] D.

的图象和性质,易分别得到他们在区间

[1,2]上是减函数时,a 的取值范围,综合讨论后,即可得到答案.

解答: 解:∵f(x)=﹣x +2ax 的图象是开口朝下,以 x=a 为对称轴的抛物线 2 若 f(x)=﹣x +2ax 在区间[1,2]上是减函数,则 a≤1 函数 g(x)= 若 g(x)= 的图象是以(﹣1,0)为对称中心的双曲线 在区间[1,2]上是减函数,则 a>0

2

综上,a 的取值范围是(0,1] 故选 C 点评: 本题考查的知识点是函数的单调性,其中熟练掌握初等基本函数的图象和性质是解 答本题的关键. 9. (5 分)已知函数 f(x)=x +2bx 的图象在点 O(0,0)处的切线 l 与直线 x﹣y+3=0 平行, 若数列{ A. }的前 n 项和为 Sn,则 S2014=() B. C. D.
2

考点: 数列的求和;二次函数的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 对函数求导,根据导数的几何意义可求切线在 x=0 处的斜率,然后根据直线平行时 斜率相等的条件可求 b,代入可求 f(n) ,利用裂项求和即可求. 2 解答: 解:∵f(x)=x +2bx, ∴f′(x)=2x+2b, 2 ∵函数 f(x)=x +2bx 的图象在点 A(0,f(0) )处的切线 L 与直线 x﹣y+3=0 平行, ∴f′(0)=2b=1,解得 b= , ∴f(x)=x +x, ∴ ∴数列{ ∴S2014= = = ﹣ , )+…+( )=1﹣ = .
2

}的前 n 项和为 Sn=(1﹣ )+( .

故选:C. 点评: 本题以函数的导数的几何意义为载体,主要考查了切线斜率的求解,两直线平行时 的斜率关系的应用,及裂项求和方法的应用. 10. (5 分)已知定义在 R 上的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) , x 且 y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为() 4 4 A.(﹣∞,e ) B.(e ,+∞) C.(﹣∞,0) D.(0,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 导数的概念及应用.

分析: 首先构造函数 即可求解 解答: 解:∵y=f(x+1)为偶函数, ∴y=f(x+1)的图象关于 x=0 对称, ∴y=f(x)的图象关于 x=1 对称, ∴f(2)=f(0) , 又∵f(2)=1, ∴f(0)=1; 设 (x∈R) ,

, 研究 g (x) 的单调性, 结合原函数的性质和函数值,

则 又∵f′(x)<f(x) , ∴f′(x)﹣f(x)<0, ∴g′(x)<0, ∴y=g(x)单调递减, ∵f(x)<e , ∴ ,
x



即 g(x)<1, 又∵ ,

∴g(x)<g(0) , ∴x>0, 故答案为: (0,+∞) . 点评: 本题首先须结合已知条件构造函数,然后考察用导数判断函数的单调性,再由函数 的单调性和函数值的大小关系,判断自变量的大小关系,属较难题 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分) 11. (5 分) 已知直线 l 的极坐标方程为 ρcos (θ﹣ ) = , 则极点到这条直线的距离等于 .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 先将原极坐标方程 ρcos (θ﹣ ) = 中的三角函数式展开后两边同乘以 ρ 后化成直

角坐标方程,再利用直角坐标方程进行求解即得.

解答: 解:将原极坐标方程 ρcos(θ﹣ ρcosθ+ρsinθ=1, 化成直角坐标方程为:x+y﹣1=0, 则极点到该直线的距离是 故答案为: . = .

)=

化为:

点评: 本题考查简单曲线的极坐标方程、点到这条直线的距离等基础知识,考查运算求解 能力,属于基础题.

12. (5 分) lg

﹣4lg

+lg

= .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用对数运算法则化简求解即可. 解答: 解: lg ﹣4lg +lg

= lg2﹣lg7﹣2lg2+ lg5+lg7 = (lg2+lg5) = . 故答案为: . 点评: 本题考查对数的运算法则,基本知识的考查. 13. (5 分)命题“?x0∈R,x0 ﹣x0+1≤0”的否定是?x∈R,x ﹣x+1>0. 考点: 命题的否定. 专题: 综合题. 2 分析: 根据命题“?x0∈R,x0 ﹣x0+1≤0”是特称命题,其否定为全称命题,将“存在”改为“任 意”,“≤“改为“>”即可得答案. 解答: 解:∵命题“?x0∈R,x0 ﹣x0+1≤0”是特称命题 2 ∴命题的否定为:?x∈R,x ﹣x+1>0. 2 故答案为:?x∈R,x ﹣x+1>0. 点评: 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<” 了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题 的否定是全称命题,“存在”对应“任意”.属基础题.
2 2 2

14. (5 分)设函数 f(x)=

,若 f(a)=a,则实数 a 的值是 或﹣1.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴当 a≥0 时,1﹣a=a,解得 a= ; 当 a<0 时, =a,解得 a=1(舍)或 a=﹣1. 故答案为: 或﹣1. 点评: 本题考查函数值的求法及应用,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用. ,f(a)=a,

15. (5 分)对于实数 a,b,定义运算“?”:a?b=
2

,设 f(x)=(x ﹣2)?(2﹣

2

x) ,x∈R.若函数 y=f(x)﹣m 的图象与 x 轴有四个公共点,则实数 m 的取值范围是(﹣2, 0) . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;阅读型;函数的性质及应用. 分析: 化简 f(x)=(x ﹣2)?(2﹣x )= (x)与函数 y=m 的图象,结合图象可得. 解答: 解:由题意, 2 2 f(x)=(x ﹣2)?(2﹣x ) = ,
2 2

,从而作函数 f

作函数 f(x)与函数 y=m 的图象如下,

结合图象可得, 实数 m 的取值范围是(﹣2,0) ; 故答案为: (﹣2,0) . 点评: 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力及数形结合的思想应用,属于中档题. 三、解答题: (共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知在△ ABC 中, (1)求 tan2A; (2)若 ,求△ ABC 的面积. ,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.

考点: 解三角形;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用同角三角函数基本关系求得 sinA,进而求得 tanA,进而利用正切的二倍 角公式求得 tan2A. (2)运用诱导公式求得 cosB,进而利用同角三角函数基本关系求得 sinB 的值,根据两角和 公式求得 sin(A+B)的值,进而求得 sinC,再由正弦定理求得 a,最后根据三角形面积公式 求得答案. 解答: 解: (1)因为 所以 所以 ,则 . .

(2)由 得 ,所以



则 由正弦定得,得 所以△ ABC 的面积为 , .



点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.涉及了同角三角函数基本关系,正切的二倍 角公式,两角和公式等.考查了考生对三角函数基础知识的掌握. 17. (12 分)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,a3=8. * (1)若 bn=log2an(n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn= (n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
*

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件利用等比数列的通项公式求出公比,从而 而 bn=log2an= (2)由 =n. ,利用错位相减法能求出 . ,进

解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q, 由题意知 ,∴q=2(2 分)

∴ ∴bn=log2an=

. =n, (5 分)

∴数列{bn}的通项公式为
*

(2)∵cn=

(n∈N ) ,∴



∴数列{cn}的前 n 项和为: 在①式两边都乘以 得:

①(6 分) ②(8 分)

①﹣②得:

= ∴ (12 分)

(10 分)

点评: 本题主要考查数列的通项公式的求法、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比 数列等基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、 函数与方程思想,解题时要注意错位相减法的合理运用. 18. (12 分)已知函数 f(x)=x +bx +ax+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) ) 处的切线方程为 6x﹣y+7=0. (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间. 考点: 导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性. 分析: (Ⅰ)求解析式,只需把 a,b,d 三个字母求出即可.已知点 P(0,2)满足 f(x) , 得到 d,又点 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程为 6x﹣y+7=0,可以得到 f(﹣1)的值,并且 得到 f(x)在 x=﹣1 处的导数为 6. (Ⅱ)利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)的图象经过 P(0,2) ,∴d=2, 3 2 2 ∴f(x)=x +bx +ax+2,f'(x)=3x +2bx+a. ∵点 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程为 6x﹣y+7=0 ∴f'(x)|x=﹣1=3x +2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①, 还可以得到,f(﹣1)=y=1,即点 M(﹣1,1)满足 f(x)方程,得到﹣1+b﹣a+2=1② 由①、②联立得 b=a=﹣3 故所求的解析式是 f(x)=x ﹣3x ﹣3x+2. 2 2 2 (Ⅱ)f'(x)=3x ﹣6x﹣3. ,令 3x ﹣6x﹣3=0,即 x ﹣2x﹣1=0. 解得 .当 ;
3 2 2 3 2

当 . 故 f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣ ) , (1+ ,+∞) ;单调减区间为(1﹣ ,1+ ) 点评: 本题主要考查了两个知识点,一是导数的几何意义,二是利用导数研究函数的单调 性,属于函数这一内容的基本知识,更应该熟练掌握. 19. (13 分)如图,直四棱柱 ABC﹣A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. (Ⅰ)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)求直线 C1E 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. ,

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)过点 B 作 BF⊥CD,垂足为 F,可证在△ BCE 中,BE⊥BC,由 BB1⊥平面 ABCD,而 BE?平面 ABCD,可得 BB1⊥BE,又 BB1∩BC=B,即可证明 BE⊥平面 BB1C1C. (Ⅱ) 连 BC1,由 BE⊥平面 BB1C1C,可知∠BC1E 是直线 C1E 与平面 BB1C1C 所成角,即 可求解. 解答: 证明: (Ⅰ)过点 B 作 BF⊥CD,垂足为 F, 则 , 在 . 2 2 2 在△ BCE 中,BE +BC =EC ,故 BE⊥BC, ∵BB1⊥平面 ABCD,而 BE?平面 ABCD, ∴BB1⊥BE,又 BB1∩BC=B, ∴BE⊥平面 BB1C1C. (Ⅱ) 连 BC1,∵BE⊥平面 BB1C1C, ∴∠BC1E 是直线 C1E 与平面 BB1C1C 所成角, .

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,考查了直线与平面所成角的正弦值的求法, 属于中档题.

20. (13 分) 椭圆 C: +

=1 (a>b>0) 的两个焦点为 F1, F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF2⊥F1F2,

|PF1|=

,|PF2|= .
2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x +y +4x﹣2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称, 求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用已知条件求出椭圆的几何量,然后求解椭圆的方程即可. (2)将求出圆心 M 的坐标为(﹣2,1) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用 A,B 关于点 M 对称,推出 x1+x2=﹣4,y1+y2=2,点 A,B 在椭圆上,利用平方差法求出直线的斜率,然后求 解直线方程.

解答: 解: (1) = ∴

,∴a=3(2 分) 从而 ,

故椭圆 C 的方程为:

(6 分)
2 2

(2)将圆 M 的方程配方得(x+2) +(y﹣1) =5,所以圆心 M 的坐标为(﹣2,1) (7 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)因为 A,B 关于点 M 对称,所以 x1+x2=﹣4,y1+y2=2(8 分) 又点 A,B 在椭圆上,所以 ① ②,

①﹣②得:



所以

(11 分)

所以

,经检验

合题意.

故直线 l 的方程为 8x﹣9y+25=0. (13 分) 点评: 本题考查直线与椭圆方程的综合应用,圆的方程与椭圆的位置关系的应用,考查分 析问题解决问题的能力.

21. (13 分)设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣ 使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 综合题. 分析: 确定函数 f(x)的定义域,并求导函数 (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1,求出 f(1)=﹣2,f′(1)=0,即可得到 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)求导函数,令 f'(x)<0,可得函数 f(x)的单调递减区间;令 f'(x)>0,可得函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ) 当 时, 求得函数 f (x) 在[1, 2]上的最小值为 f (1) = ; 对于?x1∈[1, 2] , ?x2∈[0,
2

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],

1]使 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在(0,e]上的最

小值,求出 b 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,

,x∈[0,1]的最小值,即可求得

(2 分)

(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1,∴f(1)=﹣2, ∴f′(1)=0,∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=﹣2(5 分) (Ⅱ) = (6 分)



令 f′(x)<0,可得 0<x<1,或 x>2;令 f'(x)>0,可得 1<x<2 故当 分) (Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)可知函数 f(x)在(1,2)上为增函数, (9 分) 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,2) ;单调递减区间为(0,1) , (2,+∞) . (8

∴函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)=

若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 g(x)在[0,1]上的最小值不 大于 f(x)在(0,e]上的最小值 又 ①当 b<0 时,g(x)在[0,1]上为增函数, 盾 ②当 0≤b≤1 时, ,由 及 0≤b≤1 得, (*) (10 分) ,x∈[0,1] 与(*)矛

③当 b>1 时, g (x) 在[0, 1]上为减函数, 此时 b>1(11 分) 综上,b 的取值范围是 (12 分)



点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查恒成立 问题,解题的关键是将对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,转化为 g(x) 在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在(0,e]上的最小值.


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