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2014·新课标高考总复习·数学7-3空间点、直线、平面之间的位置关系


2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第三节

空间点、直线、平面之间的位置关系

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一、平面的基本性质及推论 1.平面的基本性质

基本性质1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直
线上的所有点都在这个平面内. 基本性质2:经过 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平

面.
基本性质3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们 有且只有一条 过这个点的公共直线.
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2.平面基本性质的推论

推论1:经过一条直线和 直线外 的一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条 相交直线 ,有且只有一个平面. 推论3:经过两条 平行直线 ,有且只有一个平面.

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二、空间中点、线、面之间的位置关系

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[疑难关注] 1.三个公理的作用 (1)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线 在平面内判断直线上的点在平面内.

(2)公理2的作用:确定平面的依据,它提供了把空间问题转化为
平面问题的条件. (3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两相交平面的交线;

③证明多点共线.

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2.异面直线的有关问题
(1)判定方法:①反证法;②利用结论,即过平面外一点与平面内 一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:
? π? (2)所成角的求法:平移法,注意范围?0,2?. ? ?

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1.(2013年辽宁三校联考)下列命题正确的个数为( ①经过三点确定一个平面;

)

②梯形可以确定一个平面;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 C.2 B.1 D.3

解析:①④错误,②③正确.
答案:C

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2.(课本习题改编)平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,既与AB共面 又与CC1共面的棱的条数为( )

A.3
C.5

B.4
D.6

解析:依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1 平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1 相交的棱有CD,C1D1,故 符合条件的棱共有5条,选C.

答案:C

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3.(2013年广州模拟)若空间中有两条直线,则“这两条直线为异
面直线”是“这两条直线没有公共点”的( A.充分不必要条件 )

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成 立. 答案:A

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4.(课本习题改编)两个不重合的平面可以把空间分成________部
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分.

解析:由题意知两个不重合的平面可以平行或相交,平行时分空
间3部分,相交时分空间4部分. 答案:3或4

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5.(2013年合肥模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称这对 异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中

与AC构成“黄金异面直线对”的直线共有________条.

解析:正方体如图,若要出现所成的角为60°的异面直线,则直 线为面对角线,与AC构成黄金异面直线对的直线有4条.

答案:4

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考向一 [例1]

平面的基本性质及应用 (2013年湘潭模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

E为AB的中点,F为A1A的中点,求证:(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.

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[证明] (1)分别连接EF,A1B,D1C. ∵E,F分别是AB和AA1的中点,

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1 (2)∵EF 綊2CD1, ∴直线 D1F 和 CE 必相交.
设 D1F∩CE=P. ∵P∈D1F 且 D1F?平面 AA1D1D, ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE?平面 ABCD, ∴P∈平面 ABCD, 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点. 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D=AD, ∴P∈AD, ∴CE,D1F,DA 三线共点.

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1. (2013 年许昌调研)如图, 平面 ABEF⊥平面 ABCD, 四边形 ABEF 1 1 与 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA, 2 2 G,H 分别为 FA,FD 的中点.
(1)求证:四边形BCHG是平行四边形;

(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?

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证明:(1)由题设知,FG=GA,FH=HD, 1 1 所以 GH 綊2AD.又 BC 綊2AD, 故 GH 綊 BC.

所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C,D,F,E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綊2AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF, 所以 EF 綊 BG.
由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面.又点 D 在直线 FH 上,所以 C,D,F,E 四点共面.

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考向二

空间中两条直线的位置关系

[例2]

已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,

F,G分别是边BC,CD上的点. (1)求证:BC与AD是异面直线; (2)求证:EG与FH相交. [证明] C,A,D∈α. ∴四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相 矛盾. (1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,

∴BC与AD是异面直线.

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(2)如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG; 同理EH∥FG,则EFGH为平行四边形. 又EG,FH是?EFGH的对角线, ∴EG与HF相交.

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2.(2013年济宁模拟)已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且 ∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( A.AB∥CD B.AB与CD异面 C.AB与CD相交 )

D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析:若三条线段共面,如果AB、BC、CD构成等腰三角形,则 直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与

CD是异面直线,故选D.
答案:D

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考向三 异面直线所成的角 [例 3] (2012 年高考上海卷)如图, 在四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2,AD=2 2, PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

[解析] (1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD.又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 因为 PD= 22+?2 2?2=2 3,CD=2, 1 所以三角形 PCD 的面积为2×2×2 3=2 3.

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(2)如图,取 PB 中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或 其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角.在△AEF 中,由 EF= 2,AF = 2,AE=2 知△AEF 是等腰直角三角形, π 所以∠AEF= . 4

π 因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4.

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在本例条件下求异面直线CD与AE所成角的大小.

解析:如图,取PD中点G,连接EG,AG则EG∥CD,从而
∠AEG(或其补角)是异面直线CD与AE所成的角.

在△AEG 中,由 EG=1,AG= 3,AE=2 知△AEG 为以∠AGE 为 π 直角的直角三角形,所以∠AEG=3.因此,异面直线 CD 与 AE 所成角的 π 大小是3.
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【创新探究】 立体几何中的参数问题 【典例】 (2012 年高考重庆卷)设四面体的六条棱的长分别为 2的棱异面,则 a 的取值范围是

1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 ( ) A.(0, 2) C.(1, 2)

B.(0, 3) D.(1, 3)

【思路导析】 根据已知条件作出图形,利用三角形存在的条件

求解.

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【解析】 根据已知条件画出图形,如图所示. AB= 2,CD=a,设点 E 为 AB 的中点,则 ED⊥AB,EC⊥AB, 2 则 ED= AD -AE = , 2
2 2

2 同理 EC= 2 . 由构成三角形的条件知 0<a<ED+EC= 2,∴0<a< 2.
【答案】 A 【高手支招】 本题将参数范围的求解问题很巧妙地融合在立体 图形中,体现了高考的创新立意.而将立体几何问题平面化是解决此 题的突破点,把a作为三角形的边长,利用三角形存在条件加以限制, 构思很巧妙.

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1.(2011年高考浙江卷)若直线l不平行于平面α,且l?α,则(

)

A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 解析:由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线

只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.
答案:B

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2.(2010年高考江西卷)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线 l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( )

A.1条
C.3条

B.2条
D.4条

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解析:连结AC1,则AC1与AB,AD,AA1所成的角都相等; 连结AC,A1C1,在平面ACC1A1内,过点A可以作一条与AC1不同 的直线与AB,AD,AA1所成的角都相等;

同理在平面AB1C1D和平面ABC1D1 内,都可以作一条与AC1 不同
的直线与AB,AD,AA1所成的角都相等. 答案:D

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3.(2011年高考大纲全国卷)已知正方体ABCD -A1B1C1D1中,E 为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.

解析:取A1B1的中点F,连接EF,AF.
∵在正方体ABCD -A1B1C1D1中,EF∥B1C1,B1C1∥BC, ∴EF∥BC. ∴∠AEF即为异面直线AE与BC所成的角. 设正方体的棱长为a,

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则 AF=

?1 ?2 5 ? a? = a,EF=a. a+2 2 ? ?
2

∵EF⊥平面 ABB1A1,∴EF⊥AF, 3 ∴AE= AF2+EF2 = a. 2 EF a 2 ∴cos ∠AEF=AE=3 =3. a 2 2 答案: 3

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