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2014-2015学年江苏高三数学模拟试卷


2014-2015 学年江苏高三数学模拟试卷 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.

1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4?,集合 P ? ?1,2,3? , Q ? ?2,3? ,则 P I (? U Q) = 2.已知复数 z 的实部为 1 ,虚部为 ?2 ,则

. .

1 ?

3i ( i 为虚数单位)的模为 z

3.某学校为了解该校 1200 名男生的百米成绩,随机选择了 50 名学生进行调查.下图是这 50 名学生百米成绩的频 率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这 1200 名学生中成绩在 [13,15] (单位: 秒) 内的人数大约是 .

4.已知 4 张卡 片(大小,形状都相同)上分别写有 1 , 2 , 3 , 4 ,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是 3 的概率 为 . .

5.按如图所示的流程图运算,则输出的 S ?

6.已知向量 OA ? ? 0,1? , OB ? (m, m ? 1), OC ? (1,3) , 若 AB // AC ,则实数 m = 7.数列 {an } 成等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a7 ? a13 ? ?? ,则 S13 的余弦值为 ①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ;②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; ③若 ? ? ? , ? I ? ? m, n ? ? , n ? m 则 n ? ? ;④若 m // n, n ? ? , ? // ? , 则 m ? ? .

uur

uu u r

uuu r

uu u r uuu r

. . .

8.设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线,其中,所有真命题的序号是

9. 已知函数 f ( x) , g ( x) 满足 f (1) ? 2 , f ?(1) ? 1 , g (1) ? 1 , g ?(1) ? 1 , 则函数 F ( x) ? ( f ( x) ? 1) ? g ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程为 . 10.在 ?ABC 中, b ? 2, B ? 11.已知椭圆 C :

?
3

, sin 2 A ? sin( A ? C ) ? sin B ,则 ?ABC 的面积为

.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x2 ? y2 ? b2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O 的两条切线, 2 a b 切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 . u r r ? ?? 12.设 m ? ? 2,1? , n ? ? sin ? , cos ? ? ,其中 ? ? ? 0, ? 为过点 A ?1, 4 ? 的直线 l 的倾斜角,若当 ? 2? u r r 2 2 2 . m ? n 最大时,直线 l 恰好与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 相切,则 r ?

1 3 . 函 数 f ( x) ?

x 1 1 ? ? ? a( x ? 0) 恰 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 实 数 a 的 范 围 是 ___ 4 16 x x ? 1 4x

1 4 . 已 知 对 于 任 意 的 实 数 a ? [3, ??) , 恒 有 “ 当 x ? [a,3a] 时 , 都 存 在 y ?[ a, 2 满足方程 a ]

loga x ? loga y ? c ” , 则 实 数 c 的 取 值 构 成 的 集 合 为
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.

.

B、 C 是 ?ABC 的内角, 15. 已知角 A 、 向量 m ? (2 3 sin a, b, c 分别是其对边长,

u r

A A r A , cos 2 ) , n ? (cos , ?2) , 2 2 2

u r r 6 ,求 b 的长. m ? n . (1)求角 A 的大小;(2)若 a ? 6, cos B ? 3

16. 如图, 在四面体 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点. (1)求证: AB ? 平面 CDE ; (2)设 G 为 ?ADC 的重心, F 是线段 AE 上一点,且 AF ? 2 FE . 求证: FG // 平面 CDE .

w

w w .x k b 1.c o m

07

2

17.如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于 A, B, C 三点处, AB ? AC , A 到线段 BC 的距离

AO ? 40 , ?ABO ? 2? (参考数据: tan 2? ? 2 3 ). 今计划建一个生活垃圾中转站 P ,为方便运输, P 准备 7 3 7 建在线段 AO (不含端点)上. (1) 设 PO ? x(0 ? x ? 40) ,试将 P 到三个小区距离的最远者 S 表示 为 x 的函数,并求 S 的最小值; 2? ,试将 P 到三个小区的距离之和 表 (2) 设 ?PBO ? ? (0 ? ? ? y ) 7 示为 ? 的函数,并确定当 ? 取何值时,可使 y 最小?

18. 如图, A, B 是椭圆 C :


x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,椭圆 C 的离心率为 ,右准线 l 的方程为 x ? 4 . 2 a b 2

(1)求椭圆方程; (2)设 M 是椭圆 C 上异于 A, B 的一点,直线 AM 交 l 于点 P ,以 MP 为 直径的圆记为 e K . ①若 M 恰好是椭圆 C 的上顶点,求 e K 截直线 PB 所得的弦长; ②设 e K 与直线 MB 交于点 Q ,试证明:直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为 定点,并求该定点的坐标.

07

3

19 . 已 知 数 列

?an ?

是 等 差 数 列 , 数 列
n?3

?bn ?

是 等 比 数 列 , 且 对 任 意 的

n ? N*

, 都 有

a1b 1 ? a b2 ? 2 a b ???? ? anbn ? n ? 2 3 3

.

(1)若 ?bn ? 的首项为 4, 公比为 2,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 a1 ? 8 .①求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;②试探究:数列 {bn } 中是否存在某一项,它可以表示为该数列

中其它 r (r ? N , r ? 2) 项的和?若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由.

20.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ax ,其中 a ? R, x ? R . (1) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程;
3 2

(2) 若函数 f ( x ) 在区间(1,2)上不是单调函数,试求 a 的取值范围; (3) 已知 b ? ?1 , 如果存在 a ? ( ??, ?1] , 使得函数 h( x) ? f ( x) ? f ? ( x) ( x ? [? 1,b ]) 在 x ? ?1 处取得最小 值,试求 b 的最大值.

参考答案

07

4

a sin B 6 ? 15、(1)又 A ? ,(2) a ? 6 ,则由正弦定理,得 b ? = 3 ? 4 ,即 b ? 4 3 sin A

?

3

3 2

16.证明:(1)由

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ? 同理, DE ? AB ,又∵ CE DE ? E , CE , DE ? 平面 CDE ,∴ AB ? 平面 CDE (2)连接 AG 并延长交 CD 于点 O,连接 EO.因为 G 为 ?ADC 的重心,所以 AG ? 2GO , 又 AF ? 2 FE ,所以 FG // EO 又 EO ? 面CDE , FG ? 面CDE ,所以 FG / / 平面
b 1 . c o m

35

y ? 2?

20 3 2 ? sin ? ? ? 40 ? 20 3 tan ? ? 40 ? 20 3 ? cos ? cos ?
07 5

因为 y? ? 20 3 ? 当0 ??

2sin ? ? 1 1 ? ,令 y? ? 0 ,即 sin ? ? ,从而 ? ? , 2 cos ? 2 6

?

? 时, y? ? 0 ;当 ?
6

6

?? ?

2? 7

时, y ? ? 0 .

7
又直线 PB 的方程为 3 3x ? 2 y ? 6 3 ? 0 ,故圆心到直线 PB 的距离为 4 从而 e

3 ????????8 分 31

K 截直线 PB 所得的弦长为 2 7 ? ( 4 3 ) 2 ? 26 31 ???????????????10 分 31 31 ②证:设 M ( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,则直线 AM 的方程为 y ? y0 ( x ? 2) ,则点 P 的坐标为 P(4, 6 y0 ) , x0 ? 2 x0 ? 2 又直线 MB 的斜率为 K ? y0 ,而 MB ? PR ,所以 K ? ? x0 ? 2 , MB PR x0 ? 2 y0 6 y0 x ?2 6y 2 从而直线 PR 的方程为 y ? ?? 0 ( x ? 4) ? 令 y ? 0 , 得点 R 的横坐标为 xR ? 4 ? 2 0 x0 ? 2 y0 x0 ? 4 2 2 2 x y 3(4 ? x0 ) ,故 3 1 又点 M 在椭圆上,所以 0 ? 0 ? 1 ,即 y0 2 ? xR ? 4 ? 6 ? ? ? , 4 3 4 4 2 1 所以直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点,且该定点的坐标为 (? ,0) ?????????????16 分 2 n?3 n?2 时 , 19. 解 : (1) 因 为 , 所 以 当 a1b ? 1 a b ? a2 b ???? ? a b 2 n 3 n ?n 3? 2 , 两 式 相 减 , 得 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? an?1bn?1 ? (n ?1) ? 2n?2
anbn ? n ? 2n?3 ? (n ?1) ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?2 (n ? 2) ,
而当 n ? 1 时, a1b1 ? 16 ,适合上式,从而 anbn ? (n ? 1) ? 2
n?2

(n ? N * )

又因为 ?bn ? 是首项为 4,公比为 2 的等比数列,即 bn ? 2n?1 ,所以 an ? 2n ? 2

n(4 ? 2n ? 2) 4(1 ? 2n ) ? ? 2n? 2 ? n2 ? 3n ? 4 2 1? 2 n ? 1 n?2 n ? 2 (n ? N * ) ,所以 bn ?1 ? ? 2n ?1 ( n ? 2) , (2)①设 an ? kn ? b ,则 bn ? kn ? b kn ? k ? b b n ? 1 kn ? k ? b ? ? 2 ? q 对任意的 n ? 2 恒成立 设 ?bn ? 的公比为 q ,则 n ? bn?1 kn ? b n
从而数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ?
07 6

即 k (2 ? q)n2 ? b(2 ? q)n ? 2(b ? k ) ? 0 对任意的 n ? 2 恒成立, 又 a1 ? 8 ,故 q ? 2, b ? k ? 4 ,且 b1 ? 2 ?从而 an ? 4n ? 4, bn ? 2n ②假设数列 {bn } 中第 k 项可以表示为该数列中其它 r (r ? N , r ? 2) 项 bt1 , bt2 , ???, btr (t1 ? t2 ? ??? ? tr ) 的和,即 bk ? bt1 ? bt2 ???? ? btr ,从而 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ,易知 k ? tr ? 1
k t t t

(*)???????13 分

又 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 r ?
k t t t 1 2 3 t

tr ?1 tr ?1 2(1 ? 2tr ) ? 2 ?2? 2 , 1? 2

所以 k ? tr ? 1 ,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在 20.解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ,则 f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ?1,故 k ? f ?(1) ? 4 ????????2 分 又切点为 (1,1) ,故所求切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 3 ? 0 ?????????????4 分 (2)由题意知, f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a 在区间(1,2)上有不重复的零点,
2 由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a ? 0 ,得 (3x2 ? 1)a ? ?2 x ,因为 3x ? 1 ? 0 ,所以 a ? ?

2x 3x 2 ? 1

2x 2x 6 x2 ? 2 ? , 则 在区间(1,2)上是增函数, y ? ? 0 ,故 y ? ? 2 2 2 2 3x ? 1 3x ? 1 (3x ? 1) 4 4 所以其值域为 (?1, ? ) ,从而 a 的取值范围是 (?1, ? ) 11 11 3 2 (3) h( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? ax ? (3a ? 1) x ? (2 ? a) x ? a ,
令y?? 由题意知 h( x) ? h(? 1) 对 x ? [?1, b] 恒成立 , 即 ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (2 ? a) x ? a ? 2a ?1 对 x ? [?1, b] 恒成立 , 即 ( x ? 1)[ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a)] ? 0 当 x ? ?1 时,①式显然成立; 当 x ? (?1, b] 时,①式可化为 ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ? 0
2

①对 x ? [?1, b] 恒成立 ???? ②,

令 ? ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ? 即?

?? (?1) ? 0 ? ? (b) ? 0

?4a ? 0 b 2 ? 2b ? 3 1 ?? , 其等价于 2 b ?1 a ?ab ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0 ?

③ ,

因为③在 a ? (??, ?1] 时有解,所以 从而 b 的最大值为

b 2 ? 2b ? 3 1 17 ? 1 ? (? ) max ? 1 ,解得 ?1 ? b ? , b ?1 a 2

17 ? 1 2

07

7


2014-2015学年江苏高三数学模拟试卷

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