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2015届高考数学一轮复习质量检测:集合、常用逻辑用语与函数、导数及应用(北师大版)

时间:2016-12-19


2015 届高考数学一轮复习质量检测:集合、常用逻辑用语与函 数、导数及应用 时间:90 分钟 分值:120 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2013· 陕西卷)设全集为 R,函数 f(x)= 1-x2的定义域为 M, 则?RM 为( ) B.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

A

.[-1,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

解析:从函数定义域切入,∵1-x2≥0,∴-1≤x≤1,依据补 集的运算知所求集合为(-∞,-1)∪(1,+∞),选 D. 答案:D 2.(2013· 福建卷)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3” 是“A?B”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:因为 A={1,a},B={1,2,3},若 a=3,则 A={1,3},所 以 A?B;若 A?B,则 a=2 或 a=3,所以 A?BD? / a=3,所以“a =3”是“A?B”的充分而不必要条件. 答案:A 3.(2013· 山东烟台诊断)下列说法错误的是( )

A.命题“若 x2-4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3, 则 x2-4x+3≠0” B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.命题 p:“?x∈R,使得 x2+x+1<0”,则綈 p:“?x∈R,
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x2+x+1≥0” 解析:若 p∧q 为假命题,则 p、q 中至少有一个是假命题,故选 C. 答案:C

解析:由定积分的几何意义,结合三个函数的图象,易知 a>b>c. 答案:B 5. 若函数 f(x)=ax2+(a2-1)x-3a 为偶函数, 其定义域为[4a+2, a2+1],则 f(x)的最小值为( )

A.3 B.0 C.2 D.-1 解析:由 f(x)为偶函数知 a2-1=0, 即 a=± 1, 又其定义域需关于原点对称, 即 4a+2+a2+1=0 必有 a=-1. 这时 f(x)=-x2+3, 其最小值为 f(-2)=f(2)=-1. 故选 D. 答案:D 6.已知 a 是函数 f(x)=2x-log1 x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)
2

的值满足(

) B.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不能确定

A.f(x0)=0 C.f(x0)<0
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解析:

答案:C 1 7.(2014· 河北名校名师俱乐部二调)曲线 y=2x2+x 在点(2,4)处 的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 4 2 A.1 B.2 C.3 D.3 解析:y′=x+1,所以切线在点(2,4)处的斜率为 3,切线方程 2 为 y-4=3(x-2),令 x=0,得 y=-2,令 y=0,得 x=3,所以切 1 2 2 线与坐标轴围成的三角形的面积为 S=2×|-2|×3=3. 答案:D 8.(2013· 青岛市统一质检)已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4-x),且当 x≠2 时其导函数 f′(x)满足 xf′(x)>2f′(x), 若 2<a<4 则( ) )

A.f(2a)<f(3)<f(log2a) B.f(3)<f(log2a)<f(2a) C.f(log2a)<f(3)<f(2a)

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D.f(log2a)<f(2a)<f(3) 解析:由 f(x)=f(4-x)知函数 f(x)关于 x=2 对称,x≠2 时,有(x -2)f′(x)>0,∴x>2 时 f′(x)>0,x<2 时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,2) 上单调减,在(2,+∞)上单调增,2<a<4 时 4<2a<16,klog2a<2,∴ log2a<2<2a,知 f(log2a)<f(3)<f(2a),选 C. 答案:C a? ? 9.(2013· 南平市质检)已知函数 f(x)=?ex+ex?,(a∈R,e 是自然
? ?

对数的底数),在区间[0,1]上单调递增,则 a 的取值范围是( A.[0,1] C.[-1,1] 1 解析:当 a=1 时,f(x)=ex+ex B.[-1,0]

)

D.(-∞,-e2)∪[e2,+∞)

1 e -1 f′(x)=e -ex= ex 在[0,1]上 f′(x)≥0,所以 f(x)在区间[0,1]上
x

x

单调递增. 1 a=-1 时 f(x)=ex-ex很显然在区间[0,1]上单调递增,故选 C. 答案:C 10.(2014· 河北名校名师俱乐部二调)下图中,有一个是函数 f(x) 1 =3x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R, a≠0)的导函数 f ′(x)的图象, 则 f (- 1)等于( )

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1 1 7 1 5 A.3 B.-3 C.3 D.-3或3 解析:∵f ′(x)=x2+2ax+(a2-1), ∴导函数 f ′(x)的图象开口向上. 又∵a≠0,∴其图象必为第(3)个图. 由图象特征知 f ′(0)=0,且-a>0,∴a=-1, 1 ∴f(x)=3x3-x2+1, 1 1 故 f(-1)=-3-1+1=-3. 答案:B
11 、设函数 f ( x ) 是 定义在 R 上的奇 函数,且 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4) , 当

x ? ( ?2, 0) 时, f ( x ) ? 2 x ,则 f ( 2012) ? f ( 2011) 的值为(
A. ?

) D. ? 2

1 2

B.

1 2

C. 2

【答案】A

1 ,由题可知函数的周期为 4 2 1 ?1 故 f ( 2012) ? f ( 2011) = f (0) ? f ( ?1) ? 0 ? 2 ? ? 。 2
【解析】 ,f(0)=0,f(1)=f(-1)=
12. 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 (四) 理】 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,

满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 ? 0, 2? 上是增函数,若方程 f ( x) ? m(m ? 0) ,在区间

? ?8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 =
A.-12 【答案】B 【解析】因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) , 由 f ( x) 为奇函数, 所以函数图象关于直线 x ? ?2 对称且 f (0) ? 0 , 由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知
f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增

B.-8

C.-4

D.4

函数,所以 f ( x) 在区间[?2,0]上也是增函数. 如图 2 所示,那么方程 f ( x) ? m(m>0) 在区间 [?8 , 8] 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,不妨设 x1<x2<x3<x4 ,由对称性知
x1 ? x2 ? ?6 ,即 x1+x2 = ?12,同理:x3+x4 = 4,所以 x1+x2+x3+x4 = ?12+4 = ?8.选 B. 2
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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
? ?log3x,x>0 11 . (2013· 重庆市九校联考 ) 已知函数 f(x) = ? x ,则 ?2 ,x≤0 ? ? ?1?? f?f?9??=________. ? ? ?? ?1? 1 解析:f?9?=-2,f(-2)=4, ? ? ? ?1?? 1 ∴f?f?9??=f(-2)=4. ? ? ??

1 答案:4 12.f(x)=xn
2
-3n

(n∈Z)是偶函数,且 y=f(x)在(0,+∞)上是减函

数,则 n=________. 解析: 因为 f(x)在(0, +∞)上是减函数, 所以 n2-3n<0, 即 0<n<3, 又因为 f(x)是偶函数,所以 n2-3n 是偶数,只有 n=1 或 2 满足条件. 答案:1 或 2 13.(2013· 山东菏泽模拟)设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)= 2x+1,则?2f(-x)dx 的值等于________.
?1

解析:由于 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,所以 f(x)=x2 1 1 ?2 5 +x,于是?2f(-x)dx=?2(x2-x)dx=(3x3-2x2)? =6. ?1 ?1 ?1 5 答案:6 14.(2014· 安徽池州一中高三月考)设二次函数 g(x)的图象在点
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(m,g(m))处的切线方程为 y=h(x),若 f(x)=g(x)-h(x),则下面说法 正确的有________(填出所有正确结论的序号). ①存在相异的实数 x1,x2,使 f(x1)=f(x2)成立; ②f(x)在 x=m 处取得极小值; ③f(x)在 x=m 处取得极大值; 1 ④不等式|f(x)|<2 013的解集非空; ⑤直线 x=m 一定为函数 f(x)图象的对称轴. 解析:特例法:不妨设 g(x)=x2,m=1. ∴g(x)在点(1,1)处的切线方程为 h(x)=2x-1,∴f(x)=x2-2x+ 1, 可以看出①②④⑤都成立. 对比②③⑤再举例 g(x)=-x2, 在点(1, -1)处的切线方程为 h(x)=-2x+1. f(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2+1,故②不对.∴①④⑤正确. 答案:①④⑤ 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 15.(满分 12 分)已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有
2 解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x0 +2ax0+2a≤0,若命题

“p∨q”是假命题,求 a 的取值范围. a 解:由 2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,∴x=2或 x=-a,
? a? ∴当命题 p 为真命题时,?2?≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2. ? ?
2 又“只有一个实数 x0 满足不等式 x0 +2ax0+2a≤0”,

即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2.
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∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2,或 a<-2}. 16. (满分 12 分)2013 年 8 月 31 日第十二届全运会在辽宁沈阳开 幕,历时 13 天.某小商品公司以此为契机,开发了一种纪念品,每 件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件,通过改进 工艺,产品的成本不变,质量得到提高,市场分析的结果表明:如果 产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1), 那么月平均销售量减少的百 分率为 x2,记改进工艺后,该公司销售纪念品的月平均利润是 y 元. (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,试确定该纪念品的销售价,使该公司销售该纪 念品的月平均利润最大. 解:(1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x)元,月平均销 售量为 a(1-x2)件, 则月平均利润为 y=a(1-x2)· [20(1+x)-15]元, 所以 y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1). 1 2 (2)由 y′=5a(4-2x-12x2)=0,得 x1=2,x2=-3(舍去), 1 1 所以当 0<x<2时,y′>0;当2<x<1 时,y′<0. 1 所以函数 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在 x=2处取得最大值. 1? ? 故改进工艺后, 纪念品的销售价为 20×?1+2?=30 元时, 该公司
? ?

销售该纪念品的月平均利润最大. 17. (满分 12 分)(2013· 贵州省六校联盟第一次联考)已知函数 f(x) a+bln x = 在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y=2. x+1
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(1)求 a,b 的值; m (2)对函数 f(x)定义域内的任一个实数 x,f(x)< x 恒成立,求实数 m 的取值范围. b x?x+1?-?a+bln x? a+bln x 解:(1)由 f(x)= ?f′(x)= x+1 ?x+1?2 而点(1,f(1))在直线 x+y=2 上?f(1)=1,又直线 x+y=2 的斜 率为-1?f′(1)=-1

?2=1 故有? 2b-a ? 4 =-1

a

? ?a=2 ?? ?b=-1 ?

2-ln x (2)由(1)得 f(x)= (x>0) x+1 由 xf(x)<m? 令 g(x)= 2x-xln x <m x+1

2x-xln x ?g′(x)= x+1

?1-ln x??x+1?-?2x-xln x? 1-x-ln x = ?x+1?2 ?x+1?2 1 令 h(x)=1-x-ln x?h′(x)=-1-x<0(x>0),故 h(x)在区间(0, +∞)上是减函数, 故当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,当 x>1 时,h(x)<h(1)=0 从而当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时,g′(x)<0 ?g(x)在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数,故 g(x)max=g(1) =1

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2x-xln x 要使 <m 成立,只需 m>1 x+1 故 m 的取值范围是(1,+∞). 18. (满分 14 分)(2014· 辽宁沈阳二中月考)已知函数 f(x)=ax2-(a +2)x+ln x. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求 a 的取值 范围; (3)若对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且 f(x1)+2x1<f(x2)+2x2 恒成立,求 a 的取值范围. 1 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x2-3x+ln x,f(x)=2x-3+x. 因为 f′(1)=0,f(1)=-2. 所以切线方程是 y=-2. (2)函数 f(x)=2ax2-(a+2)x+ln x 的定义域是(0,+∞). 1 当 a>0 时,f′(x)=2ax-(a+2)+x 2ax2-?a+2?x-1 = (x>0) x 2ax2-?a+2?x+1 令 f′(x)=0,即 f′(x)= x = ?2x-1??ax-1? =0, x

1 1 所以 x=2或 x=a. 1 当 0<a ≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以 f(x)在[1, e]上的最小值是 f(1)=-2;

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?1? 1 当 1<a <e 时,f(x)在[1,e]上的最小值是 f? a?<f(1)=-2,不合题 ? ?

意; 1 当a≥e 时,f(x)在(1,e)上单调递减, 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(e)<f(1)=-2,不合题意. ∴综上 a≥1. (3)设 g(x)=f(x)+2x,则 g(x)=ax2-ax+ln x, 只要 g(x)在(0,+∞)上单调递增即可.
2 1 2ax -ax+1 而 g′(x)=2ax-a+x= x

1 当 a=0 时,g′(x)=x>0,此时 g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≠0 时,只需 g′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因为 x∈(0, +∞),只要 2ax2-ax+1≥0, 则需要 a>0, 1 对于函数 y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴 x=4>0,只需 Δ =a2-8a≤0, 即 0<a≤8.综上 0≤a≤8.

19、解: (1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ( a ? 0 且 a ? 1) 1? x

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以函数 F ( x) 的定义域为 (?1, 1) ? ?1 ? x ? 0
令 F ( x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ? 0 ??(*)方程变为 1? x

log a ( x ? 1) 2 ? log a (1 ? x) , ( x ? 1) 2 ? 1 ? x ,即 x 2 ? 3 x ? 0
解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3 ??4 分 经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0
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所以函数 F ( x) 的零点为 0 . (2) m ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 (0 ? x ? 1) 1? x

m ? log a

x 2 ? 2x ? 1 4 ? log a (1 ? x ? ? 4) 1? x 1? x
4 ?4 1? x 4 在区间 (0, 1] 上是减函数 t

am ? 1? x ?

设 1 ? x ? t ? (0, 1] ,则函数 y ? t ?

当 t ? 1 时,此时 x ? 1 , y min ? 5 ,所以 a m ? 1 ①若 a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解; ②若 0 ? a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解
22. 已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x, y 恒有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且当 x>0 时, f(x)<0, 2 又 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在-3,6 上的最大值与最小值. 【答案】(1)令 x=y=0,可得 f(0)+f(0)=f(0+0),从而 f(0)=0. 令 y=-x,可得 f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0. 即 f(-x)=-f(x),故 f(x)为奇函数. (2)证明:设 x1,x2∈R,且 x1>x2,则 x1-x2>0,于是 f(x1-x2)<0,从而 f(x1)-f(x2) =f(x1-x2)+x2-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2)<0. ∴f(x)为减函数. (3)由(2)知,所求函数的最大值为 f(-3),最小值为 f(6). f(-3)=-f(3)=-f(2)+f(1) =-2f(1)-f(1)=-3f(1)=2, f(6)=-f(-6)=-f(-3)+f(-3)=-2f(-3)=-4. 于是 f(x)在-3,6 上的最大值为 2,最小值为-4.

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