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第五章第5讲数列的综合应用(学生)

时间:2017-10-13


第5讲

数列的综合应用

考点一__等差数列与等比数列的综合问题______ (2014· 高考北京卷)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn -an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

1.(2

013· 高考课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25 ,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2.

考点二__数列的实际应用问题__________________ 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到 第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,求 Sn(n≥7).

2.现有流量均为 300 m3 ? s 的两条河 A,B 汇合于某处后,不断混合,它们的含沙量分别为 2 kg ? m3 和 0.2 kg ? m3,假设从汇合处开始,沿岸设有若干观测点,两股水流在流经相邻两个观测点的过程中,其混 合效果相当于两股水流在 1 s 内交换 100 m3 的水量,即从 A 股流入 B 股 100 m3 水,经混合后,又从 B 股流入 A 股 100 m3 水并混合,问从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于 0.01 kg ? m3(不考虑沙沉淀).

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考点三__数列与不等式的综合问题(高频考点)__ - 等比数列{an}满足 an+1+an=9· 2n 1,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N*恒成立,求实数 k 的取值范围.

1 3.(1)(2015· 陕西商洛模拟)已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)· f(y)且 f(1)= . 2 ①当 n∈N*时,求 f(n)的表达式; ②设 an=n· f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+?+an<2;

2 ? * (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2-? ?n+1?an(n∈N ).
?an? ①求证:数列? n ?是等比数列; ? ?

1 1 1 1 2 ②设数列{2nan}的前 n 项和为 Tn,An= + + +?+ ,试比较 An 与 的大小. T1 T2 T3 Tn nan

交汇创新——数列与函数的交汇 (2014· 高考四川卷)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图象上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; 1 ?an? (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- ,求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ln 2 ? n?

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已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1 且 3an+1+2Sn=3(n 为正整数). (1)求{an}的通项公式; 3 (2)若?n∈N*, k≤Sn 恒成立,求实数 k 的最大值. 2

1.(2015· 山西省四校联考)设等差数列{an}和等比数列{bn}首项都是 1,公差与公比都是 2,则 ab +ab +ab +ab +ab =( ) A.54 B.56 C.58 D.57 a ? ? 2n,当an为偶数时, 2. 已知数列{a }满足: a =m(m 为正整数), a + =? 若 a =1, 则 m 所有可能的取值为( )
1 2 3 4 5

n

1

n 1

? ?3an+1,当an为奇数时.

6

A.{4,5} B.{4,32} C.{4,5,32} D.{5,32} a a 3.(2014· 高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2 1 n}为递减数列,则( ) A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 4.在数列{an}中,若 a1=-2,an+1=an+n· 2n,则 an=( ) 1? 1 1 2? 2 n 1- n? A.(n-2)· 2 B.1- n C. ?1-4n? D. ? 2? 2 3 3? 1? ? 1? 5 . (2015· 湖南澧县一中等三校联考 ) 在等比数列 {an}中, 0<a1<a4 = 1 ,则能使不等式? ?a1-a ? +?a2-a ? +?+
1 2

?an- 1 ?≤0 成立的最大正整数 n 是( an? ?

)

A.5 B.6 C.7 D.8 6.(2013· 高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________. 7.在等比数列{an}中,若 an>0,且 a1·a2·?·a7·a8=16,则 a4+a5 的最小值为________. S2n 8.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 (n∈N*)是非零常数,则称数列{an}为“和等比数列”.若数列{2bn}是首项 Sn 为 2,公比为 4 的等比数列,则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”. 9.在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比 q>0,设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项公式 an. 10.(2014· 高考浙江卷)已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3?·an=( 2)bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且 a1=2,b3 =6+b2. (1)求 an 与 bn; 1 1 (2)设 cn= - (n∈N*).记数列{cn}的前 n 项和为 Sn. an bn ①求 Sn; ②求正整数 k,使得对任意 n∈N*,均有 Sk≥Sn. 1.(2014· 高考江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn - (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 2.(2015· 湖南耒阳二中第一次月考)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,北京市计划用若干时间
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更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型车.今年初投入了 电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力 型每年比上一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n); (2)若该市计划 7 年内完成全部更换,求 a 的最小值.

1 1, ?是函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象上一点, 3. 已知点? 等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c, 数列{bn}(bn>0) ? 3? 的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1(n≥2,n∈N*). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; ? 1 ? 1 000 (2)若数列?b b ?的前 n 项和为 Tn.问 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 2 015 + ? n n 1?

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