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2011届高考数学第一轮复习单元检测试题 指数函数与对数函数

时间:2012-08-21


第三单元
一.选择题. (1) ( 已 ) A. 9 (2) f ( x ) ? a
x?b

指数函数与对数函数
, 那 么
1 f [ f ( )] 4 1 9







?3 x ( x ? 0 ) f (x) ? ? g 2 ?l o x ( x ? 0)
1 9







B.

C. ? 9

D. ?

的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是 B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 y 1





A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0

-1 O 1 ( )

(3)已知 0<x<y<a<1,则有 A.loga(xy)<0 B.0< loga(xy)<1 C.1< loga(xy)<2 D.loga(xy)>2 (4)若函数 y ? ( )
2 1
|1 ? x |

? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是





A.m≤-1

B.-1≤m<0
2a

C.m≥1 D.0<m≤1
( x ? 1) ? 0 ,则 a 的取值范围是

(5)若定义在(-1,0)内的函数 f ( x ) ? log
1





A. ( 0 , )
2

B. ? 0 , 1 ? ?
? 2? ?
x

C. ( , ?? )
2

1

D. ( 0 , ?? ) ( )

(6)若函数 y ? (log
1

1 2

a ) 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是
1

A. ( 0 , )
2

B. ( ,1)
2

C. ( , ?? )
2

1

D. (1, ?? )

(7)函数 y=logax 在 x ? ?2 , ?? ? 上总有|y|>1,则 a 的取值范围是 ( ) A. 0 ? a ?
1 2

或1 ? a ? 2

B. D. 0 ? a ?

1

? a ? 1 或1 ? a ? 2

C. 1 ? a ? 2

2 1 2

或a ? 2

(8)已知 f(x)=ax2+bx+c (a>0),α ,β 为方程 f(x)=x 的两根,且 0<α <β ,当 0<x<α 时,给出下列不等 式,成立的是 ( ) A.x<f(x) B.x≤f(x) C.x>f(x) D.x≥f(x)

(9)方程 log 2 ( x ? 4 ) ? 2 的根的情况是
x

( B.有两个正根 D.有两个负根



A.仅有一根 C.有一正根和一个负根 (10)若方程 2 a ? 9
sin x

? 4a ? 3

sin x

? a ? 8 ? 0 有解,则 a 的取值范围是
第1页 共6页





A.a>0 或 a≤-8 C. 0 ? a ?
8 31

B.a>0 D.
8 31 ? a ? 72 23

二填空题: (11)若 f(10x)= x, 则 f(5) = (12)方程 log
1 2

.

(x ?

x ? 1 ) ? a 有解,则实数 a 的取值范围是_________________
2

(13)关于 x 的方程 5 ?
x

a?3 5?a

有负根,则 a 的取值范围是_______________
a 2

(14) 函数 f(x)=ax (a>0, a≠1)在[1, 2]中的最大值比最小值大 三.解答题: (15)求 (lg 2 ) ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 的值.
2

, 则 a 的值为

.

(16)设 A、B 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2 与函数 y= log2x 图象 交于点 C, 与直线 AB 交于点 D. (Ⅰ)求点 D 的坐标; (Ⅱ)当△ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围.

(17)设函数 f ( x ) ? 2

| x ? 1| ? | x ? 1|

, 求使 f ( x ) ? 2 2 x 的取值范围.

第2页 共6页

(18)设 a>0 且 a≠1, f ( x ) ? log a ( x ?


x ? 1)
2

(x≥1)

(Ⅰ)求函数 f(x)的反函数 f 1(x)及其定义域; (Ⅱ)若 f
?1

(n) ?

3 ?3
n

?n

( n ? N *) ,求 a 的取值范围。

2

参考答案 一选择题: 1.B [解析]:∵ f ( ) ? log
4 1 1
2

? ?2

4

1 1 ?2 ? f [ f ( )] ? f ( ? 2 ) ? 3 ? 4 9

2.C [解析]:∵ f ( x) ? a
a
?b
x?b

是减函数,∴ 0 ? a ? 1 又图象与 y 轴交点的纵坐标大于 1,即

? 1? b ? 0

3.D [解析]:∵0<x<y<a<1 ∴ log
a

x ? log

a

a ?1

log

a

y ? log

a

a ?1

∴ log a ( xy ) ? log a x ? log 4.B

a

y ? 2

第3页 共6页

[解析]:? y ? ( ) 2 5.A

1

|1 ? x |

? 1 x ?1 ?( ) ? ? 2 ? 2 x ?1 ?

( x ? 1)

,画图象可知-1≤m<0
( x ? 1)

[解析]:当 x ? (-1,0)时, x ? 1 ? ( 0 ,1) ,而函数 f ( x ) ? log 故 0 ? 2a ? 1 6.A [解析]:∵ y ? (log 7.B [解析]:∵函数 y=logax 在 x ? ?2 , ?? ? 上总有|y|>1
a ) 在 R 上为增函数
x

2a

( x ? 1) ? 0

即0 ? a ?

1 2

1 2

∴ log

1 2

a ? 1? 0 ? a ?

1 2

① 当 0< a <1 时 ,函数 y=logax 在 x ? ?2 , ?? ? 上总有 y< -1 即 log
2 ? ?1? a ? 1 2

a

② 当 a ? 1 时,函数 y=logax 在 x ? ?2 , ?? ? 上总有 y>1 即 log
2 ? 1? a ? 2
1 2 ? a ? 1或 1 ? a ? 2

a

由 ①②可得 8.A

[解析]:α ,β 为方程 f(x)=x 的两根,即α ,β 为方程 F(x)= ax 且 0<α <β ,当 0<x<α 时 F(x)>0,即 f ( x ) ? x 9.C [解析]:采用数形结合的办法,画出图象就知。 10.D [解析]:方程 2 a ? 9
sin x

2

? ( b ? 1) x ? c =0 的两根, ∵a>0

? 4a ? 3

sin x

? a ? 8 ? 0 有解,

等价于求 a ? ∵3
sin x

8 2 ?9
sin x

? 4 ?3

sin x

?1

的值域

1 23 sin x sin x ? [ ,3 ] ∴ 2 ? 9 , 31 ] ? 4 ?3 ?1?[ 3 9

第4页 共6页

则 a 的取值范围为

8 31

? a ?

72 23

二填空题: 11. lg5 [解析]:由题意 10x= 5,故 x= lg5,即 f(5)= lg5 12. ? ? ? , 0 ? [解析]:函数 y ? log
(x ? x ? 1 ) 的定义域为 x ? 1,而此函数在定义域内是减函数
2

1 2

∴ y ? 0 即a ? 0 13.-3<a<1 [解析]:关于 x 的方程 5 ?
x

a?3 5?a

x 有负根,即 x ? 0 ,? 0 ? 5 ? 1 即 0 ?

a?3 5?a

?1

∴-3<a<1 14. 0.5 或 1.5 [解析]:∵函数 f(x)=ax (a>0, a≠1)在[1, 2]中的最大值比最小值大 ∴ ①当 0< a <1 时, a ? a ?
2

a 2

a 2 a 2

?a ? ?a ?

1 2 3 2

②当 a ? 1 时, 三.解答题:

a

2

?a ?

(15 )

原式 ? (lg 2 ) ? lg 2 (lg 2 ? 2 lg 5 ) ? 2 lg 5
2

? 2 (lg 2 ) ? 2 lg 2 lg 5 ? 2 lg 5
2

? 2 lg 2 (lg 2 ? lg 5 ) ? 2 lg 5 ? 2 lg 2 ? 2 lg 5 ? 2

(16)解 (Ⅰ)易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)), 所以由中点公式得 D(a+2, log2 a ( a ? 4 ) ).
(a ? 2)
2

(Ⅱ)S△ABC=S 梯形 AA′CC′+S 梯形 CC′B′B- S 梯形 AA′B′B=…= log2 其中 A′,B′,C′为 A,B,C 在 x 轴上的射影. 由 S△ABC= log2
(a ? 2)
2

a (a ? 4)

,

a (a ? 4)

>1, 得 0< a<2 2 -2.

第5页 共6页

x (17)解:由于 y ? 2 是增函数, f ( x ) ? 2 2 等价于 | x ? 1 | ? | x ? 1 |?

3 2



1)当 x ? 1 时, | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 2 ,? ①式恒成立。 2)当 ? 1 ? x ? 1 时, | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 2 x ,①式化为 2 x ? 3)当 x ? ? 1 时, | x ? 1 | ? | x ? 1 |? ? 2 ,①式无解
?3 ?
3 2

,即

3 4

? x ?1

综上 x 的取值范围是 ? , ? ? ? ?4 ?
?1

(18) 解 (Ⅰ) f

(x) ?

a

x

?a 2

?x

当 a>1 时,定义域为 ?0 , ?? ? 当 0<a<1 时,定义域为 ? ? ? , 0 ?
?1

(Ⅱ) f

(n) ?

3 ?3
n

?n

( n ? N *)

2 a
n



?a 2

?n

?

3 ?3
n

?n

2
n n

即 ( a ? 3 )[( 3 a ) ? 1] ? 0
n

?a n ? 3 n ? 0 ? 即? ? (3 a ) n ? 1 ? 0 ?



1 3

? a ? 3

第6页 共6页


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