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2015-2016学年高中数学 第1章 7正切函数课件 北师大版必修4


第一章
三角函数

第一章
§7 正切函数

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

课前自主预习

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“东升西落照苍穹,影短影长角不同”.随着太阳高度的 变化,地面物体的影子的长度也随之变化,在这些变化之中蕴

藏着物体影子长度与光线角度之间的关系,这个关系是什么
呢?前面我们已经研究了正弦、余弦函数的图像和性质,那么 正切函数又有什么特定的性质呢?

1.正切函数 π 在直角坐标系中,如果角 α 满足:α∈R,α≠2+kπ(k∈Z), 那么角 α 的终边与单位圆交于点 P(a , b) ,唯一确定比值 b b ________ ,根据函数的定义,比值________ 是角 α 的函数,我 a a π y = tan α 们把它叫作角 α 的正切函数,记作________,其中 α∈R,α≠2 +kπ(k∈Z).

2.正切线 在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0), 任意角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与 AT为角α的 角的终边或终边的延长线相交于点T,称线段________

正切线.

π 3.正切函数 y=tanx(x∈R,x≠2+kπ,k∈Z)的主要性质 ? ? ? ? ? π ? ? ? x x∈R,x≠kπ+2,k∈Z ; (1)定义域________________________ ? ? ? ? ? R (2)值域________ ;

kπ(k∈Z,k≠0) ,最小 (3)正切函数是周期函数,周期是________________ π 正周期是______ ; 原点O 对称,tan(-x)=-tanx,正切函 (4)正切曲线关于________ 奇 数是________ 函数; π π -2+kπ,2+kπ(k∈Z) (5) 正切函数在每一个开区间 ____________________ 内都
是递增的.

4.有关正切函数的诱导公式 tanα tan(α+kπ)=________. tanα tan(2π+α)=________. -tanα tan(-α)=________. -tanα tan(2π-α)=________. tanα ,tan(π-α)=________. -tanα tan(π+α)=________

1.函数 y=tan2x 的最小正周期是( π A.4 C.π π B.2 D.2π

)

[答案] B

π [解析] 由正切函数的周期公式可知T=2.

2π 2.tan 3 等于( A.- 3 3 C.- 3

) B. 3 3 D. 3

[答案] A

2π π π [解析] tan 3 =tan(π-3)=-tan3=- 3.

3.下列命题中,正确的是( A.y=tanx 是增函数

)

B.y=tanx 在第一象限是增函数 π π C.y=tanx 在区间(kπ-2,kπ+2)(k∈Z)上是增函数 D.y=tanx 在某一区间内是减函数

[答案] C

3π [解析] 对于选项 A,例如 x1=0,x2= 4 ,x1<x2,但 tan0 3π =0,tan 4 =-1,tanx1>tanx2,故 A 不对.对于选项 B,例如 π π x1=4,x2=2π+4,x1<x2,但 tanx1=tanx2,故 B 不对.对于选 项 C,由正切函数的性质知是正确的.选项 D 不正确.

4.满足 tanx≤- 3的 x 的集合是________.
[答案]
? π π? ?kπ- ,kπ- ?(k∈Z) 2 3? ? ? π π? 在?-2,2?内 tanx=- ? ?

[解析]

π 3时,x=-3,

∴tanx≤-

? π π? 3时,x∈?-2,-3?, ? ?

又 y=tanx 的周期为 kπ(k∈Z). ∴x
? π π? 的集合为?kπ-2,kπ-3?(k∈Z). ? ?

π π 5. 函数 y=3tan(ωx+6)的最小正周期是2, 则 ω=________. [答案] ± 2 π π [解析] T=|ω|=2,∴ω=± 2.

课堂典例讲练

正切函数的定义及应用
3 若 tanα=4,借助三角函数的定义求角 α 的正弦 函数值和余弦函数值.

[思路分析]

由 tanα>0 可判断出角 α 所在的象限,然后利

用三角函数的定义求 sinα 与 cosα.

[规范解答]

3 因为 tanα=4>0,

所以,α 是第一或第三象限的角. 3 (1)如果 α 是第一象限角,则由 tanα=4知,角 α 终边上必 有一点 P(4,3),所以 x=4,y=3. 因为 r=|OP|= 42+32=5, y 3 x 4 所以 sinα=r =5,cosα=r =5.

3 (2)如果 α 是第三象限的角,则由 tanα=4可知,角 α 终边 上必有一点 P(-4,-3),所以 x=-4,y=-3. 可知 r=|OP|= ?-4?2+?-3?2=5, 3 4 y x 所以 sinα=r =-5,cosα=r =-5. [规律总结] (1)已知角 α 终边上一点 P(x,y),点 P 到原点
y x y O 的距离 r=|OP|= x +y ,则 sinα=r ,cosα=r ,tanα=x.
2 2

(2)已知角 α 的正切值,在求它的正弦值和余弦值时,要注 意对 α 角所在的象限分类讨论.

2tanα 已知角 α 的终边经过点 P(1,-2),求 的值. 1-tan2α [解析] ∵x=1,y=-2,
-2 ∴tanα= 1 =-2. -4 4 2tanα ∴ =3. 2 = 1-tan α -3

正切函数的图像
利用正切函数的图像作出 y = tanx + |tanx| 的图 像,并写出其值域及周期. [思路分析] 先化成分段函数,再借助正切函数的图像作

图.

π [规范解答] ∵当 x∈(kπ-2,kπ]时,y=tanx≤0, π 当 x∈(kπ,kπ+2)时,y=tanx>0, ∴y=tanx+|tanx| π ? ?0,x∈?kπ-2,kπ], =? ?2tanx,x∈?kπ,kπ+π?,以上k∈Z. 2 ?

如图所示.

由图像可知其值域为[0,+∞),周期为 π.

[规律总结]

(1)作函数y=|f(x)|的图像一般利用图像变换方

法,具体步骤是: ①保留函数y=f(x)的图像在x轴上方的部分;

②将函数y=f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图像,再 利用周期性,延拓到定义域上即可.

π 已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2),y=f(x)的部分图 π 像如图,则 f(24)=________.

[答案]

3

π π [解析] ∵T=2=ω,∴ω=2. 当 x=0 时,f(0)=Atanφ=1,
?3π? ?3π ? 3π 当 x= 8 时,f? 8 ?=Atan? 4 +φ?=0, ? ? ? ?

π ∴φ=4,A=1,
?π? ? π π? π ∴f?24?=tan?2×24+4?=tan3= ? ? ? ?

3.

正切函数的定义域、值域问题
5 求函数y= 的值域. 2 2tan x-4tanx+3

[思路分析]

通过换元将原三角函数化成分母上是二次函

数的分式函数,再由二次函数求值域的方法即可解决.

[规范解答]

∵2tan2x-4tanx+3=2(tanx-1)2+1≠0,

5 又∵函数 tanx 的值域是 R.设 t=tanx,则 y= 2 . 2t -4t+3 ∵2t2-4t+3=2(t-1)2+1≠0, 5 ∴y= 2 的定义域为 R, 2t -4t+3 ∴2yt2-4yt+3y-5=0. ∴当 y=0 时, t 不存在; 当 y≠0 时, Δ=16y2-8y(3y-5)≥0, 即 y2-5y≤0, ∴0<y≤5.所以函数的值域是(0,5].

[规律总结]

求与正切函数有关的函数的定义域、值域的

方法及应注意的问题. (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义 域的一般要求外,还要保证正切函数 y=tanx 有意义,即 x≠kπ π +2(k∈Z).而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图像 求解. (2)求解与正切函数有关的函数值域时,要注意函数的定义 域,在定义域内求值域;对于求由正切函数复合而成的函数的 值域时,常利用换元法,但要注意新“元”的范围.

求函数y=tan(sinα)的值域.
π π [解析] ∵-1≤sinα≤1,[-1,1]?(-2,2), 又∵y=tanx 在[-1,1]上是增函数, ∴tan(-1)≤tan(sinx)≤tan1. 即函数的值域是[-tan1,tan1].

与正切函数有关的函数的单调性问题

1 π 求函数y=tan(2x-4)的单调区间. 1 π [思路分析] 利用整体代换,将 2 x- 4 看作一个整体进一
步求解.

[规范解答 ]

π 1 π π π 由 kπ - 2 < 2 x - 4 <kπ+2 ,k ∈ Z,得 2kπ- 2

3π <x<2kπ+ 2 ,k∈Z, π 3π ∴该函数的单调递增区间是(2kπ-2,2kπ+ 2 ),k∈Z.

[规律总结]

正切函数单调性的解读

(1)正切函数在每一个单调区间内都是增函数,在整个定义 域内不是增函数,另外正切函数不存在减区间. (2)对于函数 y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数)的单调区间 问题,可先由诱导公式把 x 的系数化为正值,再利用“整体代 π π 换”思想,由 kπ-2<x<kπ+2(k∈Z),求得 x 的范围即可. (3)运用正切函数单调性比较大小的步骤: ①运用下节要学习的诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系.

π 若 f(x)=tan(x+4),则( A.f(-1)>f(0)>f(1) C.f(1)>f(0)>f(-1)

) B.f(0)>f(1)>f(-1) D.f(0)>f(-1)>f(1)

[答案] D
[解析]

π π π 3π π 3π π 由-2<x+4<2,得- 4 <x<4.∴f(x)在(- 4 ,4)上

3π 是增加的,且 f(1)=f(-π+1),而- 4 <1-π<-1<0, ∴f(0)>f(-1)>f(1).

正切函数的诱导公式及应用
tan?540° -α?tan?α-270° ?tan?α+180° ? 化简: . tan?α-180° ?tan?810° +α?tan?-α-360° ?

[思路分析] 利用诱导公式均化为 α 的三角函数. tan?-α?tan?α+90° ?tanα [规范解答] 原式= -tan?180° -α?tan?90° +α?tan?-α?
-tanα· ?-cotα?· tanα = =1. tanα· ?-cotα?· ?-tanα?

[规律总结]

利用诱导公式主要是进行角的转化,可以达

到统一角的目的.

tan225° +tan750° 求 的值. tan?-30° ?-tan?-45° ?

[分析] 利用诱导公式均化为锐角的正切值后,再求值.
tan?180° +45° ?+tan?720° +30° ? [解析] 原式= -tan30° +tan45° 3 1+ 3 tan45° +tan30° = = =2+ 3. -tan30° +tan45° 3 - 3 +1 [点评] 此类题目的求解过程是先化为锐角 ( 特殊角) 的正
切值,再求值.

易错疑难辨析

已知集合 A={x|tanx>0},集合 B={x| tanx+ 3tan2x+2 3tanx-3≥0},试求 A∩B.

[错解] 由 tanx+ 3tan2x+2 3tanx-3≥0,
? ?tanx≥0, 得? 2 ? 3tan x +2 ?

3tanx-3≥0,

?tanx≥0, ? 即? 3 tanx≥ 3 或tanx≤- 3, ? ?

3 π 所以 tanx≥ 3 ,解得 x≥kπ+6(k∈Z). 故
? ? ? π ? ? A∩B= x x≥kπ+6,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

[辨析] 上述解法错误的原因是误认为正切函数是 R 上的 单调递增函数.

[正解] 由 tanx+ 3tan2x+2 3tanx-3≥0,
? ?tan≥0, 得? 2 ? 3tan x +2 ?

3tanx-3≥0,

?tanx≥0, ? 即? 3 tanx≥ 3 或tanx≤- 3, ? ?

3 所以 tanx≥ 3 .因为 A={x|tanx>0}, 所以
? ? ? A∩B=?x? ?tanx≥ ? ? ?

3 3

? ? ? ? ?

.

由正切函数的单调性, 得
? ? ? π π ? ? A∩B= x kπ+6≤x<kπ+2,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ?

.

[规律总结]

正切函数在每一个单调区间内都是增函数,

但是在整个定义域内不是增函数,利用单调性解题时,不要忽 略正切函数的定义域.


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