nbhkdz.com冰点文库

等差数列及其前n项和 经典习题














第 28 讲 一、基本概念
1.等差数列的定义

等差数列及其前 n 项和

如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列,

这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示.

2.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d.

3.等差中项
a+b 如果 A= ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 2

4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).

例 1:等差数列 {an }中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列{an }前9 项的和 S9 等于?

(3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. (4) .如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 B. 解析:由 a1+a8=a4+a5,∴排除 C. 又 a1·a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d, ∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d +12d2>a1·a8. (5) .已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 |m-n|等于( A.1 4.C 解析: 解法 1:设 a1=
1 1 1 1 ,a2= +d,a3= +2d,a4= +3d,而方程 x2-2x+m=0 中两根之和为 2,x2 4 4 4 4 1 的等差数列,则 4

).

B.a1a8<a4a5

C.a1+a8<a4+a5

D.a1a8=a4a5

). B.
3 4

C.

1 2

D.

3 8

-2x+n=0 中两根之和也为 2,
1

时老师

成绩提升快 乐在汇思维













∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4, ∴d= ∴
1 1 7 3 5 ,a1= ,a4= 是一个方程的两个根,a1= ,a3= 是另一个方程的两个根. 2 4 4 4 4

7 15 , 分别为 m 或 n, 16 16 1 ,故选 C. 2

∴|m-n|=

解法 2:设方程的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4=n. 由等差数列的性质:若?+s=p+q,则 a?+as=ap+aq,若设 x1 为第一项,x2 必为第四项,则 x2= 于是可得等差数列为 ∴m=
1 3 5 7 , , , , 4 4 4 4 7 , 4

7 15 ,n= , 16 16 1 . 2

∴|m-n|=

5.等差数列的前 n 项和公式
n?a1+an? 若已知首项 a1 和末项 an,则 Sn= ; 2 n?n-1? 若已知首项 a1 和公差 d,则其前 n 项和公式为 Sn=na1+ d. 2

例 2:(2011· 福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

性质(1)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.

例 3:在等差数列 ?an ? 中,若 S4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为?
性质(2)S2n-1=(2n-1)an.

例 4:两个等差数列 ?an ? , ?bn ? ,

a1 ? a2 ? ... ? an 7n ? 2 a ? , 则 5 =_ __。 b1 ? b2 ? ... ? bn n?3 b5 a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5


例 5: (辽宁)设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若

nd 性质(3)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= ;若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项). 2

例 6:在等差数列 ?an ? 中,公差 d ?

1 ,前 100 项的和 S100 ? 45 , 2
2

时老师

成绩提升快 乐在汇思维













则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 = 6.Sn 的最值问题



6.1 求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法: (1)利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的最值.

例 7:设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

(2)利用等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A、B 为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.

例 8.(2012 浙江 7)设 Sn 是公差为d(d ≠ 0)的无穷等差数列{ }的前n项和,则下列命题 错误的是( )

A.若d<0,则数列{Sn }有最大项 B.若数列{Sn }有最大项,则d<0 C.若数列{Sn }是递增数列,则对任意的n ? N+,均有Sn >0 D.若对任意的n ? N+,均有Sn >0,则数列{Sn }是递增数列 练习(2013 辽宁文理)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ?an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?

p2 : 数列? n a n ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;

其中的真命题为 (A) p1 , p2 (B) p3 , p4 (C) p2 , p3 (D) p1 , p4

7.等差数列的判断方法
3

时老师

成绩提升快 乐在汇思维













(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An2+Bn.

注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列. 1 例 9:已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2),a1=2.
?1? (1) 求证:?S ?是等差数列;(2)求 an 的表达式. ? n?

课时作业(二十八)A
基础热身

[第 28 讲

等差数列]

[时间:35 分钟]

1.[2011· 江门调研] 在等差数列{an}中,已知 a1=1,a2+a4=10,an=39,则 n=( ) A.19 B.20 C.21 D.22 2.[2011· 武汉模拟] 已知数列{an}是等差数列,若 a1+a5+a9=2π,则 cos(a2+a8)=( ) 1 3 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 3.[2011· 太原一模] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1+a5=16,且 a9=12,则 S11=( ) A.260 B.220 C.130 D.110 4.[2011· 湖南卷] 设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=________.

能力提升
5.[2011· 三明二中二模] 数列{an}满足 3+an=an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9, 1 则 log (a5+a7+a9)的值是( ) 6 1 1 A.-2 B.- C.2 D. 2 2 1 6.[2011· 邯郸二模] 在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11=( ) 3 A.14 B.15 C.16 D.17 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 S4 1 S8 8.[2011· 郑州质检] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 = ,则 =( ) S8 3 S16 1 1 1 3 A. B. C. D. 8 3 9 10 9. [2011· 广州一模] 已知数列{an}是等差数列, 若 a4+2a6+a8=12, 则该数列前 11 项的和为________. 10.[2011· 惠州二模] 已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若 bn=a3n,则数列{bn}的前 9 项和等于 ________. 11.[2011· 南通、扬州、泰州调研] 设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80, 则 a11+a12+a13=________. 12.(13 分)[2012· 吉林摸底] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n-n2,(n∈N*). (1)求 a1 和 an; (2)记 bn=|an|,求数列{bn}的前 n 项和.
4

时老师

成绩提升快 乐在汇思维













课时作业(二十八)B
基础热身

[第 28 讲

等差数列]

[时间:35 分钟 分值:80 分]

1.[2011· 昌平二模]数列{an}对任意 n∈N*,满足 an+1=an+3,且 a3=8,则 S10 等于( ) A.155 B.160 C.172 D.240 2.[2011· 福州质检]等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a9+a11=30,那么 S13 的值是 A.65 B.70 C.130 D.260 3.[2011· 佛山一模]在等差数列{an}中,a1=0,公差 d≠0,若 ak=a1+a2+a3+…+a7,则 k=( A.21 B.22 C.23 D.24 4.[2011· 辽宁卷] Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________.

)

能力提升
S3 S2 5. [2011· 汕头一模] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 - =1, 则数列{an}的公差 d 是( ) 3 2 1 A. B.1 C.2 D.3 2 6.[2011· 漳州质检] {an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,令 bn=a3n,则数列{bn}的一个通项公式 是( ) A.bn=3n+2 B.bn=4n+1 C.bn=6n-1 D.bn=8n-3 7.[2011· 江西卷] 设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大时,n 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.[2011· 东城一模] 在等差数列{an}中,若 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=________. 1 1 10.[2011· 东城综合] 若数列{an}满足 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为调和数列.记 an+1 an ?1? 数列?x ?为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________. ? n? 11.[2011· 海淀二模] 已知数列{an}满足 a1=t,an+1-an+2=0(t∈N*,n∈N*),记数列{an}的前 n 项 和的最大值为 f(t),则 f(t)=________. 12.(13 分)[2012· 豫南九校联考] 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. 1 (1)求 an 及 Sn;(2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 课时作业(二十八)A 【基础热身】1.B;2.A;3.D;4.25; 【能力提升】5.A;6.C;7.C;8.D;9.33;10.405;11.105; 课时作业(二十八)B 【基础热身】1.A;2.C;3.B;4.-1;

【能力提升】5.C;6.C;7.B;8.C;9.42;10.20;11.

? ??t+1? ? 4 ?t为奇数?
2

t2+2t ?t为偶数?, 4

5

时老师

成绩提升快 乐在汇思维


等差数列及其前n项和 经典习题

等差数列及其前n项和 经典习题_数学_高中教育_教育专区。经典习题中 国 品 牌 家 教 第 28 讲一、基本概念 1.等差数列的定义 等差数列及其前 n 项和 如果...

等差数列及其前n项和练习题

等差数列及其前n项和练习题_数学_高中教育_教育专区。第1讲一、填空题 等差数列及其前 n 项和 1.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=___.[来...

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析_数学_高中教育_教育专区。等差数列及其前 n 项和【考纲说明】 1、理解等差数列的概念,学习等差数列的基本性质. ...

等差数列及其前n项和随堂练习(含答案)

等差数列及其前n项和随堂练习(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列及其前 n 项和 (时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1 1. [2013· ...

等差数列及其前n项和 测试题 练习题

等差数列及其前n项和 测试题 练习题_数学_高中教育_教育专区。等差数列及其前 n 项和 测试题 A级 基础题 1.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=___....

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析_理化生_高中教育_教育专区。等差数列及其前 n 项和【考纲说明】 1、理解等差数列的概念,学习等差数列的基本性质....

等差数列前n项和基础练习题

等差数列前n项和基础练习题_数学_高中教育_教育专区。1.等差数列的定义式: an ? an?1 2.等差数列通项公式: 等差数列性质总结 ( n ? 2) ; ? d (d为常...

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前n项和公式推导及例题解析_数学_高中教育_教育专区。等差数列的前 ...等差数列典型例题及分析 13页 1下载券 《等差数列前n项和公式》... 12页 ...

等差数列及其前n项和练习题

C. D. 2 2 2 ) 二、填空题 2 S ? n ? 3n .则此数列的公差 d ? ? ? a n n 11.等差数列 的前 n 项和 . 12.设等差数列 ?an ? 的前 n ...