nbhkdz.com冰点文库

高三数学第一轮复习单元讲座 第06讲 函数与方程教案 新人教版

时间:2013-05-24


普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 6)—函数与方程
一.课标要求: 1.结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数 的零点与方程根的联系; 2.根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种 方法是求方程近似解的常用方法。 二.命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增

的知识点,特别是“二分法”求方程的 近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看,十分注重对三个“二次” (即 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多 重要的结论,并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。 预计 2008 年高考对本讲的要求是:以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函 数与方程的关系为目标来考察学生的能力。 (1)题型可为选择、填空和解答; (2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题,同时考察函数方程 的思想。 三.要点精讲 1.方程的根与函数的零点 (1)函数零点 概 念 : 对 于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。
函 数零 点的 意义 :函 数 y ? f (x) 的 零点 就是 方程 f ( x) ? 0 实 数 根, 亦即 函数

y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的
图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点。 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的零点:
2

1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交
2

点,二次函数有两个零点; 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴
2

专心

爱心

用心

1

有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点; 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函
2

数无零点。 零点存在性定理:如果函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点。既存在 c ? (a, b) , 使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤: 对于在区间 [a , b] 上连续不断,且满足 f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) ,通过 不断地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [a , b] ,验证 f (a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 (a , b) 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f (a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; (4)判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4。 注:函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标;
专心 爱心 用心 2

若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点。 注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件 f (a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求 函数的近似零点都是指变号零点。 3.二次函数的基本性质 2 2 (1)二次函数的三种表示法:y=ax +bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0) +n。 (2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0=

1 (p+q)。 2

b <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a b b 若 p≤- <x0,则 f(- )=m,f(q)=M; 2a 2a b b 若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f(- )=m; 2a 2a b 若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m。 2a 2 (3)二次方程 f(x)=ax +bx+c=0 的实根分布及条件。 ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;
若-

?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b ②二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ?? ? r, ? 2a ?a ? f ( r ) ? 0 ?
?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? p ? ? b ? q, ? ?? ③二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ?a ? f ( p ) ? 0; ?
④二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立。 四.典例解析 题型 1:方程的根与函数零点 例 1. (1)方程 lgx+x=3 的解所在区间为( )

A.(0,1)

B.(1,2)
专心 爱心

C.(2,3)
用心

D.(3,+∞)
3

(2)设 a 为常数,试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的实根的个数。 解析: (1)在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图)。它们的交点横坐标 x0 ,显然在区间(1,3)内, 由此可排除 A,D 至于选 B 还是选 C,由于画图精确性的限制,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

y
3 2 1

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

o

1

2 x0 3

x

单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较 x0 与 2 的大小。当

x=2 时,lgx=lg2,3-x=1。由于 lg2<1,因此 x0 >2,从而判定 x0 ∈(2,3),故本题应
选 C。

?x ? 1 ? 0 ?3 ? x ? 0 ? (2)原方程等价于 ? ?a ? x ? 0 ?( x ? 1)(3 ? x) ? a ? x ?
即?

Y 4 3 2 1 0 1 2 3 4

y?a

?a ? ? x ? 5 x ? 3 ?1 ? x ? 3
2

X

2 构造函数 y ? ? x ? 5x ? 3 (1 ? x ? 3) 和 y ? a ,作出

x?5 2 Y(x)=-x^2+5x-3
? ?ì ?? ?? ·? ?? ?? ?? ±?? ?? ?é °±- http://www.alentum.com/agrapher/ í ??

它们的图像,易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得:

13 时,原方程有一解; ①当 1 ? a ? 3 或 a ? 4
13 时,原方程有两解; 4 13 时,原方程无解。 ③当 a ? 1 或 a ? 4
②当 3 ? a ? 点评:图象法求函数零点,考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形 结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间。数形结合,要在结合方面下功夫。不仅要通过图 象直观估计,而且还要计算 x0 的邻近两个函数值,通过比较其大小进行判断。 例 2. (2005 广东 19)设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x ) ? f (2? x ),

f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 。
(Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性;

专心

爱心

用心

4

(Ⅱ)试求方程 f ( x ) =0 在闭区间[-2005, 2005] 上的根的个数, 并证明你的结论。 解 析 : 由 f(2 - x)=f(2+x),f(7 - x)=f(7+x) 得 函 数 y ? f (x) 的 对 称 轴 为

x ? 2和x ? 7 ,
从而知函数 y ? f (x) 不是奇函数,

由?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f (x) 的周期为 T ? 10
又 f (3) ? f (0) ? 0, 而f (7) ? 0 ,故函数 y ? f (x) 是非奇非偶函数; (II)由 ?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10)
(III) 又 f (3) ? f (0) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 y ? f (x) 在[0,2005]上 有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? f (x) 在[-2005,2005]上有 802 个解。 点评:解题过程注重了函数的数字特征“ f (1) ? f (3) ? 0 ” ,即函数的零点,也就是 方程的根。 题型 2:零点存在性定理 例 3. (2004 广东 21)设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? m) ,其中常数 m 为整数。 (1)当 m 为何值时, f ( x) ? 0 ; (2)定理:若函数 g ( x) 在 [ a, b] 上连续,且 g (a ) 与 g (b) 异号,则至少存在一点

x0 ? (a, b) ,使得 g ( x0 ) ? 0
专心 爱心 用心 5

试用上述定理证明:当整数 m ? 1 时,方程 f ( x) ? 0 在 ?e ?

?m

? m, e 2 m ? m ? 内有两个 ?

实根。 解析: (1)函数 f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续,且

f ' ( x) ? 1 ?

1 , 令f ' ( x) ? 0, 得x ? 1 ? m x?m


当 x∈(-m,1-m)时,f (x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) ’ 当 x∈(1-m, +∞)时,f (x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法,f(1-m)=1-m 为极小值,而且 对 x∈(-m, +∞)都有 f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数 m≤1 时,f(x) ≥1-m≥0 (2)证明:由(I)知,当整数 m>1 时,f(1-m)=1-m<0, 函数 f(x)=x-ln(x+m),在 [e ?m ? m,1 ? m] 上为连续减函数.

f (e ? m ? m) ? e ? m ? m ? ln(e ? m ? m ? m) ? e ? m ? 0 当整数m ? 1时, f (e ?m ? m)与f (1 ? m)异号,
由所给定理知,存在唯一的 x1 ? (e ?m ? m,1 ? m),使f ( x1 ) ? 0 而当整数 m>1 时,

2m(2m ? 1) ? 3m ? 0 2 (? m ? 1 ? 2m ? 1 ? 1, 上述不等式也可用数学 归纳法证明 ) f (e 2 m ? m) ? e 2 m ? 3m ? (1 ? 1) 2 m ? 3m ? 1 ? 2m ?
类似地,当整数 m>1 时,函数 f(x)=x-ln(x+m),在 [1 ? m, e ?m ? m] 上为连续增函数且

f(1-m) 与

f (e 2m ? m) 异 号 , 由 所 给 定 理 知 , 存 在 唯 一 的

x2 ?[1 ? m, e ?m ? m, ],使f ( x2 ) ? 0
故当 m>1 时,方程 f(x)=0 在 [e ?m ? m, e 2m ? m] 内有两个实根。 点评:本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在 区间的放缩和不等式的应用上。 例 4.若函数 y ? f (x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的 是( )

A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;
专心 爱心 用心 6

B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;
D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 解析:由零点存在性定理可知选项 D 不正确;对于选项 B,可通过反例 “ f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 1) 在 区 间 [?2,2] 上 满 足 f (?2) f (2) ? 0 , 但 其 存 在 三 个 解

{?1,0,1} ”推翻;同时选项 A 可通过反例“ f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 1) 在区间 [?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其存在两个解 {?1,1} ” ;选项 D 正确,见实例“ f ( x) ? x 2 ? 1 在区
间 [?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其不存在实数解” 。 点评:该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。 题型 3:二分法的概念 例 5.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是()

A.“二分法”求方程的近似解一定可将 y ? f (x) 在[a,b]内的所有零点得到; B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y ? f (x) 在[a,b]内的零点; C.应用“二分法”求方程的近似解, y ? f (x) 在[a,b]内有可能无零点;
D.“二分法”求方程的近似解可能得到 f ( x) ? 0 在[a,b]内的精确解; 解析:如果函数在某区间满足二分法题设,且在区间内存在两个及以上的实根,二 分法只可能求出其中的一个,只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解,二分 法的实施满足零点存在性定理,在区间内一定存在零点,甚至有可能得到函数的精确零 点。 点评:该题深入解析了二分法的思想方法。 确度要求。那么所取误差限 ? 是( 例 6.方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内的近似解,用“二分法”计算到 x10 ? 0.445达到精 )

A.0.05

B.0.005

C.0.0005

D.0.00005

解析: 由四舍五入的原则知道, x10 ? [0.44450.4455 时, 当 精度达到 x10 ? 0.445。 , ) 此时差限 ? 是 0.0005,选项为 C。 点评:该题考察了差限的定义,以及它对精度的影响。
专心 爱心 用心 7

题型 4:应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解 例 7.借助计算器,用二分法求出 ln(2 x ? 6) ? 2 ? 3 x 在区间(1,2)内的近似解(精 确到 0.1) 。 解析:原方程即 ln(2 x ? 6) ? 3 x ? 2 ? 0 。 令 f ( x) ? ln(2 x ? 6) ? 3 x ? 2 , 用计算器做出如下对应值表

x f(x)

-2 2.5820

-1 3.0530

0 27918

1 1.0794

2 -4.6974

观察上表,可知零点在(1,2)内 取区间中点 x1 =1.5,且 f (1.5) ? ?1.00 ,从而,可知零点在(1,1.5)内; 再取区间中点 x2 =1.25,且 f (1.25) ? 0.20 ,从而,可知零点在(1.25,1.5)内; 同理取区间中点 x3 =1.375,且 f (1.375) ? 0 ,从而,可知零点在(1.25,1.375)内; 由于区间(1.25,1.375)内任一值精确到 0.1 后都是 1.3。故结果是 1.3。 点评:该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程,通过本题学会借助精度终止 二分法的过程。 例 8.借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ) 。
x

分析:本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外,你是 否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数? 略解:图象在闭区间 [a , b] 上连续的单调函数 f (x) ,在 (a , b) 上至多有一个零 点。 点评:①第一步确定零点所在的大致区间 (a ,b) ,可利用函数性质,也可借助计算 机或计算器,但尽量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为 1 的区间; ②建议列表样式如下: 零点所在区间 [1,2] 中点函数值 区间长度 1

f (1.5) >0
专心

爱心

用心

8

[1,1.5] [1.25,1.5]

f (1.25) <0 f (1.375) <0

0.5 0.25

如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时,即为计算的最后一步。 题型 5:一元二次方程的根与一元二次函数的零点 例 9. 设二次函数 f ? x? ? ax 2 ? bx ? c? a ? 0? , 方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满足 . 当 x ? 0, x1 时,证明 x ? f ? x? ? x1 。

?

?

证明:由题意可知

f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,
1 , a

? 0 ? x ? x1 ? x 2 ?
∴ ∴

a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0 ,
当 x ? 0, x1 时, f ( x) ? x 。

?

?

又 f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? x ? x1 ? ( x ? x1 )(ax ? ax2 ? 1) ,

x ? x1 ? 0, 且ax ? ax2 ? 1 ? 1 ? ax2 ? 0,


f ( x) ? x1 ,

综上可知,所给问题获证。 点评:在已知方程 f ? x ? ? x ? 0 两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写 出函数 f ?x ? ? x 的表达式,从而得到函数 f (x) 的表达式。
2 例 10.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程 f ( x) ? x 的

两个实数根为 x1 和 x2 . (1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f (x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (2)如果 x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围. 解析:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 1 ,则 g ( x) ? 0 的二根为 x1 和 x2 。
2

专心

爱心

用心

9

(1)由 a ? 0 及 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,可得

?4a ? 2b ? 1 ? 0 ? g (2) ? 0 ,即 ? , ? ?16a ? 4b ? 3 ? 0 ? g (4) ? 0

b 3 ? ?3 ? 3 ? 2a ? 4a ? 0, ? 即? ?? 4 ? 2 ? b ? 3 ? 0, ? 2a 4a ?
b ? 1 ,所以, x0 ? ?1 ; 2a b ?1 2 4 2 ) ? , 可得 (2)由 ( x1 ? x 2 ) ? ( a a 1 又 x1 x 2 ? ? 0 ,所以 x1 , x 2 同号。 a
两式相加得 ∴ x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 等价于 ?

2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 。

?0 ? x1 ? 2 ? x 2 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?

或?

? x 2 ? ?2 ? x1 ? 0 ? , ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?
? g ( 2) ? 0 ? g ( ?2 ) ? 0 ? ? ? ? 或 ? g ( 0) ? 0 ? g ( 0) ? 0 ? ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ? ?
b? 1 7 或b ? 。 4 4



解之得

点评:条件 x1 ? 2 ? x2 ? 4 实际上给出了 f ( x) ? x 的两个实数根所在的区间,因此 可以考虑利用上述图像特征去等价转化。 题型 6:一元二次函数与一元二次不等式 例 11.设 f ? x? ? ax ? bx ? c? a ? 0? ,若 f ? 0? ? 1, f ?1? ? 1 , f ? -1? ? 1 , 试
2

证明:对于任意 ? 1 ? x ? 1,有 f ? x ? ?

5 。 4

解析:∵ f ?? 1? ? a ? b ? c, f ?1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c , ∴ a?

1 1 ( f ?1? ? f ?? 1? ? 2 f ?0?), b ? ( f (1) ? f (?1)), c ? f ?0? , 2 2
专心 爱心 用心 10

∴ f ?x ? ? f ?1?? ?

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ? f ?? 1?? ? ? 2 ? ? f ?0? 1 ? x . ? ? 2 ? ? ?

?

?

∴ 当 ? 1 ? x ? 0 时,

f ? x ? ? f ?1? ? ?

x2 ? x x2 ? x ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2

x2 ? x x2 ? x ? ? 1? x2 2 2

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ?? ? 2 ? ? ? 2 ? ? (1 ? x ) ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?x ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4 当 0 ? x ? ?1时,

x2 ? x x2 ? x f ?x ? ? f ?1? ? ? f ?? 1? ? ? f ?0? ? 1 ? x 2 2 2 ? x2 ? x x2 ? x ? ? 1? x2 2 2

? x2 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? (1 ? x 2 ) ?? ? 2 ??? ? ? 2 ? ? ? ? ?
? ?x2 ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4
综上,问题获证。 点评:本题中,所给条件并不足以确定参数 a, b 的值,但应该注意到:所要求的结 论不是确定值, 而是与条件相对应的 “取值范围” 因此, , 我们可以用 f ?0?, f ?1?, f ?? 1? 来 表示 a, b, c 。
2 例 12.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,当 ? 1 ? x ? 1时,有 ? 1 ? f ( x ) ? 1,

专心

爱心

用心

11

求证:当 ? 2 ? x ? 2 时,有 ? 7 ? f ( x) ? 7 解析:由题意知: f (?1) ? a ? b ? c, f (0) ? c, f (1) ? a ? b ? c , ∴ a?

1 ( f (1) ? f (?1) ? 2 f (0)), 2
2

b?

1 ( f (1) ? f (?1)), 2

c ? f (0) ,

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ∴ f ( x) ? ax ? bx ? c ? f (1)? ? 2 ? ? f (?1)? 2 ? ? f (0) 1 ? x 。 ? ? ? ? ? ? ?

?

?

由 ? 1 ? x ? 1时,有 ? 1 ? f ( x ) ? 1,可得 ∴

f (1) ? 1,

f ?? 1? ? 1 , f ?0? ? 1 。

f (2) ? 3 f ?1? ? f ?? 1? ? 3 f ?0? ? 3 f ?1? ? f (?1) ? 3 f (0) ? 7 , f (?2) ? f ?1? ? 3 f ?? 1? ? 3 f ?0? ? f ?1? ? 3 f (?1) ? 3 f (0) ? 7 。

(1)若 ?

b ? ?? 2,2? ,则 f ?x ? 在 ?? 2,2?上单调,故当 x ? ?? 2,2? 时, 2a

f ( x) max ? max( f (?2) , f (2) )
∴ 此时问题获证. (2)若 ?

b ? ?? 2,2? ,则当 x ? ?? 2,2? 时, 2a

? b ? f ( x) max ? max( f (?2) , f (2) , f ? ? ? ) ? 2a ?


b2 b b b f (1) ? f (?1) 1?1 ? b ? f ?? ? ? c ? ?c? ? ? f ?0? ? ? ? 1? 2? ?2?7 4a 2a 2 2a 4 4 ? 2a ?
, ∴ 此时问题获证。 综上可知:当 ? 2 ? x ? 2 时,有 ? 7 ? f ( x) ? 7 。 点评:研究 f (x) 的性质,最好能够得出其解析式,从这个意义上说,应该尽量用已 知条件来表达参数 a, b, c . 确定三个参数,只需三个独立条件,本题可以考虑 f (1) ,

f (?1) , f (0) ,这样做的好处有两个:一是 a, b, c 的表达较为简洁,二是由于 ? 1和0 正
专心 爱心 用心 12

好是所给条件的区间端点和中点,这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围 的目的。 要考虑 f ?x ? 在区间 ?? 7,7? 上函数值的取值范围,只需考虑其最大值,也即考虑

f ?x ? 在区间端点和顶点处的函数值。
题型 7:二次函数的图像与性质 例 13. (1996 上海, 理 8) 文、 在下列图象中, 二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y= (
x
2

b ) a

的图象只可能是(



b b 2 b2 解析一:由指数函数图象可以看出 0< <1.抛物线方程是 y=a(x+ )- , a 2a 4a 2 b b b b2 1 其顶点坐标为(- ,- ) ,又由 0< <1,可得- <- <0.观察选择支,可选 2 2a a 2a 4a
A。
解析二: y=ax +bx 与 x 轴的交点, ax +bx=0, 求 令 解得 x=0 或 x=-
2 2

b b , 而-1<- <0. a a

故选 A。 点评:本题虽小,但一定要细致观察图象,注意细微之处,获得解题灵感。 2 例 14.(2002 全国高考题)设 a∈R,函数 f(x)=x +|x-a|+1,x∈R. (1)讨论 f(x)的奇偶性 (2)求 f(x)的最小值. 解:(1)显然 a=0 时,f(x)为偶函数, 当 a≠0 时,f(a)=a +1, f(-a)=a +2|a|+1
2 2

f(a)≠f(-a), f(a)+f(-a)≠0
∴ 此时 f(x)为非奇非偶函数.
专心 爱心 用心 13

(2)首先应先去掉绝对值,再进行讨论. ①当 x≤a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2 2

1 2

3 . 4

若a ? ∴

1 ,则 f(x)在区间(-∞,a]上单调递减, 2

f(x)的最小值为 f(a)=a2+1.(如图(I))

若a ?

1 1 3 ,则 f(x)在区间(-∞,a]上的最小值为 f ( ) ? ? a (如图 II). 2 2 4

②当 x≥a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2 2

1 2

3 , 4

若a ? ? 若a ? ?

1 1 3 ,则 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f (? ) ? ? a (如图 III)。 2 2 4 1 ,则 f(x)在[a,+∞]上单调递增。 2
2

则 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(a)=a +1.(如图 IV)。 综上,当 a ? ? 当?

1 3 时,f(x)最小值为 ? a 。 2 4

1 1 ? a ? 时,f(x)最小值为 a2+1。 2 2 1 3 时,f(x)最小值为 a ? 。 2 4

当a ?

点评:该题考察到函数的图像与性质的综合应用,考察了分类讨论的思想。 题型 8:二次函数的综合问题
专心 爱心 用心 14

例 15 . 2005 浙 江 文 20 ) 已 知 函 数 f ? x ? 和 g ? x ? 的 图 象 关 于 原 点 对 称 , 且 (

f ? x ? ? x2 ? 2x 。
(Ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 h ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围。 解 析 : ( Ⅰ ) 设 函 数 y ? f ? x ? 的 图 象 上 任 意 一 点 Q ? x0 , y0 ? 关 于 原 点 的 对 称 点 为

? x0 ? x ? 2 ? 0, ? x0 ? ? x, ? 即? P ? x, y ? ,则 ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ?

∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上

∴ ? y ? x2 ? 2x,即y ? ?x2 ? 2x, 故g ? x ? ? ?x2 ? 2x (Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ?1 , 可得2x2 ? x ?1 ? 0 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解。
2 2 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ?

1 。 2

因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? 。 2
2

? (Ⅲ) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1 ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,
?

? ?

1?

? ? ?1

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ? 1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 1? ? 综上,? ? 0.
点评:本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础 知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 例 16.已知函数 f ( x ) ? 2 ?
z

1? ? . 1? ?

a 。 2x
爱心 用心 15

专心

(1)将 y ? f (x) 的图象向右平移两个单位,得到函数 y ? g (x) ,求函数 y ? g (x) 的解析式; (2) 函数 y ? h(x) 与函数 y ? g (x) 的图象关于直线 y ? 1 对称, 求函数 y ? h(x) 的 解析式; (3)设 F ( x ) ? 的取值范围。 解析:(1) g ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 2
x?2

1 f ( x) ? h( x) ,已知 F (x) 的最小值是 m 且 m ? 2 ? 7 ,求实数 a a ? a 2 x?2 ;

(2)设 y ? h?x ? 的图像上一点 P?x, y ?, P?x, y ?关于 y ? 1 的对称点为 Q?x,2 ? y ? , 点 由点 Q 在 y ? g ?x ? 的图像上,所以

2 x?2 ?
于是 即

a 2 x?2

? 2? y, , 2 x?2 a ? x?2 ; 2 a

y ? 2 ? 2 x?2 ? h? x ? ? 2 ? 2 x ? 2

(3) F ( x) ?

1 (4a ? 1) ?1 1? f ( x ) ? h( x ) ? ? ? ? 2 x ? ?2。 a 2x ?a 4?

4?a 4a ? 1 t? ? 2。 4a t 4?a 4a ? 1 t? ? 2 ? 2 ? 7 对 t ? 0 恒成立. 即 问题转化为: 4a t 4?a 2 t ? 7t ? ?4a ? 1? ? 0 对 t ? 0 恒成立. (*) 4a 4?a 4?a ?0 . ( 否 则 , 若 ?0 , 则 关 于 t 的 二 次 函 数 故 必 有 4a 4a 4?a 2 4?a u (t ) ? t ? 7t ? ?4a ? 1? 开口向下,当 t 充分大时,必有 u?t ? ? 0 ;而当 ?0 4a 4a 4?a 2 t ? 7t ? ?4a ? 1? 的 时,显然不能保证(*)成立.) ,此时,由于二次函数 u (t ) ? 4a
设 t ? 2 ,则 F ( x) ?
x

专心

爱心

用心

16

?4 ? a ? 4a ? 0 7 ? 对称轴 t ? , ? 0 ,所以,问题等价于 ? t ? 0 ,即 ? 4?a 4?a ?7 ? 4 ? ? ?4a ? 1? ? 0 ? 8a 4a ?
解之得:

1 ? a ? 2。 2 4?a 4?a 4a ? 1 ? 0,4a ? 1 ? 0 ,故 F ( x) ? t? ? 2在t ? 4a 4a t

此时,

4a(4a ? 1) 取 4?a

得最小值 m ? 2

4?a ? ?4a ? 1? ? 2 满足条件。 4a

点评:紧扣二次函数的顶点式 y ? a? x ? 显合力。 五.思维总结 1.函数零点的求法:

? ?

b ? 4ac ? b 2 ? , 对称轴、最值、判别式 ? 2a ? 4a
2

①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起 来,并利用函数的性质找出零点。 2.学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出 发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素 养;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的 思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等) ,所以, 在解决二次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的 有关性质。
2 (1)二次函数的一般式 y ? ax ? bx ? c (c ? 0) 中有三个参数 a, b, c . 解题的关键

在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数。 (2)数形结合:二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c
2

?a ? 0? 的图像为抛物线,具有许多
2

优美的性质,如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问 题,可以化难为易,形象直观。因为二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c
专心 爱心 用心

?a ? 0? 在区间
17

( ?? ,?

b b ] 和区间 [ ? ,?? ) 上分别单调,所以函数 f ?x ? 在闭区间上的最大值、最小值 2a 2a

必在区间端点或顶点处取得;函数 f (x) 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取 得。

专心

爱心

用心

18


2013届高考数学第一轮复习教案第6讲 函数与方程

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育 2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第6讲一.课标要求: 函数与方程 1.结合二次函数的图像,判断一元...

高三数学一轮复习精析教案05《函数与方程》

高三数学一轮复习精析教案05《函数与方程高三数学一轮复习精析教案05《函数与方程》隐藏>> 第6讲一.【课标要求】 函数与方程 1.结合二次函数的图像,判断一元...

2018年高考理科数学第一轮复习教案10 函数与方程

2018年高考理科数学第一轮复习教案10 函数与方程_高考_高中教育_教育专区。2018年高考理科数学第一轮复习教案10 函数与方程 第八节 函数与方程 函数的零点与方程...

...函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程(人教A版)

2015届高三数学(艺术)一轮复习教案 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程(人教A版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数、导数及其应用 函数...

...高三数学大一轮复习 2.8函数与方程教案 理 新人教A...

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.8函数与方程教案新人教A版_数学_高中教育_教育专区。§2.8 2014 高考会这样考 函数与方程 1.考查函数零点的个数和...

2017年普通高考数学科一轮复习精品学案 第6讲 函数与方程

2017年普通高考数学科一轮复习精品学案 第6讲 函数与方程_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017 年普通高考数学科一轮复习精品学案第6讲一.课标要求: 1.结合...

2018年人教版高三数学一轮复习讲义:必修一第09讲 函数...

2018年人教版高三数学一轮复习讲义:必修一第09讲 函数的零点与方程的根_数学_高中教育_教育专区。最新高考数学,真题专题复习,完美版,全国各地高考数学真题 ...

...函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程(人教A版)

2015届高三数学(艺术)一轮复习教案 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程(人教A版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数、导数及其应用 函数...

高三一轮复习 第12讲 函数与方程

高三一轮复习 第12讲 函数与方程_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高三一轮复习 第12讲 函数与方程_数学_高中教育_教育专区。云南...

高三艺术生数学第一轮复习教学案第15课时函数与方程

高三艺术生数学第一轮复习教学案第15课时函数与方程_数学_高中教育_教育专区。§ 15 函数与方程(1) 【考点及要求】 1.了解幂函数的概念,结合函数 y ? a x ...

更多相关标签