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2015步步高高中数学文科文档2.8


§ 2.8

函数与方程

1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果

函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么, 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个__c__也就是方 程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系

3.二分法 (1)定义: 对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方 法叫做二分法. (2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; ②求区间(a,b)的中点 c; ③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;

(ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②③④.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点. (2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)· f(b)<0. (3)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)在 b -4ac<0 时没有零点. (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. (5)函数 y=2sin x-1 的零点有无数多个. 1 (6)函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则-1<k<- . 2 2.(2013· 天津)函数 f(x)=2x|log0.5 x|-1 的零点个数为 A.1 答案 B 1?x 解析 当 0<x<1 时,f(x)=2xlog0.5x-1,令 f(x)=0,则 log0.5x=? ?2? 1?x 由 y=log0.5x,y=? ?2? 的图象知,在(0,1)内有一个交点,即 f(x)在(0,1)上有一个零点. 当 x>1 时,f(x)=-2xlog0.5x-1=2xlog2x-1, 1?x 令 f(x)=0 得 log2x=? ?2? , 1?x 由 y=log2x,y=? ?2? 的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即 f(x)在(1,+∞)上有一个零 点,故选 B. 3. (2013· 重庆)若 a<b<c, 则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分 别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 答案 A 解析 由于 a<b<c, 所以 f(a)=0+(a-b)(a-c)+0>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c -b)>0.因此有 f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0,又因 f(x)是关于 x 的二次函数,函数的图象是连续 不断的曲线,因此函数 f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选 A. 4.设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为 A.(0,1) C.(2,3) 答案 B B.(1,2) D.(3,4) ( ) B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 ( ) B.2 C.3 D.4
2 2

( × ( × ( √ ( × ( √ ( × ( )

) ) ) ) ) )

解析 转化为函数 g(x)=ln x,h(x)=-x+2 图象交点的横坐标所在的范围.作图如下:

可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2). 5. 已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k, k+1) (k∈N*), 则 k 的值为________. 答案 3 解析 由题意知,当 x>1 时,f(x)单调递减,因为 f(3)=ln 3-1>0,f(4)=ln 4-2<0,所以 该函数的零点在区间(3,4)内,所以 k=3.

题型一 函数零点的判断和求解 例1 (1)(2012· 湖北)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 B.5
2

(

)

A.4

C.6 D.7 2 (2)设函数 f(x)=x + (x≠0).当 a>1 时,方程 f(x)=f(a)的实根个数为________. x 思维启迪 (1)函数零点的确定问题; (2)f(x)=f(a)的实根个数转化为函数 g(x)=f(x)-f(a)的零点个数. 答案 解析 (1)C (2)3 (1)当 x=0 时,f(x)=0.又因为 x∈[0,4], 11π 所以 0≤x2≤16.因为 5π<16< , 2 π 3π 5π 7π 9π 所以函数 y=cos x2 在 x2 取 , , , , 时为 0, 2 2 2 2 2 此时 f(x)=0,所以 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 6. (2)令 g(x)=f(x)-f(a), 2 2 即 g(x)=x2+ -a2- , x a 1 整理得:g(x)= (x-a)(ax2+a2x-2). ax 显然 g(a)=0,令 h(x)=ax2+a2x-2. ∵h(0)=-2<0,h(a)=2(a3-1)>0, ∴h(x)在区间(-∞,0)和(0,a)各有一个零点. 因此,g(x)有三个零点,即方程 f(x)=f(a)有三个实数解. 思维升华 函数零点的确定问题, 常见的有①函数零点值大致存在区间的确定, ②零点个 数的确定, ③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 解决这类问题的常用方法有 解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法.

(1)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)

(

)

(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x) -log3|x|的零点个数是 A.多于 4 个 C.3 个 答案 解析 (1)B (2)B (1)∵f′(x)=2xln 2+3>0, B.4 个 D.2 个 ( )

∴f(x)=2x+3x 在 R 上是增函数. 而 f(-2)=2 2-6<0,f(-1)=2 1-3<0,
- -

f(0)=20=1>0,f(1)=2+3=5>0,f(2)=22+6=10>0, ∴f(-1)· f(0)<0.故函数 f(x)在区间(-1,0)上有零点. (2)由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数. 在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图象,如下:

观察图象可以发现它们有 4 个交点, 即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点. 题型二 二次函数的零点问题 例2 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上恒有一个零

点,且只有一个零点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 思维启迪 可将问题转化为 f(x)=0 在[-1,3]上有且只有一个实数根,结合二次函数的图 象特征转化题中条件. 解 令 f(x)=0,则 Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8 8 8 =9(a- )2+ >0, 9 9 即 f(x)=0 有两个不相等的实数根, ∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, 1 ∴a≤- 或 a≥1. 5 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1,所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠1.

1 13 6 (2)当 f(3)=0 时,a=- ,此时 f(x)=x2- x- . 5 5 5 13 6 2 令 f(x)=0,即 x2- x- =0,解得 x=- 或 x=3. 5 5 5 1 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠- . 5 1 综上所述,a<- 或 a>1. 5 思维升华 解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式; (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系; (3)利用二次函数的图象列不等式组. 已知 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实数 a 的取值范围. 解 方法一 设方程 x2+(a2-1)x+(a-2)=0 的两根分别为 x1,x2(x1<x2),则(x1-1)(x2-

1)<0, ∴x1x2-(x1+x2)+1<0, 由根与系数的关系, 得(a-2)+(a2-1)+1<0, 即 a2+a-2<0,∴-2<a<1. 方法二 函数图象大致如图,则有 f(1)<0, 即 1+(a2-1)+a-2<0,∴-2<a<1. 题型三 函数零点的应用 例3 若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

思维启迪 方程的根也就是与方程对应的函数零点, 判断方程的根是否存在, 可以通过构 造相应的函数,将其转化为函数零点的存在性问题求解,也可直接通过分离参数,转化为 函数的值域问题求解. 解 方法一 (换元法)

设 t=2x (t>0),则原方程可变为 t2+at+a+1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令 f(t)=t2+at+a+1. ①若方程(*)有两个正实根 t1,t2, Δ=a -4?a+1?≥0, ? ? 则?t1+t2=-a>0, ? t2=a+1>0, ?t1·
2

解得-1<a≤2-2 2;

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根,不合题意,舍去),则 f(0)=a+1<0,解 得 a<-1; ③当 a=-1 时,t=1,x=0 符合题意. 综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2].

方法二 (分离变量法) 22x+1 由方程,解得 a=- x ,设 t=2x (t>0), 2 +1 2 t2+1 则 a=- =-?t+t+1-1? ? ? t+1 2 =2-??t+1?+t+1?,其中 t+1>1, ? ? 2 由基本不等式,得(t+1)+ ≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取等号,故 a≤2-2 2. t+1 思维升华 对于“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数 y=f(x)的值域来解决. 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),当-1<x≤1 时,f(x)=x3,若 函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 5 个零点,则 a 的取值范围是 1 A.(1,5) B.(0, )∪[5,+∞) 5 1 1 C.(0, ]∪[5,+∞) D.[ ,1]∪(1,5] 5 5 答案 B 解析 依题意知函数 f(x)的周期为 2,在坐标平面内画出函数 y=f(x)与函数 y=loga|x|的图 1 象,如图所示,结合图象,可知要使函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 5 个零点,则有 0<a< 5 1 或 a≥5,即实数 a 的取值范围是(0, )∪[5,+∞). 5 ( )

函数与方程思想的应用 e2 典例:(12 分)已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x
2

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 思维启迪 (1)y=g(x)-m 有零点即 y=g(x)与 y=m 的图象有交点,所以可以结合图象求 解; (2)g(x)-f(x)=0 有两个相异实根?y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个不同交点,所以可利用 它们的图象求解. 规范解答 解 e2 (1)方法一 ∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x

等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞),[3 分] 因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点.[6 分] e2 方法二 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图.[3 分] x 可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e.[6 分] (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点, e2 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图.[8 分] x ∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e2.[10 分] 故当 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两 个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).[12 分] 温馨提醒 (1)求函数零点的值,判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求

参数范围等问题,都可利用方程来求解,但当方程不易甚至不可能解出时,可构造两个函 数,利用数形结合的方法进行求解. (2)本题的易错点是确定 g(x)的最小值和 f(x)的最大值时易错.要注意函数最值的求法.

方法与技巧 1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参 数范围问题可转化为函数值域问题. 失误与防范 1.函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的 横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根 据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

A 组 专项基础训练

一、选择题 1.方程 log3x+x-3=0 的解所在的区间是 A.(0,1) 答案 C 解析 设 f(x)=log3x+x-3,则 f(2)=log32-1<0, f(3)=log33+3-3=1>0, ∴f(x)=0 在(2,3)有零点, 又 f(x)为增函数,∴f(x)=0 的零点在(2,3)内. B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ( )

2.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 A.1 答案 B 解析 (数形结合法) B.2 C.3 D.4

(

)

∵a>0,∴a2+1>1. 而 y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点. 3.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 答案 C 解析 ∵方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=m2-4>0,∴m>2 或 m<-2. 4.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则( A.a<b<c C.b<a<c 答案 B 1 1 解析 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0, 2 2 且 f(x)为单调递增函数. 故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0). ∵g(2)=0,∴g(x)的零点 b=2; 1? 1 1 ∵h? ?2?=-1+2=-2<0,h(1)=1>0, 且 h(x)为单调递增函数, 1 ? ∴h(x)的零点 c∈? ?2,1?,因此 a<c<b. B.a<c<b D.c<a<b ) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

1 5.已知 x0 是函数 f(x)= +ln x 的一个零点,若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 答案 D B.f(x1)>0,f(x2)>0 D.f(x1)<0,f(x2)>0

)

1 1 解析 令 f(x)= +ln x=0.从而有 ln x= ,此方程的解即为函数 f(x)的零点.在同 1-x x-1 1 一坐标系中作出函数 y=ln x 与 y= 的图象如图所示. x-1

1 1 由图象易知, >ln x1,从而 ln x1- <0, x1-1 x1-1 1 故 ln x1+ <0,即 f(x1)<0.同理 f(x2)>0. 1-x1 二、填空题 6.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 015x+log2 零点的个数为________. 答案 3 解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数,因此 f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=2 015x+log2 015x 在区间 1 (0, )内存在一个零点,又 f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根 2 015 据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3. ?2x-1,x>0, ? 7.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取值 ?-x -2x,x≤0, ? 范围是________. 答案 (0,1)
015x,则在

R 上,函数 f(x)

解析 画出 f(x)= x ? ?2 -1,x>0

? 的图象,如图. 2 ?-x -2x,x≤0 ?

由于函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 结合图象得: 0<m<1, 即 m∈(0,1). 8.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是________. 3 答案 {x|- <x<1} 2 解析 ∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根,

? ?-2+3=-a 由根与系数的关系知? , ?-2×3=b ? ? ?a=-1 ∴? , ? ?b=-6

∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0, 3 解集为{x|- <x<1}. 2 三、解答题 x 1 9.已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1 证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2 证明 令 g(x)=f(x)-x. 1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g( )=f( )- =- , 4 2 2 2 8 1 ∴g(0)· g( )<0. 2 1 又函数 g(x)在[0, ]上连续, 2 1 ∴存在 x0∈(0, ),使 g(x0)=0. 2 即 f(x0)=x0. 10.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. 解 ∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,

即方程(2x)2+m· 2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t (t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正根或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知,m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. B 组 专项能力提升 1.已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=ex+x-2 的零点为 a,函数 g(x)=ln x+x-2 的零点 为 b,则下列不等式中成立的是 A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1) ( )

C.f(1)<f(a)<f(b) 答案 A

D.f(b)<f(1)<f(a)

解析 由题意,知 f′(x)=ex+1>0 恒成立,所以函数

f(x)在 R 上

是单调递增的,而 f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数 f(x)的零点 a∈(0,1); 1 由题意,知 g′(x)= +1>0 在(0,+∞)上是单调递增的,又 g(1)=ln 1+1-2=-1<0, x g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数 g(x)的零点 b∈(1,2). 综上,可得 0<a<1<b<2. 因为 f(x)在 R 上是单调递增的,所以 f(a)<f(1)<f(b). 2.若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P] ? ?log2x,x>0, 看作同一对“友好点对”). 已知函数 f(x)=? 2 则此函数的“友好点对” ?-x -4x,x≤0, ? 有 A.0 对 答案 C 解析 函数 f(x)= ?log2x,x>0, ? B.1 对 C .2 对 D.3 对 ( )

? 的图象及函数 f(x) =- x2 - 4x(x≤0) 的图象关 2 ? - x - 4 x , x ≤ 0 ?

于原点对称的图象如图所示,则 A,B 两点关于原点的对称点一 定在函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图象上,故函数 f(x)的“友好点 对”有 2 对,选 C. 3.若方程 4-x2=k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取值范围是________. 5 3 答案 ( , ] 12 4 解析 作出函数 y1= 4-x2和 y2=k(x-2)+3 的图象如图所示,函数 y1 的图象是圆心在 原点, 半径为 2 的圆在 x 轴上方的半圆(包括端点), 函数 y2 的图象是过定点 P(2,3)的直线, 3-0 3 点 A(-2,0),kPA= = .直线 PB 是圆的切线,由圆心到直线 2-?-2? 4 |3-2kPB| 5 的距离等于半径得, 2 =2, 得 kPB= .由图可知当 kPB<k≤kPA 12 kPB+1 时,两函数图象有两个交点,即原方程有两个不等实根.所以 3 <k≤ . 4 4.若函数 F(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解 若 F(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,即方程|4x-x2|+a =0 有四个根, 5 12

即|4x-x2|=-a 有四个根. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 则作出 g(x)的图象, 由图象可知要使|4x-x2|=-a 有四个根, 则需 g(x)的图象与 h(x)的图象有四个交点, ∴0<-a<4,即-4<a<0,a 的取值范围为(-4,0). 5.已知 a 是正实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围.

f(x)=2ax2+2x-3-a 的对称轴为 x 1 =- . 2a 1 1 ①当- ≤-1,即 0≤a≤ 时, 2a 2 ? ? ?f?-1?≤0, ?a≤5, 须使? 即? ? ? ?f?1?≥0, ?a≥1, 解 ∴a 的解集为?. 1 1 ②当-1<- <0,即 a> 时, 2a 2 1 1 ? ? ?f?-2a?≤0, ?-2a-3-a≤0, 须使? 即?

? ?f?1?≥0,

? ?a≥1,

解得 a≥1,∴a 的取值范围是[1,+∞).


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2015步步高高中数学文科文档12.1

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2015步步高高中数学文科文档第八章 8.3

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2015步步高高中数学文科文档11.1

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2015步步高高中数学文科文档10.3

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