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第26届全国中学生物理竞赛预赛试题(含答案)


第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1-5 9 13 6 10 14 7 11 15 8 12 16

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总分

一、选择题.本题共 5 小题,每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有 的小题只有一项是正确的,有的小题有多项是正确的.把正确选项前面的英

得分 阅卷 复核 文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得 7 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分. 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极扳,E 为电池,彼此相距较远.用导线将 E 的 正极与 a、 c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容器充电后,去掉导线.这时已知 a 带的电荷 量大于 c 带的电荷量,称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原始状态出发,进行以下 两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连,用另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连,每次连接后都随即移去导线.下 面哪种说法是正确的? A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压都下降 [ ] 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电源两端, 如图所示.已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属的摩尔质量,杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻, 假设每种金属的每个原子都提供相 同数目 的自由电子(载流子) .当电流达到稳恒时,若 a、 b 内存 在电场, 则该电场可视为均匀电场.下面结论中正确的是 A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 [ ] 3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手指封住管 的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖直方向提出水面, 设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,使玻璃管处于水平位 置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2.则有 A.V1>V0=V2 B.V1>V0>V2 C.V1=V2>V0 D.V1>V0,V2>V0 [ ] 4.一块足够长的白板, 位于水平桌面上, 处于静止状态. 一石墨块 (可视为质点)静止在白板上. 石 墨块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为 μ.突然,使白板以恒定的速度 v0 做匀速直线运动,石墨块 将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运动.在最后石墨块也不再运 动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的 质量)
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A.

v0

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C . v0t ?

1 2

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2
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D.

v0

2

?g

[ ] 5. 如图 1 所示, 一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通

过电键 K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的,在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路,在图 2 中给出了六种电压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、d、e、f, 现从其中选出三种图线用来表示图 l 所示电路上 1、2、3、4 四点中某两点间的电压随时间 t 的变化, 下面四个选项中正确的是

A.a、b、f B.a、e、f C.b、d、e D.c、d、e [ ] 二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果,不需 写出求得结果的过程. 6. 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标,这严 (8 得分 阅卷 复核 重影响了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达” ,它是由数 以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定 的顺序排列成的天线阵,小天线发出相干的 电磁波,其初相位可通过电子计算机调节,从而可改变空间干涉极 强的方位,这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用.对下 面的简单模型的研究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干 涉极强方位的影响. 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为 λ 的相干电磁波.Ox 轴通过 a、b 的中点 且垂直于 a、b 的连线.若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相同即相位差为 O 时,将 在与 x 轴成 θ 角(θ 很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变 a、b 发出的电磁波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ,结果,原来相干极强的方向将从 θ 变为 θ' ,则 θ-θ'等于
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7. 分)He 一 Ne 激光器产生的波长为 6.33×10-7m 的谱线是 Ne 原子从 (8 得分 阅卷 复核 激发态能级(用 E1 表示)向能量较低的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发 生的;波长为 3.39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能级 E1 向能级较低的激发 态能级(用 E3 表示)跃迁时发生的.已知普朗克常量 h 与光速 c 的乘积 -6 hc=1.24×10 m· 由此可知 Ne 的激发态能级 E3 与 E2 的能最差为 eV. eV. 8. 分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s.已知位 (8 得分 阅卷 复核 于坐标原点(x=0)处的质元的振动图线如图 1 所示.试在图 2 中画出, t=4Oms,时该简谐波的波形图线(不少于一个波长) .
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9. 分)图示为某 (8 一圆形水池的示意 图(竖直截面) .AB 为池中水面的直径, MN 为水池底面的直径,O 为圆形池底的圆 心.已知 ON 为 11.4m , AM、BN为斜坡,池中水深 5.00m,水的折射率为 4 / 3.水的透明度极好, 不考虑水的吸收.图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是蓝色的,水面是平的.在池底中心处有一 凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼睛位于 O 处,仰视水面的最大范围的直径为 AB. (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为 (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是 三、 计算题. 解答应写出必要的文字说明、 方程式和重要的演算步骤, 只写出最后结果的不能得分. 有 数值计算的.答案中必须明确写出数值和单位. 10. (19 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果的影 得分 阅卷 复核 响. (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖放置在 铺平的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出两条直线,在实验 中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离.如果由于操作中的误差,使所画的两条直线间 的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离,问这样测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏小,还 是相同?试给出简要论证 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内 运动,而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球作这种运动 的周期,仍用单摆的周期公式求出重力加速度,问这样求出的重力加速度与重力加 速度的实际值相比,哪个大?试定量比较. 得分
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11. (18 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当.内阻可忽略不计.带 有按钮开关 K1,按下按钮,电流表与电路接通,有电流通过电流表,电流表 显出一定的读数) ,阻值己知为 R 的固定电阻一个,阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ε 和内阻 r 待测) ,单刀双掷开关 K 一个,接

线用的导线若干.

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试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ε 和内阻 r,又能测量待测电阻的阻值 Rx(注意:此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据) .具体要求: (i)画出所设计的电路图. (ii)写出测量 ε、r 和 Rx 主要的实验步骤. (iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ε、r 和 Rx 的表达式.
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12. (18 分) 一静止的原子核 A 发生 α 衰变后变成原子核 B, 已知原子核 A、 原子核 B 和 α 粒子的质量分别为 mA、mB,和 mα,光速为 c(不考虑质量与 速度有关的相对论效应), 求衰变后原子核 B 和 α 粒子的动能.
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13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可 制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个 平面内(二维)的微结构器件,且可做到电子在 器件中像子弹一样飞行, 不受杂质原子射散的影 响.这种特点可望有新的应用价值.图 l 所示为四端十字形.二维电子 气半导体,当电流从 l 端进人时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2, 3,或 4 端流出.对下面摸拟结构的研究,有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图 2 得分
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中, a、b、c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝 1、2、3、4,在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸 面指向纸里.以 B 表示磁感应强度的大小.一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子,在纸面内 以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方向由缝 1 射人磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞,碰撞是 弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受摩擦力 作用.试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向 射出.
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14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属 导轨,导轨中接有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0.导轨的两条轨道间 的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可在轨道上滑动,滑动时保持与轨 道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电阻均不计.初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向 垂直于桌面, 磁感应强度的大小为 B. 现有一位于导轨平面内的 与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上,使之从静止开始在轨道上 向右作加速运动.已知经过时间 t , PQ 离开虚线的距离为 x,此 时通过电阻的电流为 I0, 导轨向右移动的距离为 x(导轨的 N1N2 0 得分
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部分尚未进人磁场区域) .求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感.

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15. (20 分) 图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞, 用轻质刚性细杆连结, 得分 阅卷 复核 活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的,M1 是导热的,M2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M1 把一定质量的气体封闭在气缸的 L1 部分, M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的右侧为大气,大气 的压强 P0 是恒定的. K 是加热 L2 中气体用的电热 丝.初始时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分 别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积.现通过 K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热, 让气体重新 达到平衡态,这时,活塞未被气缸壁挡住.加热后 与加热前比, L1 和 L2 中气体的压强是增大了、减 小了还是未变?要求进行定量论证.
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16. (20 分)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作 圆周运动, 在某处和一个质量为 m2=m1/9 的太空碎片发生迎头正碰, 碰撞时 间极短,碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动.碰撞前太空碎片作椭圆运 动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和卫星轨道在同一平面内.已知质
Mm 2a
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量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,其总能量即动能与引力势能之和 E ? ? G

,式中 G 是引

力常量,M 是地球的质量,a 为椭圆轨道的半长轴.设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球 体,不计空气阻力. (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体与地球相 碰处的纬度是多少?
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第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
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一、选择题. (共 35 分) 答案: 1.B , D 2.B 3.A 4.A , C 5.A , B 评分标准: 每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项是正 确的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分.
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6.答案与评分标准:

??
2? d

(8 分)

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7.答案与评分标准: 1.59(8 分) 8.答案:

评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.20 ( 4 分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两 条虚线代表玻璃砖的两个透明面,根据题意,实线间的 距离大于虚线间的距离,如图所示.根据实线位置定出 的折射角为 γ,按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线 定出的折射角为 γ' ,由图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2 ) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率 将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示摆球的质量,F 表示摆线对摆球的 拉力,T 表示摆球作题图所示运动的周期.有
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F s in ? ? m l s in ? (

2? T

)

2

(l)

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F cos ? ? m g

(2)

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由(l)(2)式得 、
T ? 2? l cos ? g l
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(3)

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而单摆的周期公式为

T ? ? 2?

g

即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但 cosθ< l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在水平面内 作圆周运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出的重力加速度的数 值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 12. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 R ? I1r
? ? I2r ? I2
RRx R ? Rx

(1)

(2)

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? ? ? ? ? I3R ? ? ? I3 ? Rx ? RRx ? r ? ? R? R ? x ? ?

(3)

解以上三式得
? ?
( I 2 ? I 3 ) I1 R I 2 ? I1 ( I1 ? I 3 ) R I 2 ? I1 I3R I2 ? I3

(4)

r ?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分.

第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4)(5)(6)式各 2 分. 、 、 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13. (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 ( R ? R x ? r )
? ? I2 (R ? r)
? ? I3 (Rx ? r )

(1) (2)

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(3)

解以上三式得
? ?
I1 I 3 R I 3 ? I1 I1 I 2 ? I1 I 3 ? I 2 I 3 I 2 ( I 3 ? I1 ) I 3 ( I 2 ? I1 ) I 2 ( I 3 ? I1 )

(4)

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r ?

R

(5)

Rx ?

R

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4)(5)(6)式各 2 分. 、 、 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有
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m Ac

2

?

1 2

m ? v? ?
2

1 2

m BvB ? m? c ? m Bc
2 2

2

(2)

解(l)(2)二式得 、
1 2 1 2 m BvB ?
2

m? m? ? m B mB m? ? m B

(m A ? m B ? m? )c

2

(3)

m ? v? ?
2

(m A ? m B ? m? )c

2

(4)

评分标准:本题 18 分.

(1)式 4 分, (2)式 8 分, (3)(4)各 3 分. 、 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图) ,原点在狭缝 l 处,x 轴过缝 1 和缝 3.粒子从缝 1 进人磁场, 在洛仑兹力作用下作圆周运动,圆轨道在原点与 x 轴相切,故其圆 心必在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 (1) 根据题的要求和对称性可知, 粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱面相碰于缝 3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin450 (2) y=R-R cos450 (3) 由(l)(2)(3)式得 r=3R 、 、 (4)
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由洛仑兹力和牛顿定律有

q v0 B ?

v m0 r

2

(5)

由(4)(5)式得 、

B ?

m v0 3qR

(6)

评分标准:本题 18 分. (1)(2)(3)式各 4 分, 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 、 、 解法二 如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两圆圆心的连线与缝 3 的交点.从 1 缝中射人的粒子在磁场作用下与 圆柱 d 的表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这个过程一定对连结 b、d 两圆圆心的直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰 度点.由于粒子在磁场中做圆运动过 A 点,因此这个轨道的圆心必在 过 A 点并垂直于 AF 的直线 AE 上;同时这个轨道经过 C 点,所以轨 道的圆心也一定在 AC 的垂直平分线 DE 上. 这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的圆心,AE 就是轨道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则
?AHC∽ ?EDA
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有 (1) 由图可知
HC ? R ? 2 2 2 2 R

r ?

AC HC

AD

(2)

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AH ? 2R ?

R

(3)

AC ?

AH ? HC
2

2

(4)

AD ?

1 2

AC

(5) (6)

由以上各式得 r=3R 由洛仑兹力和牛顿定律有
q v0 B ? v m0 r
2

(7)

得到

B ?

m v0 3qR

(8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分, (2)(3) 、 (4)(5)式各 1 分, 、 (6)(7)(8)式各 1 分. 、 、 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时, 受到的作用力有: 外加恒力 F, 方向向右; 磁场的安培力, 其大小 FB=BIl, 方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力,大小为 Fμ,方向向左.根 据动能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能,即有
WF ?WF ?W
B

F?

?

1 2

mv

2

(1)

式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,W F 为恒力 F 对杆做的功,W F 安为安培力对杆做的功,W Fμ 为摩擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 W F=Fx (2) 因安培力的大小是变化的,安培力对杆做的功用初等数学无法计算,但杆克服安培力做的功等 于电阻所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -W F 安=ER (3) 摩擦力 Fμ 是恒力,它对杆做的功 W Fμ=-Fμx (4) 但 Fμ 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ=m0a (5) 2 而 a=2x0/t (6) 由(4)(5)(6)三式得 、 、
W F ? ?2m0
?

x0 x t
2

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv (8) 根据题意,此时回路中的感应电流
I0 ?

?
R I0R Bl

(9)

由(8)(9)式得 、
v ?

(10)

由(l)(2)(3)(7)(10)各式得 、 、 、 、
ER ? (F ? 2m0 x0 t
2

)x ?

1 2

m

I0 R B l
2

2

2 2

(11)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分, (2)式 l 分, (3)式 4 分, (7)式 4 分, (10)式 5 分, (11)式 3 分.

15.参考解答: 解法一 用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1、P2 和 V1、V2 分别表示 L1 和 L2 中气体处在 平衡态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的温度相等) ,由理想 气体状态方程有 p1V1=n1RT (1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态时有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3) 已知 S2=2S1 (4) 由(3)(4)式得 、 p1+p2=2p0 (5) 由(l)(2)(5)三式得 、 、
2 p1 ? n1 n
2

p 0V 2 n1 n2

(6)
V2

V1 ?

若(6)式中的 V1、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的压强.加 热前 L1 中气体的压强则为
2 p1 0 ? n1 n
2

p 0V 2 0 n1 n2

(7)
V 20

V1 0 ?

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1,L2 中气体体积的增加量为△V2,因连结两活塞的杆 是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1=△V2=△V (8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是向左移 动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一定律,气体的 内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将增大,这违反力学 平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9) V2=V20+△V (10) 由(6)(7)(9)(10)四式得 、 、 、
2 p1 ? p1 0 ? [V 1 0 ? ? V ? n1 n2 n1 n2 p 0 (V 1 0 ? V 2 0 ) ? V (V 2 0 ? ? V )](V 1 0 ? n1 n2

(11)
V 20 )

由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦不变; 若加热前 V10<V20,则 p1< p10,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大;若加热前 V10>V20, 则 p1> p10,即加热后 p1 必增大,由(5)式知 p2 必减小.

评分标准:本题 20 分. 得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二 设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p20 和 V10、V20,以 pl、p2 和 V1、V2 分别表 示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积,由于 M1 是导热的,加热前 L1 和 L2 中气体的温度是相等的, 设为 T0,加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统 都处在力学平衡状态,注意到 S2=2S1,力学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0 (2) 由(l)(2)两式得 、 p1-p10=- (p2-p20) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有
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p 1V 1 p 1 0V 1 0

?

T T0

(4)

对 L :中的气体有
p 2V 2 p 2 0V 2 0 ? T T0

(5)

由(4)(5)两式得 、
p 1V 1 p 1 0V 1 0 ? p 2V 2 p 2 0V 2 0

(6)

(6)式可改写成
(1 ? p1 ? p1 0 p1 0 )(1 ? V1 ? V1 0 V1 0 ) ? (1 ? p 2 ? p 20 p 20 )(1 ? V 2 ? V 20 V 20 )

(7)

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1-V10=V2-V20 把(3)(8)式代入(7)式得 、
(1 ? p1 ? p1 0 p1 0 )(1 ? V1 ? V1 0 V1 0 ) ? (1 ? p1 ? p1 0 p 20 )(1 ? V1 ? V1 0 V 20 )

(8)

(9)

若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体积,则 加热后 L1 中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1< p10,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体积,则 加热后 L1 中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1> p10,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的体积,则 加热后 L1 中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分,最后结 论得 6 分. 16.参考解答: (i)图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运动的速度,以 M 表
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示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有
G M m1 (R ? h)
2

? m1

v1

2

R ?h

(1)

式中 G 是引力常量.由(l)式得
v1 ? GM R ?h ? R R ?h GM R

(2)

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以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等于卫星到 地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量
1 2 m 2v2 ? G
2

Mm2 R ?h

? ?G

Mm2 2a

(3)

式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得
v2 ? 2G M R ?h ? GM a ? 2R R ?h ? R a GM R

(4)

卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有 m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得
v ? m 1 v1 ? m 2 v 2 m1 ? m 2

(6)

由(2)(4)(6)三式并代人有关数据得 、 、
v ? 0 .7 5 2 0 GM R

(7)

结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin,如果 rmin<R,则结合物 就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a '.结合物的总能量
?G M (m1 ? m 2 ) 2a? ? 1 2 (m1 ? m 2 )v ? G
2

M (m1 ? m 2 ) R ?h

(8)

代人有关数据得 a '=5259km (9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由北极指向南极, 如图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆方 程
r ? p 1 ? e cos ?

(11)

式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有

e ?

rm a x ? rm in 2a?

( ? 0 .3 6 3 5 )

(13)

在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) 或有 p=rmax (1-e) 在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有
R ? p 1 ? e cos ? p? R eR

(14) (15)

(16) (17)



cos ? ?

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) 0 θ=141.32 (19) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分. (1)或(2)(3)或(4)(5)或(6)式各 2 分, 、 、 (8)式 3 分, (10) 式 3 分. 第(ii)小题 8 分. (11)(12)(13)(14)或(15)(16)或(17)式各 l 分, 、 、 、 、 (19)式 2 0 0 分(答案在 141 到 142 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 l 分. 解法二 在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标原点 O, x 轴通过近地点和远地点 并由远地点指向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是
x
2 2

a?

?

y b?

2 2

?1

(20)

式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地 点到地心的距离 rmax=R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c= rmax-a'(=1912km) (22) 而
b? ? a? ? c
2 2

(23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角. 因撞击点在结合物的轨道上, (24) 将 、 (25) 式代入轨道方程(20)式,经整理得
R ( b ? ? a ? ) cos ? ? 2 b ? cR cos ? ? a ? b ? ? a ? R ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(27)

引人以下符号并代人有关数据得
? ? R ( b ? ? a ? )( ? ? 1484 ? 10 km )
2 2 2 11
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? ? 2 b ? cR ( ? 5846 ? 10 km )
2 11 2 2 2 2 2 2

ht

? ? b ? c ? a ? b ? ? a ? R ( ? 5465 ? 10 km )
11

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代入(27)式得
? cos ? ? ? cos ? ? ? ? 0
2

(28)

解得

cos ? ?

?? ?

?

2

?4 ? ?

2?

(29)

舍掉不合理的答案,得 cosθ=-0.7807 (30) 0 θ=141.32 (31) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准: (20)(21)(22)(23)或(24)(27)式各 l 分, 、 、 、 、 (31)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之 间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 1 分. http://fxhc.cersp.net http://fxhc.cersp.net http://fxhc.cersp.net http://fxhc.cersp.net http://fxhc.cersp.net http://fxhc.cersp.net http://fxhc.cersp.net
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