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辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题

时间:2012-12-14


第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A,B 都是非空集合,则“ x ? ( A ? B ) ”是“ x ? A 且 x ? B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在右程序框图中,当 n ? N ? (n

? 1) 时,函数 f n ( x) 表示函数 f n ?1 ( x) 的导函数.若输入函数
f1( x) ? sinx ? cosx ,则输出的函数 f n( x)可化为 π π A. 2 sin( x ? ) B. ? 2 sin( x ? ) 4 4 π π C. 2 sin( x ? ) D. ? 2 sin( x ? ) 4 4
开始 输入 f1(x)

3.已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足

n=2

f (2 x ? 1) ? f (?3) 的 x 取值范围是
A. (?1, 2) C. (??, 2) 4.下列说法错误的是 A.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则
2

fn ( x) ? fn??1 ( x)

B. (??, ?1) D. (?2,1)
否 是

n=n+1 n??011
输出 fn(x) 结束

?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

第 2 题图

B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”

1 ”是“ ? ? 30? ”的充分不必要条件 2 D.若命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题
C. “ sin ? ? 5.设 f ( x) ? lg(10 x ? 1) ? ax是偶函数,g ( x) ? A.1 B.-1 C.-

4x ? b 是奇函数,那么a ? b 的值为 2x
D.

1 2

1 2

6.如果 f ?(x) 是二次函数, 且 f ?(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3), 那么曲线 y ? f (x) 上 任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是

,? ) 3 ? 7.若第一象限内的点 A( x, y ) ,落在经过点 (6, ?2) 且具有方向向量 a ? (3, ?2) 的直线 l 上,则
A. (0,

?

3

]

B. [

? ?

, ) 3 2

C. (

? 2?
2 , 3

]

D. [

?

log 3 y ? log 2 x 有
2 3

A.最大值

3 2

B.最大值 1

C.最小值

3 2

D.最小值 1

8.如图甲所示,三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8, AC ? BC ? 3, ?ACB ? 30?, M 、N 分别在 BC 和

PO 上,且 CM ? x, PN ? 2 x( x ? (0,3]) ,图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥 N ? AMC 的体
积 V 与 x 的变化关系,其中正确的是

9.函数 f ( x) ? ( ) A.2

1 2

x ?1

? 2 cos ?x(?2 ? x ? 4) 的所有零点之和等于
C.6 D.8

B.4
2

10.已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1 ,P 到直线 l 的距离为 d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为 A.

5 2 ?2 2

B.

5 2 ?1 2

C.

5 2 ?2 2

D.

5 2 ?1 2

11.定义在 R 上的函数 f (x) 满足:对任意 ? , ? ? R ,总有 f (? ? ? ) ? ? f (? ) ? f (? )? ?

2012 ,则下列说法正确的是 A. f (x) ? 1 是奇函数 C. f (x) ? 2012 是奇函数

B. f (x) ? 1 是奇函数 D. f (x) ? 2012 是奇函数

12.已知 R 上的不间断函数 g (x) 满足:①当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 恒成立;②对任意的 x ? R 都有 g ( x) ? g (? x) 。又函数 f (x) 满足:对任意的 x ? R ,都有 f ( 3 ? x) ?

? f ( x) 成立,当 x ? [0, 3 ] 时, f ( x) ? x 3 ? 3 x 。若关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ?

g (a 2 ? a ? 2) 对 x ? [?3,3] 恒成立,则 a 的取值范围
A. a ? 0或a ? 1 B. 0 ? a ? 1 C. ? 1 ? a ? 1 D. a ? R

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? x2 (0 ? x ? 1) 2 13.设 f ( x) ? ? 则 ? 0 f ( x)dx = ?2 ? x (1 ? x ? 2)



14.命题“ ?x ? (1, 2) 时,满足不等式 x 2 ? mx ? 4 ? 0 ”是假命题,则 m 的取值范围 __________. 15.在区间 [0,1] 上任意取两个实数 a、b ,则函数 f ( x) ? 有一个零点的概率为_______________. 16.如图是函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax ? b 在区间 [?1,1] 上有且仅 2

b?c ?

sin ? x 4 的图像的一部分,若图像的最高点的纵坐标为 ,则 x ? bx ? c 3
2



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p:不等式 a2-5a-3≥3 恒成立,命题 q:不等式 x2 +ax+2<0 有解;若 p 为真命题,q 为假命 题,求 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

6 cos 4 x ? 5sin 2 x ? 4 cos 2 x

(Ⅰ)判断 f ( x) 的奇偶性;(Ⅱ)求 f ( x) 的值域. 19. (本小题满分 12 分) 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销 售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车 7x, 投入成本增加的比例为 x(0<x<1), 则出厂价相应提高的比例为 0. 年销售量也相应增加. 已 知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)× 年销售量. (Ⅰ)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加 的比例 x 应在什么范围内? 5 (Ⅱ)年销售量关于 x 的函数为 y=3240(-x2+2x+ ), 则当 x 为何值时, 本年度的年利润最大? 3 最大利润为多少?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 4 ( 4 x ? 1) ? kx( k ? R ) 为偶函数. (Ⅰ) 求 k 的值; (Ⅱ) 若方程 f ( x) ? log 4 ( a ? 2 x ? a ) 有且只有一个根, 求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 . , g ( x) ? 2a ln x(e 为自然对数的底数) e

(Ⅰ)求 F(x)=f(x) ? g(x)的单调区间,若 F(x)有最值,请求出最值; (Ⅱ)是否存在正常数 a ,使 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切 线?若存在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

px ? p ? ln x( p ? 0) 是增函数。

(I)求实数 p 的取值范围; (II)设数列 {an } 的通项公式为 an ?

2n ? 1 , 前 n 项和为 S,求证: S n ? 2 ln(n ? 1). n

高三年级第一次模拟试题数学答案 (理科)
一、选择题:

19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意得,上年度的利润为(13-10)×5000=15000 万元;本年度每辆车的投入成本为 10(1 +x);本年度每辆车的出厂价为 13(1+0.7x);本年度年销售量为 5000(1+0.4x),因此本年度的 利润为 y=[13(1+0.x)-10(1+x)]· 7 5000(1+0.x)=(3-0.x)· 4 9 5000(1+0.x)=-1800x2 +1500x+15000(0<x<1), 4 5 由-1800x2 +1500x+15000>15000,解得 0<x< ,x 在此范围内,本年度的年利润比上年度有所增加. 6 5 (Ⅱ)本年度的利润为 f(x)=(3-0.9x)· 3240(-x2 +2x+ )=3240×(0.9x3-4.8x2 +4.5x+5).则 f′ ) (x 3 5 5 =3240(2. x2 -9. x+4. 7 6 5)=972(9x-5)(x-3), f′ )=0, 由 (x 解得 x= 或 x=3, x∈(0, )时,′ )>0, 当 f (x 9 9

f(x)是增函数;当 x∈( ,1)时,f′ )<0,f(x)是减函数.∴当 x= 时,f(x)取极大值 f( )=20000 万元, (x
5 ∵f(x)在 (0,1)上只有一个极大值,∴它是最大值,∴当 x= 时,本年度的年利润最大,最大利润 9 为 20000 万元. 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 f (x) 为偶函数,所以 f (? x) ? f ( x)
?x

5 9

5 9

5 9

log 4 (4

4x ?1 ? log 4 (4 x ? 1) ? 2kx ? 1) ? kx ? log 4 x 4
1 2
…4 分

? (2k ? 1) x ? 0 ? k ? ?

(2)依题意知: log 4 (4 x ? 1) ?
2

?4 x ? 1 ? ( a ? 2 x ? a ) ? 2 x 1 x ? log 4 (a 2 x ? a ) ? ? 2 (a ? 2 x ? a) ? 0 ?
只需其有一正根。 …5 分 …7 分

*

令 t ? 2 x 则*变为 (1 ? a )t ? at ? 1 ? 0 (1) a ? 1, t ? ?1 不合题意

?? ? a 2 ? 4(1 ? a ) ? 0 ? (2)*式有一正一负根 ? 经验证满足 a ? 2 x ? a ? 0 ? a ? 1 …9 分 1 t1 t 2 ? ?0 ? 1? a ?
(3)两相等 ? ? 0 ? a ? ?2 2 ? 2 综上所述? a ? 1 或 a ? ?2 ? 2 2 21. (本小题满分 12 分) 经验证 a ? 2 x ? a ? 0

? a ? ?2 ? 2 2 …11 分
…12 分

(Ⅱ)方法一,若 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 则方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有且只有一解,所以函数 F(x)有且只有一个零点 …… 7 分 由(Ⅰ)的结论可知 F ( x) min ? ? a ln a ? 0得a ? 1 ………… 此时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 8分

x2 ? 2 ln x ? 0 , F ( x) min ? F ( e ) ? 0 e

∴ f ( e ) ? g ( e ) ? 1, ∴f(x)与 g(x)的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1) 又? f ?( e ) ? g ?( e ) ?

2 e

,∴f(x)与 g(x)的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,

其方程为 y ? 1 ?

2 e

( x ? e ) ,即 y ?

2 e

x ? 1 ………… 12 分

综上所述,存在 a ? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点 ( e ,1) ,且在该点处 的公切线方程为 y ?

2 e

x ? 1. ………… 14 分

22. (本小题满分 12 分) ⑴ 解 : 由 题 意 , 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 [1, ?? ) , 由 函 数 f ( x) 是 增 函 数 知

f ?( x ) ?
令t ?

p 2 x ?1

?

1 ? 0 对 x ? 1 恒成立, x
2

… 3分

x ? 1, t ? 0 ,则 p ? (

2t 2t ) max ,注意到 t 2 ? 1 ? 2t ? 0 ,所以 ( 2 ) max ? 1 , 即 t ?1 t ?1

p ? 1 ,所以 p ? 1 为所求. ………6 分
⑵证明:由⑴知, f ( x) ?

x ? 1 ? ln x 是增函数,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ,

对 x ? 1 恒成立. ………… 8 分 注意到 an ?

2n ? 1 ? n

(n ? 1) 2 (n ? 1) 2 . ……10 分 ? 1 ,所以 an ? ln n2 n2


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