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高考中集合常考题型的总结(一轮复习教案)

时间:


教案标题 适用 年级

集合
高中第 一轮复 习

学科

数学

适用范 围

全国

1. 理解和掌握集合的概念、集合间的关系、集合间的关系,能根 据条件灵活选用适当的方法解决集合的问题,有关的一切问

知识 目标
<

br />题。 2. 建立集合与其他知识的联系。用代数、几何两种方法研究在 集合在其他知识上的应用问题。

教学目标 能力 目标 情感 态度 价值观 知识点 重难点

3. 建立集合的思想。 集合的知识在其他知识上的应用,来培养学生应用数学 分析、解决实际问题的能力. 培养学生学习的积极性和主动性,发现问题,善于解决问题, 探究知识,合作交流的意识,体验数学中的美,激发学习兴趣, 从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

集合的概念;集合间的关系;集合间的运算 重点:集合的计算、集合内部的关系以及和其他知识的联系. 难点:根据具体的条件,用集合和其他知识的问题.

学习过程
一、复习预习
考纲要求: 1.理解集合的概念。 2.能在具体的数学环境中,应用集合知识。 3.特别是集合间的运算。 4.灵活应用集合知识与其它知识间的联系,集合是一种方法。

二、知识讲解
1.集合的相关概念 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 常见的数集:自然数集、整数集、有理数集、实数集 2 集合间的关系 任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; 空集是任何集合的子集,记为 ? ? A ; 空集是任何非空集合的真子集;

n 元集的子集个数共有 2 n 个;真子集有 2 n ? 1 个;非空子集有 2 n ? 1 个;非空的真子集有 2 n ? 2 个.
3.集合间的运算

交:A B ? {x | x ? A, 且x ? B} 并:A B ? {x | x ? A或x ? B} 补:C U A ? {x ?U , 且x ? A}
4 主要性质和运算律 (1) 包含关系:

A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A B ? A, A B ? B; A B ? A, A B ? B.

(2) 等价关系: A ? B ? A (3) 集合的运算律:

B ? A ? A B ? B ? CU A B ? U

交换律: A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A.

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结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )

三、例题精析
考点一 子集、真子集 【例题 1】 :集合 {?1,0,1} 共有 【答案】 :8 【解析】 : n 元集的子集个数共有 2 n 个,所以是 8 个。 【例题 2】 :设集合 M ? {x | x ?
(A) M ? N 个子集

k 1 k 1 ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则 2 4 4 2 M ? N M (B) M ? N (C) (D) ? N ? ?

【答案】 :B 【解析】 :由集合之间的关系可知, M ? N ,或者可以取几个特殊的数,可以得到 B

考点二 集合的简单运算 【例题 3】 :已知集合 M ? {1, 2,3}, N ? {2,3, 4} ,则
A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? {2,3} D. M

N ? {1, 4}

【答案】 :C 【解析】 :根据集合的运算,正确的只有 C。 【例题 4】 :设集合 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ?1,2,3?, B ? ?2,3,4? ,则 CU ( A ? B) =( ) 【答案】 : CU ( A ? B) ? {1,4,5} 【解析】 :因为 A ? B ? {2,3} ,所以 CU ( A ? B) ? {1,4,5} 。 考点三 集合中含有不等式的问题
M 【例题 5】 :设全集是实数集 R, M ,N ,则 CR ? { x | ? 2 ? x ? 2 } ? { x | x ? 1 } ?N ?

M 【答案】 : CR ? N ? {x x ? ?2} 。 M 【解析】 :因为 CU M ? {x x ? ?2或x ? 2},所以 CR ? N ? {x x ? ?2} 。

? x?3 ? 【例题 6】 :已知集合 M ? x ? ? x | ? 0?,N ? ? x | x ≤ ?3? ,则集合 ?x | x ≥1? =( ? x ?1 ?



A. M

N

B. M

N

C. CU (M ? N )

D. CU (M ? N )

【答案】 :D 【解析】 :因为 M ? {x ? 3 ? x ? 1} ,要达到 ?x | x ≥1? 只有 CU (M ? N ) 。 考点四 集合中含有参数的问题 【例题 7】 :设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=___________. 【答案】 :1

【解析】 :因为 B 中必须有 3,所以 a ? 1 。 【例题 8】 :若集合 A ? ?x | x ≤ 2? , B ? ?x | x ? a? 满足 A B ? {x x ? 2} ,则实数 a 的取值范围 【答案】 :a ? 2 【解析】 :如果 a ? 2 , A B ? ? ,所以 a ? 2 。 考点五 集合中信息的问题 【例题 9】 :定义集合运算: A ? B ? ? z z ? xy, x ? A, y ? B?. 设 A ? ?1, 2? , B ? ?0, 2? ,则集合 A? B 的所
有元素之和为

【答案】 :6 【解析】 :因为 A ? B ? {0, 2, 4} ,所以 2+4=6.

四、课堂练习
【基础型】
1 已知集合 A ? [1,2,3,4] ,那么 A 的真子集的个数是: (A)15 答案:A (B)16 (C)3 (D)4

解析: n 元集的真子集个数共有 2 -1 个,所以是 15 个。 2 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A= ?1 , 2? , B= ?2, 3? ,则 CU ( A ? B) = 答案: CU ( A ? B) ? {4} 解析:因为 A ? B ? {1,2,3} ,所以 CU ( A ? B) ? {4} 。 3 集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则 ( A ? B) ? (CU C ) = 答案: ( A ? B) ? (CU C) ? {2,5} 。 解析:因为 ( A ? B) ? {2,3,4,5} , CU C ? {1,2,5} ,所以 ( A ? B) ? (CU C) ? {2,5} 。

n

【巩固型】
1 设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ? N}的真子集 的个数是( ... 答案:7
3 解析:因为 A 中共有三个元素,所以它的真子集为 2 ? 1 个。

)

2 A= ? x ? x ? 1? ? 3 x ? 7? ,则 A
2

Z 的元素的个数

答案:0 解析:因为 A 中没有元素,为空集,所以为 0.

3 设集合 U ? {x ? N | 0 ? x ? 8} , S ? {1, 2, 4,5} , T ? {3,5, 7} ,则 S ? (CU T ) ?
答案: S ? (CU T ) ? {1,2,4} . 解析:因为 CU T ? {1,2,4,6,8} ,所以 S ? (CU T ) ? {1,2,4} 。

【提高型】
2 , 2 , , 3, 4 5} 1 已 知 全 集 U ? {1 , 集 合 A ?{ x | x , B ? {x | x ? 2a,a ? A} , 则 集 合 ? 3 x? 2 ? 0}

CU ( A ? B) 中元素的个数为(
答案:2



解析:因为 A ? B ? {1,2,4} ,所以 CU ( A ? B) ? {3,5} 。

2

设全集为 R, 函数 f (x) ? 1 ? x 2 的定义域为 M, 则 CR M 为 (A) [-1,1] (B) (-1,1)(C) (??, ?1] ? [1, ??) (D) (??, ?1) ? (1, ??)

【答案】D
M 【解析】?1 - x 2 ? 0,? ?1 ? x ? 1.即M ? [?1,1], CR ? (??,?1) ? (1, ?) ,所以选 D

五、课程小结
本节课是高考中必考的知识点,而且在高考中往往以基础的形式考查,难度比较低,所以需要学生要准确 的理解知识点,灵活并熟练地掌握考查的对象以及与其他知识之间的综合,集合是一种方法,重点是其他 知识在集合上的应用。 (1)理解集合的概念,常用的数集。 (2)集合之间的关系,子集,真子集。 (3)集合间的运算,交集、并集、补集。 (4)理解信息题中新定义的集合关系。

六、课后作业
【基础型】
1 已知集合 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 CU A ? 答案: CU A ? {3,9} 解析:因为 U ? ?1,3,5,7,9? ,所以 CU A ? {3,9} 。

2 设 A ? ?x | x ?1 ? 0? , B ? ?x | x ? 0?,则 A 答案: A

B =____________ .

B ? {x ?1 ? x ? 0} B ? {x ?1 ? x ? 0} 。


解析:因为 A ? ?x | x ? ?1? , B ? ?x | x ? 0? ,所以 A 3 已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3, 4? , A 答案:2 解析:因为 A

B ? ?1, 2,3, 4? 则 m ?

B ? ?1, 2,3, 4? ,所以 A 中必须有 2, m ? 2 。

【巩固型】
1 设集合 A ? {? x, y ? |

x2 y 2 ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的子集的个数是 4 16

答案:2 解析:因为 A 表示椭圆上的点构成的集合,B 表示指数函数上点构成的集合,由图像可知,有 2 个交点。

2 全集 U ? A 个数为 答案: n

B 中有 m 个元素, (CU A) ? (CU B) 中有 n 个元素,若 A ? B 非空,则 A ? B 的元素

解析: (CU A) ? (CU B) 表示 A 与 B 的公共元素个数为 n 个,所以 A ? B 的元素个数为 n 个。

3 集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a2 ,若 A B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的值为(
答案: a ? 4 解析:因为 A

? ?

)

B ? ?0,1, 2, 4,16? ,所以 A 或 B 中必须有 4,根据集合的性质, a ? 4 。

4 设常数 a ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0}, B ? {x | x ? a ? 1} ,若 A ? B ? R ,则 a 的取值范围为 ( ) (A) ( ??, 2) 答案 B. 解析: 与 x 轴有交点(1,0) (a,0)而 a?1<a 所以只要 a?1≤1 即可,因此 a≤2 (B) ( ??, 2] (C) (2, ??) (D) [2, ??)

【提高型】 1 设 U ? {n | n 是小于 9 的正整数} , A ? {n ?U }n 是奇数}, B ? {n ?U }n 是 3 的倍数} ,则

CU ( A ? B) ? ___
答案: CU ( A ? B) ? {2,4,8}

解析:因为 U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} , A

B ? {1,3,5, 6, 7} ,所以 CU ( A ? B) ? {2,4,8}。


2 已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素的个数为( 答案:10 解析: x ? 5, y ? 1, 2,3, 4 , x ? 4, y ? 1, 2,3 , x ? 3, y ? 1, 2 , x ? 2, y ? 1 共 10 个 3 设 a, b ? R ,集合 ? 1, a ? b, a? ? ?0, 答案:2

? b ? , b?, 则b ? a ? ( ) ? a ?

? b ? , b? 可知, a ? ?1, b ? 1 ,得 b ? a ? 2 。 ? a ? 4 设集合 A ? {1, 2,3, 4,5,6}, B ? {4,5,6,7,8} ,则满足 S ? A 且 S B ? ? 的集合 S 的个数为
解析:由 ? 1, a ? b, a? ? ?0, 答案:56 解析:A 的子集个数为 64 个, {1, 2,3} 的子集个数为 8 个,所以 64-8=56. 5 设集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R?, B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R?.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值范围是 答案: a ? 6或a ? 0 解析:因为 A ? {x a ?1 ? x ? a ? 1}, B ? {x 1 ? x ? 5}, A

B ? ? ,所以 a ? 6或a ? 0 。

6 设集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B,则实数 a,b 必满足

(A) | a ? b |? 3
答案:D

(B) | a ? b |? 3

(C) | a ? b |? 3

(D)| a ? b |? 3 .考.资.源.

b ? 2 ? a ?1 或 b ? 2 ? a ?1 , 解析: 因为 A ? {x a ?1 ? x ? a ? 1}, B ? {x x ? b ? 2或x ? b ? 2} ,A ? B ,

所以, | a ? b |? 3 。 7 已知集合 A ? ? x log2 x ? 2 ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 (c, ??) ,其中 ? , B ? (?? ,a )

c=
答案:4

.学

解析:因为 A ? {x 0 ? x ? 4} , A ? B , a ? 4 , c ? 4 。 8 记关于 x 的不等式

(I)若 a ? 3 ,求 P ; (II)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ≤1的解集为 Q . x ?1

答案: (I) P ? {x ?1 ? x ? 3} , (II) a ? 2 解析: (I)解分式不等式 P ? {x ?1 ? x ? 3} ,(II) Q ? {x 0 ? x ? 2} , Q ? P ,解得 a ? 2 。 9 设 整 数 n ? 4 , 集 合 X ?{ , 令 集 合 S ? { (x , y , z ) x 1, 2 …… 3, ,} | ?, y z ,且 三 X 条 , 件

x ? y ? z , y ? z ? x, z ? x ? y 恰有一个成立},若 ( x, y, z) 和 ( z, u, x) 都在 S 中,则下列选项正确的是 A. ( y, z, u) ? S ,( x, y, u) ? S B. ( y, z, u) ? S ,( x, y, u) ? S

C. ( y, z, u) ? S ,( x, y, u) ? S

D. ( y, z, u) ? S ,( x, y, u) ? S

答案:B 解析:①若 x ? z ,∵ ( x, y, z ) 和 ( z, u, x) 都在 S,∴ x ? y ? z , 且 x ? z ? u ∴ x ? y ? u ,且 y ? z ? u 故 ( y, z, u) ? S ,( x, y, u) ? S ②若 x ? z ,∵ ( x, y, z ) 和 ( z, u, x) 都在 S,∴ z ? x ? y , 且 z ? u ? x ∴ z ? u ? y ,且 u ? x ? y 故 ( y, z, u) ? S ,( x, y, u) ? S 选B


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