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高一数学人教A版必修一学案 1.1.1 集合的含义与表示


1.1.1

集合的含义与表示

1.集合的含义 (1)元素与集合的定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫 做集合(简称为集). 通常用大写拉丁字母 A, B, C, ?表示集合, 用小写拉丁字母 a, b, c, ? 表示集合中的元素. (2)集合中元素的特征 元素特征 理解 确定性 互异性 无序性 【例 1-1】

下列所给的对象能构成集合的是__________. (1)所有正三角形; (2)新课标人教 A 版数学必修 1 课本上的所有难题; (3)比较接近 1 的正整数全体; (4)某校高一年级的 16 岁以下的学生; (5)平面直角坐标系内到原点的距离等于 1 的点的集合; (6)参加伦敦奥运会的年轻运动员; (7)a,b,a,c. 点技巧 一组对象能否构成集合的判断技巧 判断一组对象能否构成集合的关键在于 看是否有明确的 判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是 ... “确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合. (3)元素与集合的关系 关系 含义 记号 示例 a 是集合 A 中的元素, 就说 a a?A 属于 属于集合 A 所有正实数构成的集合记为 A,则 1 ? A,-1 ? A. a 不是集合 A 中的元素,就 a? A 不属于 说 a 不属于集合 A 谈重点 对符号“ ? ”与“ ? ”的理解 (1)由集合中元素的确定性可知,对任意的元 素 a 与集合 A,在“a ? A”与“a ? A”这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“ ? ”和“ ? ”只表示元素与集合之间的关系,而不能用于表示其他关系. (3)“ ? ”和“ ? ”具有方向性 ,左边是元素,右边是集合. ... 【例 1-2】设不等式 3-2x<0 的解集为 M,下列关系中正确的是( ) A.0 ? M,2 ? M B.0 ? M,2 ? M C.0 ? M,2 ? M D.0 ? M,2 ? M (4)相等集合:只要构成两个集合的元素是一样的,也就是说它们的元素是完全相同的, 我们就称这两个集合是相等的. 【例 1-3】若方程(x-1)2(x+1)=0 的解集为 A,方程 x2-1=0 的解集为 B,那么 A 与 B 是否相等? 2.常用数集 数集 含义 记号 自然数集 全体非负整数组成的集合 N 正整数集 所有正整数组成的集合 N*或 N+ Z 整数集 全体整数组成的集合 有理数集 全体有理数组成的集合 Q R 实数集 全体实数组成的集合 【例 2】用符号 ? 或 ? 填空: (1)3____N;3____Z;3____N*;3____Q;3____R. (2)3.1____N;3.1____Z;3.1____N*;3.1____Q;3.1____R. 3.集合的表示法 (1)自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法.使用此方法要注意叙述清楚,如由

所有正方形构成的集合,就是自然语言表示的,不能叙述成“正方形”. (2)列举法 把集合中的全部元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来 定义 表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法. 一般形式 {a1,a2,a3,?,an} 中国古代四大发明组成的集合,用列举法表示为{火药,造纸术, 示例 活字印刷术,指南针} 【例 3-1】用列举法表示下列集合: (1)15 以内质数的集合; (2)方程 x(x2-1)=0 的所有实数根组成的集合; (3)一次函数 y=x 与 y=2x-1 的图象的交点组成的集合. (3)描述法 含义

用集合中元素的共同特征表示集合的方法 {x|p(x)}(其中 x 是集合元素的一般符号,p(x)是集合元素的共同 一般形式 特征) 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或 具体方法 变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具 有的共同特征. 注:在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分,如:{直角三角形},{正方形}等. 【例 3-2】用描述法表示下列集合: (1)所有的偶数组成的集合; (2)不等式 2x-4>0 的解集. 【例 3-3】试分别用列举法表示下列集合: (1)方程 x2-x-2=0 的解集; (2)大于-1 且小于 7 的所有整数组成的集合.

4.集合元素的特征的应用 【例 4】下列说法正确的是( ) A.数学成绩较好的同学可以组成一个集合 B.所有绝对值接近于零的数组成一个集合 C.集合{1,2,3}与集合{3,2,1}表示同一个集合 D.1,0.5,

1 2 4 , , 组成一个含有 5 个元素的集合 2 3 6
? ? 6 ? ? N? . 2? x ?
(2)用列举法表示集合 B.

5.元素与集合的关系及应用 【例 5-1】设集合 B ? ? x ? N |

(1)试判断元素 1,2 与集合 B 的关系;

【例 5-2】若集合 A={a-3,2a-1,a2-4}且-3 ? A,求实数 a 的值. 6.集合的表示方法及应用 【例 6-1】用适当的方法表示下列对象构成的集合. (1)绝对值不大于 2 的所有整数; (2)方程组 ?

? x ? y ? 1, 的解. ? x ? y ? ?1

【例 6-2】用描述法表示下列图象中阴影部分(含边界)的点的集合.

【例 6-3】下面三个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}. (1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义是什么? 点技巧 对用描述法表示的集合的理解 用描述法表示的集合, 一要看集合的代表元素 是什么,它反映了集合元素的形式;二要看元素满足什么条件.数集和点集常常会混淆. 7.集合相等的应用 例如:若集合 A={-1,3},集合 B={x|x2+ax+b=0},且 A=B,求实数 a,b.

【例 7】若含有三个实数的集合可表示为 ? a,
013

? b ? ,1? ,也可表示为{a2,a+b,0},求 a2 012+b2 a ? ?

的值.

点技巧 由集合相等求参数的技巧 应从集合相等的定义入手,寻找元素之间的关系, 若集合中的未知元素不止一个, 则需分类讨论 , 同时要注意利用集合中元素的互异性 对求得 .... ... 的结果进行检验. ...

8.方程、不等式等知识与集合交会问题的处理 【例 8】已知集合 A={x|ax2-3x+2=0}. (1)若 A 是单元素集合,求集合 A; (2)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围.

分析:本题将集合中元素个数问题转化为方程根的问题.(1)A 是单元素集合,说明方程 有唯一根或有两个相等的实数根.(2)A 中至少有一个元素,说明方程有一根或两根. 9.与集合有关的创新题 【例 9-1】定义集合运算 A ? B={z|z=xy(x+y),x ? A,y ? B},设集合 A={0,1},B ={2,3},则集合 A ? B 的所有元素之和为( ) A.0 B.6 C.12 D.18 【例 9-2】已知集合 A 中的元素均为整数,对于 k ? A,如果 k-1 ? A 且 k+1 ? A,那 么称 k 是 A 的一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合 中,不含“孤立元”的集合共有________个.


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