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导数与物理竞赛


单调收敛定理 单调有界数列必收敛。 柯西收敛原理 设 是一个数列,如果对任意ε>0, 存在 N∈Z*,只要 n 满足 n > N , 则对于任意正整数 p,都有 ,这样的数列 便称为柯西数列。 这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即互为充分必要条件。 两个重要极限 1、 2、 或 (其中 e=2.7182818...)

定积分式
如果我们把

义了一个新的函数: 积函数的自变量改成别的字母如 t,即 2Φ性质 1、定义函数 证明:让函数 ,则 。 ,则对应的函数增量 中的积分区间的上限作为一个变量 x,这样我们就定 为了只表示积分上限的变动,我们把被

获得增量

显然, 而 (ξ在 x 与 x+Δx 之间,可由积分中值定 理推得) 当Δx 趋向于 0 也就是ΔΦ趋向于 0 时,ξ趋向于 x,f(ξ)趋向于 f(x), 故有 可见这也是导数的定义,所以最后得出 。

2、 ,F(x)是 f(x)的原函数。 证明:我们已证得 ,故 但Φ(a)=0(积分区间变 为[a,a],故面积为 0),所以 F(a)=C。 于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当 x=b 时,Φ(b) = F(b) - F(a),而 ,所以 把 t 再写成 x,就变成了牛顿-莱布尼茨公式。

柯西不等式
二维形式 等号成立条件:当且仅当 扩展: 等号成立条件:当且仅当 向量形式 证明: 推广: 三角形式 时取等号。 (即 )

等号成立条件: n 维形式

(即



等号成立条件: 一为零。 推广形式

,或 ai、bi 中有

(卡尔松不等 式) 概率论形式 积分形式

5. 相距为 r1 的两个电子,在重力可忽略的情况下由静止开始运动到相距为 r2 ,从相距 r1 到 相距 r2 期间,两电子系统的下列哪一个量是不变的:[ (A)动能总和; (C)动量总和; (B)电势能总和; (D)电相互作用力 C ]

6. 均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为 r 的圆面。今以该圆周为边线,作一半球面 s , 则通过 s 面的磁通量的大小为: (A) 2?r B 。
2

?

[ B
2

]

(B) ?r B 。

(C) 0 。

(D)无法确定的量。

7. 对位移电流,有下述四种说法,请指出哪一种说法正确:[ A ] (A)位移电流是由变化电场产生的。 (B)位移电流是由线性变化磁场产生的。 (C)位移电流的热效应服从焦耳—楞次定律。 (D)位移电流的磁效应不服从安培环路定理。 8.在一个平面内,有两条垂直交叉但相互绝缘的导线,流过每条导线的电流相等,方向如 图所示。问那个区域中有些点的磁感应强度可能为零:[ D ]

A.仅在象限 1

B.仅在象限 2

C.仅在象限 1、3

D.仅在象限 2、4

9.通有电流 J 的无限长直导线弯成如图所示的 3 种形状,则 P、Q、O 各点磁感应强度的大 小关系为:[ D ] A. BP > BQ > BO C. BQ > BO > BP B. BQ > BP > BO D. BO > BQ > BP


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