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一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

时间:2014-03-12


一次函数的图象和性质
一、知识要点: 1、一次函数:形如 y=kx+b (k≠0, k, b 为常数)的函数。 注意:(1)k≠0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为 1; (2)当 b=0 时,y=kx,y 叫 x 的正比例函数。 ,0)

2、图象:一次函数的图象是一条直线, (1)两个常有的特殊点:与 y 轴交于(0,b);与 x 轴交于(-



(2)由图象可以知道,直线 y=kx+b 与直线 y=kx 平行,例如直线:y=2x+3 与直线 y=2x-5 都与直线 y=2x 平行。 3、性质: (1)图象的位置:

(2)增减性

k>0 时,y 随 x 增大而增大

k<0 时,y 随 x 增大而减小

4.求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判 断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数, 转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程, 本单元构造方程一般有下列几种情况: ①利用一次函数的定义 构造方程组。

②利用一次函数 y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与 y 轴交点的纵坐标, 即由 b 来定点; 直线 y=kx+b 平行于 y=kx, 即由 k 来定方向 。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程 。

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二、例题举例: 例 1.已知 y= ,其中 = (k≠0 的常数), 与 成正比例,求证 y 与 x 也成正比例。 =(3) 是什么函数,

例 2. 已知一次函数

=(n-2)x+

-n-3 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1, 判断

写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 说明:由于一次函数的解析式含有待定系数 n,故求解析式的关键是构造关于 n 的方程,此题利用“一次函数 解析式的常数项就是图象与 y 轴交点纵坐标”来构造方程。 例 3.直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行,且与直线 y=-3(x-6)相交,交点在 y 轴上,求此直线解析式。 例 4.直线与 x 轴交于点 A(-4,0),与 y 轴交于点 B,若点 B 到 x 轴的距离为 2,求直线的解析式。 例 5.已知一次函数的图象,交 x 轴于 A(-6,0),交正比例函数的图象于点 B,且点 B 在第三象限,它的横 坐标为-2,△AOB 的面积为 6 平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式。 例 6.已知正比例函数 y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于 13,过这点向 x 轴作垂线,这点到垂足间的 线段和 x 轴及该图象围成的图形的面积等于 30,求这个正比例函数的解析式。 例 7.在直角坐标系 x0y 中,一次函数 y= x+ 的图象与 x 轴,y 轴,分

别交于 A、B 两点,点 C 坐标为(1,0),点 D 在 x 轴上,且∠BCD=∠ABD,求图象 经过 B、D 两点的一次函数的解析式。 例 8.已知:如图一次函数 y= x-3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,

过点 C(4,0)作 AB 的垂线交 AB 于点 E,交 y 轴于点 D,求点 D、E 的坐标。

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