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福建省宁德市2015-2016学年高二下学期文科数学试题及参考答案

时间:2016-07-06


宁德市 2015-2016 学年度第二学期高二期末质量检测

数学(文科)试题
本卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名,考生要 认真核对答题卡上粘

贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡 上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题
且只有一个选项符合题目要求.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有

2 1. 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? x ? Z x ? 2 , 则 A ? B 中的元素个数为(

?

?

?

?

)

A. 2

B. 3
2

C. 4

D. 5 (
2

2 .已知命题 p : ?x ? ?1, x A. ?x ? ?1, x C. ?x ? ?1, x
2

? 1 ,则命题 ?p 是
B. ?x ? ?1, x D. ?x ? ?1, x

)

?1 ?1

?1 ?1

2

2

3.为了研究高中学生对某项体育活动的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运 用 2× 2 列联表进行独立性检验,经计算得 K ? 6.84 ,则有(
2

)以上的把握认为

“喜欢体育活动与性别有关系”.

P( K 2 ? k0 )
k0
A.0.1%

0.100 2.706
B.1%

0.050 3.841

0.025 5.024
C.99%
第 1 页

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

D.99.9%
共 14 页

数学(文科)试题

4.已知 i 是虚数单位,执行下图所示的程序框图,输出的 S 值为
开始


结束



s ?1

k ?1

S ? S ? ik


k ? k ?1

k ? 13 ?
C. 0



输出S

A. 1 ? i 5.曲线 f ( x) ? A. y ?

B. 1 ? i

D. 1 ( )

1nx 在 x ? e 处的切线方程为 x
B. y ? e C. y ? x

1 e

D. y ? x ? e ?

1 e

:

6.假设某人的手机在一天内收到 1 条、2 条、3 条垃圾短信的概率分别为 0.5、0.3、0.2, 则该手机明天和后天一共收到至少 5 条垃圾短信的概率为 A.0.1 B.0.16 C.0.2 D. 0.5 ( )

7.已知命题 p :定义在 R 上不恒为常数的函数 y ? f ( x) ,满足 f ( x) ?

1 ,则函 f ( x ? 3)

数 y ? f ( x) 的周期为 6; 命题 q :函数 f ( x) ? ?2 x ? 1是增函数.下列说法正确的是 A. p ? q 为假 B. p ? q 为真 C. (?p) ? q 为真 ( ) D. p ? (?q ) 为真 ( )

x3 8.函数 f ( x) ? | x| 的图象大致为 2 ?1

y

y

y

y

o
A

x

o
B
3 2

x

o
C

x

o
D

x

y

9.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,给出四个结论: ①函数 f ( x) 一定有两个极值点. ③ f ( x) 的图象是中心对称图形. ④若 f ' ( x0 ) ? 0 ,则 x ? x0 是 f ( x) 的极值点.则结论正确的有( A.1 B.2
数学(文科)试题

②若 x ? x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 ?? ?, x0 ? 上单调递减. )个. D.4
共 14 页

C.3
第 2 页

10.已知函数 f ( x) ? lg(1 ? A. ? 2

2x ) +1,若 f (a) ? 2 ,则 f (?a) 的值是 1? x B. 0 C. 1 D. 2

(

)

11.已知 f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) 为 f ( x ) 的导函数,且满足 f ( x) ? ? xf ?( x) ,则 不等式 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) f ( x ? 1) 的解集是 A. (0, 4) 12.已知函数 f ( x) ? ? B. (1, 4) C. (1, ??) ( D. (4, ??) )

2 ? ? ? x ? 3 x, x ? 0 , 若关于 x 的不等式 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? 0 2 ? ? x ? 3x,???x ? 0

恰有 1 个整数解,则实数 a 的最大值是 A.9 B.10 C. 11 D.12





第 II 卷(非选择题

共 90 分)

注意事项:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题 :本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ( i 为虚数单位) ,则 z ? 14.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? 则a ? 15 .函数 y ? . .

?? x ? 1, x ? 1 ,若存在 a ? 0 且 f (1 ? a) ? f (1 ? a) , ?2 x ? a, x ? 1

1 1 1 的图象的对称中心为 (0,0) ;函数 y ? ? 的图象的对称中心为 x x x ?1 1 1 1 1 的图象的对称中心为 (1,0) ; ?????? ; ( ,0) ;函数 y ? ? ? 2 x x ?1 x ? 2 1 1 1 1 ? ?? ? 由此推测函数 y ? ? 的图象的对称中心为 . x x ?1 x ? 2 x?n
x?2 点 P 在直线 y ? x 上, ( x ? 1) 上, x ?1

16. 已知点 M 在曲线 y ? ln( x ? 1) 上, 点 N 在曲线 y ? 则 | PM | ? | PN | 的最小值为
数学(文科)试题

.
第 3 页 共 14 页

三、解答题 :本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {m | 方程 x ? m x ? 1 ? 0 有两个不相等的实根 } ,
2

集合 B ?

?

x |log 2 x ? a? .

(Ⅰ)求集合 A . (Ⅱ)若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3ax ,在 x ? 1 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? k ? 0 在 [0, 4] 上恒成立,求实数 k 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 为了美化景区环境,景区管理单位决定对游客乱扔垃圾现象进行罚款处理.为了更好 地实行措施特向游客征求意见,随机抽取了 200 人进行了调查,得到如下数据: 罚款金额 x (单位:元) 会继续乱扔垃圾的人数 y 0 20 10 15 20 10 50 5 100 0

(Ⅰ)画出散点图,判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关,并求回归直线方程

? ? ?0.18 , a ? ?a ? . ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx y
(Ⅱ)由(Ⅰ)分析,要使乱扔垃圾者的人数不超过 5 %,罚款金额至少是多少元?

数学(文科)试题

第 4 页

共 14 页

20.(本小题满分12分) 已知函数 f ? x ? ? a x + ? k ? 1? a? x ( a ? 1 )是定义域为 R 的偶函数. (Ⅰ)求 k 的值. (Ⅱ)若 f ?1? ?

5 ,且 g ? x ? ? a2 x ? a?2 x ? 2m ? f ? x ? 的最小值为 ?3 ,求 m 的值. 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx2 (m ? R) . (Ⅰ)当 m ? 2 时, 求函数 f ( x) 的单调区间. (Ⅱ)当 m ? 0 时,是否存在实数 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,使得当 x ?? x1 , x2 ? 时,函数
2 2 f ( x) 的值域是 ? ?ax1 ? 1, ax2 ? 1? ? (a ? R ) ?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不

存在,说明理由.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时 请写清题号. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与 ⊙O 相交于点. (Ⅰ)求 BD 长; (Ⅱ)当 CE ? OD 时,求证:AO=AD.

数学(文科)试题

第 5 页

共 14 页

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知在极坐标系中, A( 4,0), B ( 2 3 ,

?
6

) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? .

(Ⅰ)求直线 AB 和圆 C 的直角坐标方程. (Ⅱ)已知 P 为圆 C 上的任意一点,求 ?ABP面积的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ? (Ⅰ)求集合 M .
2 (Ⅱ)若 a ? M ,试比较 a ? a ? 1 与

1 3 ? x ? ,记 f ( x) ? 2 的解集为 M . 2 2

1 的大小. a

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数学(文科)参考答案及评分标准
说明: 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,给出一种或几种解法供参考。如果考 生的解法与给出的解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细 则。 2.对解答题,当考生的解答在某一步出现错误,但整体解决方案可行且后续步骤没有 出现推理或计算错误,则错误部分依细则扣分,并根据对后续步骤影响的程度决定后继部 分的给分,但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重 的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.解答题只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.B 11.D 12.B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

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第 6 页

共 14 页

13.

14.

15.

16.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (满分 12 分)本题主要考查简易逻辑、不等式解法等基础知识。考查运算求解能力、 推理论证能力以及化归与转化的思想. 解: (Ⅰ)由方程 有两个不相等的实根

.. .............3 分

..................................

................................ ......... 6 分 ( Ⅱ ) .................................. ...... 8 分 由 10 分 解 得 . . 所 以 实 数 的 取 值 范 围 为 是 的充分不必要条件,得 , .................

.............................. 12 分

18. (满分 12 分)本题主要考查函数、导数等基本知识。考查运算求解能力及化归思想、 函数方程思想、数形结合思想。












第 7 页


共 14 页







数学(文科)试题

............................... 1 分 是函数的极值点 即 ....................... 3 分 经检验 分 ………………………6 分 注:本小题没有检验扣 1 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 , 由(Ⅰ)可知 在 恒成立, 即 单调递增,在 单调递减, …………………8 分 单调递增 …………………10 分 …………………12 分 19. (满分 12 分)本题主要考查函数、导数等基本知识。考查运算求解能力及化归思想、 函数方程思想、数形结合思想。 解: (Ⅰ)散点图: 符合题意 ………………………5 解 得

数学(文科)试题

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共 14 页

……2 分 由散点图可判断它们之间负相关 分 由表中数据条件可得 分 故回归直线方程为 分 (Ⅱ)由 分
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…………………………3

,则

…………7

,

………………………………8

,可得

,

…………… …11

所以, 要使乱扔垃圾者不超过 分

,处罚金额至少是



.

.............12

20. (满分 12 分)本题主要考查函数的解析式、奇偶性等基础知识,考查运算求解能力、 推理论证能力,抽象概括能力,考查化归的思想. 解: (Ⅰ)由题意, 即 分 化简得: 因为 为任意实数,所以 ………………………………4 分 (用特殊值法要检验,否则扣一分)………………5 分 , , ………………………………1 分 ………………………………………………2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

,因为

,所以



解得 故 令 令 ①当

或 , ,则

, , , , ,又因为 ,即

.........................6 分

………………8 分

时,



上是增函数,则



解得 ②当 则

, 时, , 即 在 上是减函数,在 ,解得

………………………………9 分 上是增函数, (舍去) ………………11 分

综上:

……………………………………………12 分

21. (满分 12 分)本题主要考查函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能
数学(文科)试题 第 10 页 共 14 页

力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等,培养创新意识。 解:(Ⅰ)当 时,函数 ,定义域为 .

,由 列表:

,得

, (

舍去)

……2 分

+ 递增

0 极大值

递减

的递增区间为 (Ⅱ)假设存在实数 值域 当 时, ,由于 在区间

,递减区间为 ,使得当

.

………………5 分 时,函数 ,所以 的 ……6 分

上单调递增,

设 则 必须有两个不同零点 ;

, ………………………………7 分



时,



单调递增,没有两个不同零点,不成立; ……8 分





时,由

,列表:

+

0

-

数学(文科)试题

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共 14 页

递增

极大值

递减

的递增区间为

,递减区间为

.

的最大值 分 要使 有两个不同零点

=

……………………10



则 又

的最大值 时,

, 解得

…………11 分

所以存在实数 分

,取值范围



… …………………12

22. (满分 10 分)本题考查三角形相似,角的求法,考查推理与证明,距离的求法. 解:(Ⅰ) , ,

, (Ⅱ)证明: .



……………………5 分 .

……………………10 分 23. (满分 10 分)本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 解: (Ⅰ)由 圆的直角坐标方程为: ,可得: (或
数学(文科)试题 第 12 页 共 14 页

,所以 ) …………3 分

在直角坐标系中 直线 AB 的方程为: (Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆心 , , …………………………5 分

圆心到直线 AB 的距离



………7 分

所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为



面积的最大值为

……………………10

分 24. (满分 10 分)本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考 查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等.

解: (Ⅰ) 由 ,得:

………1 分

①当

时,

,解得

②当

时,

恒成立

③当 综上:

时,

,解得 ………………4 分
数学(文科)试题 第 13 页 共 14 页

故 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

………………5 分

因为

………………6 分



时,

,所以



时,

,所以



时,

,所以

………………9 分

综上所述:当

时,



时,



时,

……………………10 分

数学(文科)试题

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