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蠡县第二中学高一下学期第一次月考数学试题


蠡县第二中学高一下学期第一次月考数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 90 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的。 ) 1.在△ABC 中,若 a ? 2 3 , b ? 6 , A ? 30 , 则 B 等于( ) A. 60 B. 60 或 120 C. 30 D. 30 或 150 1 2.在等比数列{

an }中,已知 a1 ? , a5 ? 8 ,则 a3 ? ( ) 8 A.1 B.2 C. ?1 D.±2 3.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 8, a7 ? 256, 则 ?an ? 的前 5 项和为( ) A. 81 B.120 C.124 D.160 4. 在 ?ABC 中,已知 2a cos B ? c ,那么 ?ABC 一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形

1 a ?a ?a ?a 5.已知等比数列 {an } 的公比 q ? ? ,则 1 3 5 7 等于( 4 a3 ? a5 ? a7 ? a9 1 1 A. ? B. ?4 C. D. 16 4 16 1 6.在等差数列?an ?中,a3 ? a5 ? a8 ? a16 ? 96, 则a9 ? a11的值为 ? ? 3 A. 14 B.15 C.16 D.17

)

7. 如右图,为了测量河对岸的塔高 AB,有不同的方案,其 中之一是选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D,测 得 CD=400 米,在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45° 和 30°,且∠CBD=30°,则塔高 AB 为( A. 400 2 B. 400 3 C.300 )米。 D.400
Sn 5n ? 1 a = , 求 5 ? ? ?. Tn 3n ? 2 b5

8. 有两个等差数列?an ? , ?bn ? , 其前n项和分别为Sn , Tn , 若 A.2 B.
51 28

C.4

D.

46 25

b, 23cos2 A ? cos 2 A ? 0 , 9.已知锐角△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , c,

a =7, c ? 6 ,则 b =
A .10 B .9


C .8
D .5



10.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4a7 =16,则

log3 a1 ? log3 a2 ?
A.12

? log3 a10 =
B. 15 log 2 3 C.10

( D.2+ log3 5

)

11.数列 {an },{bn } 满足 anbn ? 1, an ? n ? n ? 1) ,则 {bn } 的前 11 项之和为( A.
16 11



B.

15 11

C.

17 12

D.

11 12

1 12.数列?an ? 前n项和为Sn ,已知a1 ? ,且对任意正整数m, n,都有am? n ? am ? an, 3 若Sn ? a恒成立则实数a的最小值为 ? ?
A.
2 3

B.

1 2

C.

3 2

D. 2 共 90 分)

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 2, a2 ? ?2, 则?an ?的前10项和等于_____. 14.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b, a, c成等差数列 ,
3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____.

15.一般地数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? k (k 为常数) ,数列 ?an ? 叫等和数列,其 中 k 为公和,设等和数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1,公和 k=3,则

S2015 ? _______
16、观察下面的数阵, 根据规律写出第 8 行中间数是 ____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 … … … … … …

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明 过程及演算步骤。 ) 17. (10 分)在等差数列 {an } 中,已知 a2 ? ?18, S5 ? ?70 。 (1)求数列的通项公式; (2)求 Sn 的最小值。 18.(12 分)已知 ?ABC 的面积是 20,内角 A,B,C 所对的边长分别 a,b,c, 3 并且 cos A ? 。 5 (1)求 AB ? AC ; (2)若 c-b=4,求 a 的值。

19、 ?12分? 等比数列?an ?中,前n项和为Sn,且S3 =3a3 ,

?1? 求此数列的公比q. ? 2? 若a1 =1,求数列?an ?的通项公式,并求数列?an ?的前n项和Sn .
20. (12 分)数列{an}中, a2 ? 12 , a6 ? ?4 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ?

? | an | ,求 Sn .

21.(12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中, DA⊥AB,DE=1,EC= 7,EA=2, 2π π ∠ADC= 3 ,∠BEC=3. (1)求 sin∠CED 的值; (2)求 BE 的长.

22、 (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an?1 ? 3Sn ,n=1,2,3,……, (1)计算 a2,a3,a4 的值,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .

一、选择题: BACADC 二、填空题: 13、 50

高一数学试题答案 DDDBDB 15 、 3022 16、 57

2 14 、 ? 3

三、解答题: 17.(1) an ? 4n ? 26 (2)-72 18.(1)30, (2) 2 14
19. ?1? 当q ? 1时,S3 =3a1 ? 3a3 , 符合题目条件, a1 ?1 ? q 3 ? 当q ? 1时, ? 3a1q 2 1? q 1 2

因为a1 ? 0, 所以1+q+q 2 ? 3q 2 , 2q 2 ? q ? 1 ? 0. 解得q = -

1 综上所述,公比q的值是1或 - . 2 ? 2 ? 当q ? 1时,S3 =3a1 ? 3a3 , 符合题目条件,得an ? a1 ? 1,Sn ? n. ? 1? 当q ? 1时,an ? ? - ? ? 2?
n ?1 n 2? ? 1? ? ,Sn ? ?1 ? ? - ? ? 3? ? ? ? 2? ?

20. (1) an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ∴ an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ∴ {an?1 ? an }为常数列,∴{an}是以 a1 为首项的等差数列, -4 ? 12 ? ?4 ,∴ an ? 20 ? 4n 。 设 an ? a1 ? (n ?1)d , a6 ? a2 ? 4d ,∴ d ? 6-2 (2)∵ an ? 20 ? 4n ,令 an ? 0 ,得 n ? 5 。 当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 。 ∴当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ? ? | an | ? a1 ? a2 ? ? a5 ? (a6 ? a7 ? ? an ) ? T5 ? (Tn ? T5 ) ? 2T5 ? Tn , Tn ? a1 ? a2 ? ? an 。 当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ? ? | an | ? a1 ? a2 ? ? an ? Tn 。
?18n ? 2n 2 , (n ? 5) ? ∴ Sn ? ? 2 ? ?2n ? 18n ? 80, (n ? 5).

21、解:如题图,设∠CED=α. (1)在△CDE 中,由余弦定理,得 EC2=CD2+DE2-2CD· DE· cos∠EDC. 于是由题设知,7=CD2+1+CD,即 CD2+CD-6=0.

解得 CD=2(CD=-3 舍去). 在△CDE 中,由正弦定理, 2π 3 CD· sin 3 2× 2 EC CD 21 得 =sin α. 于是,sin α= = = EC 7 , sin∠EDC 7 21 即 sin∠CED= 7 . π (2)由题设知,0<α<3,于是由(1)知, 21 2 7 cos α= 1-sin2α= 1-49= 7 . 2π 2π 2π ?2π ? 而∠AEB= 3 -α,所以 cos∠AEB=cos? 3 -α?=cos 3 cos α+sin 3 sin ? ? 1 3 1 2 7 3 21 7 α=-2cos α+ 2 sin α=-2× 7 + 2 × 7 = 14 . EA 2 2 2 在 Rt△EAB 中,cos∠AEB=BE=BE,故 BE= = =4 7. cos∠AEB 7 14 22 解: (1)由 a1=1, an?1 ? 3Sn ,n=1,2,3,……,得

a3 ? 3S2 ? 3(a1 ? a2 ) ? 12 , a2 ? 3S1 ? 3a1 ? 3 , a4 ? 3S3 ? 3(a1 ? a2 ? a3 ) ? 48 ,………………………3 分 由 an?1 ? an ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 3an ( n ? 2 ) ,得 an?1 ? 4an ( n ? 2 ) ,
又 a2= 3 ,所以 an= 3 ? 4n ? 2 ( n ? 2 ), n ?1 ? 1 ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? ;………6 分 n?2 n?2 ?3 ? 4 (2) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1; 当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 6 ? 40 ? 9 ? 41 ?
4Tn ? 4 ? 6 ? 41 ? 9 ? 42 ?
-3Tn ? 3 ?
① ? ② 得: -3Tn ? 3 ? 3? 41 ? 3? 42 ?

? 3n ? 4n?2 ,…………①

? 3n ? 4n?1 ,………………………②

? 3? 4n?2 ? 3n ? 4n?1

1? (1 ? 4n?1 ) ? 3n ? 4n?1 =(1-3n) ? 4n?1 ? 1 . 1? 4 1 ? 1? T1 ? a1 ? 1 也 满 足 上 式 , ?Tn ? ? ? n ? ? 4n?1 (n ? 2) . 又 3 ? 3? 1 ? 1? …………………12 分 ?Tn ? ? ? n ? ? 4n?1 (n ? 2) . 3 ? 3?


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