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第九知识块 统计、概率(第4课时-第7课时) (3)

时间:2013-08-13


第 6 课时
一、填空题

两个基本计数原理、排列、组合、计数应用题

1.(2010· 江南十校测试)高三某班 6 名同学站成一排照相,同学甲、乙不能相邻,并且甲在 乙的右边,则不同排法种数共有________.
4 解析:先将其他 4 名同学排好有 A4种方法,然后将甲、乙两名同学插空,又甲、乙两 2 人顺序一定且不相邻,有 C5种方法,所以共有 A4· 2=240 种排法. 4 C5

答案:240 2.(2010· 汕头一模)从 5 位男生 4 位女生中选 4 位代表,其中至少有 2 位男生,且至少有 1 位女生,分别到四个不同的工厂调查,不同的分派方法有________种. 解析:从 5 位男生 4 位女生中选 4 位代表,其中至少有 2 位男生,且至少有 1 位女生的 1 情况为:2 男 2 女、3 男 1 女,则有(C2· 2+C3· 4)种;“分别到四个不同的工厂调查”, 5 C4 5C 2 2 3 1 再在选出的代表中进行排列,则有(C5· 4+C5· 4)A4=2 400(种). C C 4 答案:2 400 3.(2010· 合肥一检)将 A、B、C、D、E 排成一列,要求 A、B、C 在排列中顺序为“A、B、 C”或“C、B、A”(可以不相邻),这样的排列数有________种. 解析:五个元素没有限制全排列数为 A5,由于要求 A,B,C 的次序一定(按 A,B,C 5 A5 5 3 或 C,B,A),故除以这三个元素的全排列 A3,可得 3×2=40. A3 答案:40 4. (2010· 潍坊一检)张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入 园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人 的入园顺序排法种数共有________. 解析:第一步:将两位爸爸排在两端有 2 种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位 妈妈任意排在中间的三个位置上有 2A3种排法,故总的排法有 2×2×A3=24(种). 3 3 答案:24 5.(2010· 深圳一调)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,?,9 的 9 个小正方形 (如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9” 的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.

解析:对 1,5,9 三位置涂色有三种方法,对 2 和 6 小正方形,若颜色相同则有两种方法, 此时 3 也有两种方法;若 2 和 6 颜色不相同有两种方法,此时 3 只有一种涂色方法,所 以涂 2,3,6 小正方形共有六种方法,同理涂 4,7,8 小正方形也有 6 种方法,故总的涂色方 法有 3×6×6=108(种). 答案:108 6.(2010· 广州二测)现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界 的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种.

解析:由图形可知,满足要求的着色方法有两类:其一是,用三种颜色进行着色,此时 2 共有 A4C1=24(种);其二是,用四种颜色进行着色,此时共有 A4=24(种);由分类计数 2 4 原理可知共有 48 种. 答案:48 7.(2010· 厦门质量检测)某班级有一个 7 人小组,现任选其中 3 人相互调整座位,其余 4 人 座位不变,则不同的调整方案的种数有________.
3 解析:先从 7 人中选出 3 人有 C7=35 种情况.再对选出的 3 人相互调整座位,共有 2 种情况,故不同的调整方案种数为 2C3=70. 7

答案:70 二、解答题 8.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女 生,那么有多少种不同的选派方案? 解:由题设要求至少一名女生,分为两类:1 名女生、3 名男生和 2 名女生、2 名男生,
3 因此有 C1· 4+C2· 2=2×4+6=14(种). 2C 2 C4

9.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排 在两端,不同的排法共有多少种? 解:解法一:先从 5 名志愿者中选 2 人安排在两端位置,有 A2种方法,再把 2 位老人 5 4 看成一个元素,与其余 3 名志愿者共 4 个元素安排好,有 A4种方法,最后将看成一个 元素的二位老人位置排好,有 A2种方法.所以不同的排法共有 A2A4A2=960(种). 2 5 4 2 解法二:因为 2 位老人相邻,所以可以先把 2 位老人看成一个元素,问题转化为 6 个元 素的排列问题.因为老人不站两端,所以可以安排到其余 4 个位置之一,有 4 种的安排 方法,余下的 5 人安排好,有 A5种方法,最后还具体排好二位老人间的位置,有 A2种 5 2 方法.因此不同的排法共有 4A5A2=960(种). 5 2 10.(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)甲打靶射击 ,有 4 发子弹,其中有一发是空 弹. (1)求空弹出现在第一枪的概率; (2)求空弹出现在前三枪的概率; (3)如果把空弹换成实弹,甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为 3,4,5 的弹孔 P,Q, R,第四枪瞄准了三角形 PQR 射击,第四个弹孔落在三角形 PQR 内,求第四个弹孔与 前三个弹孔的距离都超过 1 的概率(忽略弹孔大小). 解:设四发子弹编号为 0(空弹),1,2,3. 1 (1)设第一枪出现“空弹”的事件为 A,共有 4 个基本事件,则 P(A)= . 4 (2)设空弹出现在前三枪的事件为 B,前三枪共有 4 个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},

3 {1,2,3},满足条件的有 3 个,则 P(B)= . 4 (3)由题意得,Rt△PQR 的面积为 6,分别以 P,Q,R 为圆心、1 为半径的三个扇形的 1 6- π 2 π 面积和为 , 设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过 1 的事件为 C, P(C)= 则 = 2 6 π 1- . 12

1.(绍兴期末)10 名同学合影,站成了前排 3 人后排 7 人,现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人 站到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为________. 解析:从后排 7 人中选 2 人的选法种数为 C2,将这 2 人安排到前排并使得其他人的相 7 对顺序不变,可理解为前排的 5 人中,其中 3 人位置相对不变,选 2 人的排列数即 A2, 5 2 所以,符合题意的种数为 C2A5=420. 7 答案:420 2.(2009· 青岛二检)把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的图案中的 1,2,3,4,5,6,7 所处的位置上,其中 3 盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法为 ________种.

解析:用间接法.7 盆花在 7 个位置的全排列为 A7;3 盆兰花在同一条直线上的排列方法 7 有以下几类:在 1,2,3,或 1,4,7,或 3,4,5,或 5,6,7,或 2,4,6,每一类的排列方法数都 是 A3,4 盆玫瑰花的排列方法有 A4种.故所求排列方法数共有 A7-5A3A4=4 320. 3 4 7 3 4 答案:4 320


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