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2017优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第六章第5讲知能训练轻松闯关


1 . (2016· 太原模拟 ) 用反证法证明“若 x2 - 1 = 0 ,则 x =- 1 或 x = 1”时,应假设 ________. 解析:“x=-1 或 x=1”的否定是“x≠-1 且 x≠1”. 答案:x≠-1 且 x≠1 2.设 a= 3+2 2,b=2+ 7,则 a,b 的大小关系为________. 解析: a= 3+2 2, b=2+ 7两式的两边分别平方,

可得 a2=11+4 6, b2=11+4 7, 显然, 6< 7.所以 a<b. 答案:a<b 3.已知点 An(n,an)为函数 y= x2+1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点, 其中 n∈N*,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 1 解析:由条件得 cn=an-bn= n2+1-n= 2 , n +1+n 所以 cn 随 n 的增大而减小,所以 cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 4.已知 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则 tan α =________. 解析:因为 cos(α+β)=sin(α-β), 所以 cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β. 所以 cos α(sin β+cos β)=sin α(cos β+sin β). 因为 sin β+cos β≠0,所以 cos α=sin α,所以 tan α=1. 答案:1 1 5. 对于实数 a, b, c, d, 下面的四个不等式: ①a2+b2+c2≥ab+bc+ca; ②a(1-a)≤ ; 4 a b ③ + ≥2;④(a2+b2)· (c2+d2)≥(ac+bd)2,其中不成立的不等式有________个. b a a b 解析:利用综合法可证①②④成立,若 a=1,b=-1, + =-2,则③不成立. b a 答案:1 6.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件的序号是________. 1 2 解析:若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 答案:③ 1?x ?a+b?,B=f( ab),C=f? 2ab ?,则 A、 7.已知函数 f(x)=? , a , b 是正实数, A = f ?2? ? 2 ? ?a+b? B、C 的大小关系为________. a+b 1?x 2ab 解析:因为 ≥ ab≥ ,又 f(x)=? ?2? 在 R 上是减函数. 2 a+b 2ab a+b? 所以 f? ≤f( ab)≤f?a+b?,即 A≤B≤C. ? 2 ? ? ? 答案:A≤B≤C 8. 在 R 上定义运算: ? ?a b?=ad-bc.若不等式?x-1 a-2?≥1 对任意实数 x 恒成立, ? ? ? ?c d ? x ? ?a+1 则实数 a 的最大值为________. 解析: 据已知定义可得不等式 x2-x-a2+a+1≥0 恒成立, 故 Δ=

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