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【志鸿优化设计】2016高考数学(浙江版)二轮专题复习配套课件:6.2 椭圆、双曲线、抛物线

时间:2015-12-11


第 2 讲

椭圆、双曲线、抛物线

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -2-

1 2 3 4 5

1.(2015湖南,文6)若双曲线=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.

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D 解析 答案

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 3 -3-

1 2 3 4 5

2.(2015课标全国Ⅰ,文5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛 物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( A.3 B.6 C.9 D.12
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)

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B 解析 答案

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -4-

1 2 3 4 5

3.(2015天津,文5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线 与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( A.=1 B.=1 )
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C.-y2=1

D.x2-=1

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D 解析 答案

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -5-

1 2 3 4 5

4.(2015浙江,文15)椭圆=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆 上,则椭圆的离心率是 .
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解析

答案

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -6-

1 2 3 4 5

5.

(2015浙江,文19)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过 原点O的直线PA,PB

分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
(1)求点A,B的坐标; (2)求△PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线 与抛物线相切,称该公共点为切点.

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -7-

1 2 3 4 5

解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t), 由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0, 由于直线PA与抛物线相切,得k=t. 因此,点A的坐标为(2t,t2). 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称, 故解得 因此,点B的坐标为.

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -8-

1 2 3 4 5

(2)由(1)知|AP|=t· 和直线PA的方程tx-y-t2=0.

点B到直线PA的距离是d=.
设△PAB的面积为S(t), 所以S(t)=|AP|· d=.

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -9-

圆锥曲线是高考的重点和热点,是高考中每年必考的内容.主要考查圆锥曲线的 标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容.对圆锥曲线方程与性 质的考查,以选择题、填空题为主,对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,常与其他 知识交会,形成曲线中的存在性问题、曲线中的证明问题等,多以解答题的形式出 现.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -10热点一 热点二 热点三

圆锥曲线的定义及标准方程
例1(2015课标全国Ⅰ,文16)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一
点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .

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专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 11 -11热点一 热点二 热点三

解析:设双曲线的左焦点为F1,如图.

由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,

∴△APF的周长为
|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|). 由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三 点共线.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 12 -12热点一 热点二 热点三

∵A(0,6),F1(-3,0), ∴直线AF1的方程为=1,
即x=-3. 将其代入x2-=1得y2+6y-96=0, 解得y=2或y=-8(舍去),

因此点P的纵坐标为2.

∴S△APF=
=· |F1F|· yA-· |F1F|· yP

=×6×6×6×2=12.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 13 -13热点一 热点二 热点三

规律方法
1.求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法.而对于双 曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2+ny2=1(mn≠0),这样可 以避免对参数的讨论. 2.应特别重视圆锥曲线的定义在解题中的运用,若已知圆锥曲线上一点及焦点 的相关信息,应首先考虑使用圆锥曲线的定义来求解.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 14 -14热点一 热点二 热点三

迁移训练1设椭圆=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,椭圆的离 心率为,则此椭圆的方程为( )

A.=1
C.=1

B.=1
D.=1
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B 解析 答案

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 15 -15热点一 热点二 热点三

圆锥曲线的几何性质
例2(1)(2015浙江嘉兴教学测试(二),文7)

如图,设F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,

以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该双
曲线的离心率为 ( A. B. C. ) D.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -16热点一 热点二 热点三

(2)(2015浙江金华十校模拟(4月),文14)已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆=1
上,且AB⊥x轴,AC∥x轴,则的最大值为 .

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答案

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -17热点一 热点二 热点三

解析:(1)以F1F2为直径的圆方程x2+y2=c2,与渐近线y=x相交于N(x0,y0),根据对称性 得M(-x0,-y0),∴解得N(a,b),M(-a,-b). 又∵A(-a,0),∠MAN=120°,

∴|AN|=,|AM|=,|MN|==2c,由余弦定理得4c2=(4a2+b2)+b2-2· bcos 120°,整理得
3c2=7a2,故e=.

(2)设点A的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则由椭圆的对称性知,B(x0,-y0),C(-x0,y0).
所以,,当且仅当x0=y0=时等号成立.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -18热点一 热点二 热点三

规律方法
1.在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给 出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或 不等式求得离心率的值或范围. 2.在双曲线中,由于e2=1+,故双曲线的渐近线与离心率密切相关. 3.抛物线的几何性质的特点:有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴、 无对称中心、没有渐近线,这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -19热点一 热点二 热点三

迁移训练2(2015福建,文11)已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端 点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小 于,则椭圆E的离心率的取值范围是 ( A. C. B. D. )

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A 答案

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -20热点一 热点二 热点三

解析:

如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行 四边形,∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2. 不妨设M(0,b),则,∴b≥1.

∴e=.
又0<e<1,∴0<e≤.故选A.

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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -21热点一 热点二 热点三

直线与圆锥曲线的位置关系
例3

(2015浙江嘉兴教学测试(二),文19)已知抛物线y2=2px(p>0)焦点为F,抛物线上
横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等. (1)求抛物线的方程;

(2)设过点P(6,0)的直线l与抛物线交于A,B两点,若以AB为直径的圆过点F,求直
线l的方程.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -22热点一 热点二 热点三

解:(1)抛物线上横坐标为的点纵坐标=p,到原点的距离为,∴,解得p=2,抛物线的 方程为y2=4x. (2)由题意可知,直线l不垂直于y轴. 可设直线l:x=my+6,则由可得y2-4my-24=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-24,

因为以AB为直径的圆过点F,所以FA⊥FB,即=0.
可得(x1-1)(x2-1)+y1y2=0.

∴(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2+5m(y1+y2)+25=-24(1+m2)+20m2+25=0,解得
m=±,∴直线l:x=±y+6,即l:2x±y-12=0.

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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -23热点一 热点二 热点三

规律方法
1.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理,

避免求交点坐标的复杂运算.解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且
还应注意焦点弦的几何性质. 2.对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题,以及定值、存在性问 题的处理,最好是作出草图,由图象结合几何性质做出解答.并注意“设而不求”“整 体代入”“点差法”的灵活应用.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -24热点一 热点二 热点三

迁移训练3

(2015浙江温州第三次适应性测试,文19)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F 且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y1y2=-4. (1)求抛物线C的标准方程; (2)若k=1,O为坐标原点,求△OAB的面积.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -25热点一 热点二 热点三

解:(1)F,设直线AB的方程为y=k,联立消去x得ky2-2py-kp2=0,

∴y1y2=-p2=-4,从而p=2,抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由已知,F(1,0),直线AB的方程为y=x-1, 联立消x得y2-4y-4=0,所以 (方法一)|AB|==8.

∵O到直线AB的距离d=,∴S△OAB=×8=2.
(方法二)S△OAB=×|OF|×|y1-y2|==2.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -26-

例题

(15分)(2015浙江金华十校下学期高考模拟,文19)已知抛物线C:y2=2px(p>0),曲
线M:x2+2x+y2=0(y>0).过点P(-3,0)与曲线M相切于点A的直线l,与抛物线C有且只 有一个公共点B. (1)求抛物线C的方程及点A,B的坐标; (2)过点B作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于S,T两点(不同于坐标原点 ),求证:直线ST∥直线AO.

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -27-

解:(1)曲线M方程化为(x+1)2+y2=1(y>0),设l的方程为y=k(x+3),即kx-y+3k=0, 由题意得k>0,又d==1,解得k=, 故l的方程为y=(x+3), (3分) 代入抛物线C:y2=2px(p>0)方程得x2+(6-6p)x+9=0,

则Δ=(6-6p)2-36=0,得p=2, (5分)
进而得B(3,2),由解得A, (6分) 故抛物线C的方程为y2=4x,点A坐标为,点B坐标为(3,2). (7分)

专题六
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第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -28-

(2)设直线BS,BT的两条直线斜率分别为k,-k,则直线BS的方程为y-2=k(x-3), 代入y2=4x,消去x得ky2-4y+8-12k=0,

∴yB+yS=,∴yS=-2, (11分)
同理yT=--2,

∴kST==-. (13分)
由(1)知A,∴kOA=-,∴kOA=kST,由题意知两直线ST,OA不重合,故直线ST∥直线AO. (15分)

专题六 1 2 3 4 5

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -29-

1.已知F1,F2是双曲线M:=1的焦点,y=x是双曲线M的一条渐近线,离心率等于的椭 圆E与双曲线M的焦点相同,P是椭圆E与双曲线M的一个公共点,设|PF1|· |PF2|=n, 则( A.n=12 B.n=24 C.n=36 D.n≠12,且n≠24,且n≠36
关闭

)

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A 解析 答案

专题六 1 2 3 4 5

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -30-

2.(2015重庆,文9)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F 作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( 关闭 )

A.±

B.±

C.±1 D.±

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C 解析 答案

专题六 1 2 3 4 5

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -31-

3.(2015浙江重点中学协作体第二次适应性测试,文7)圆x2+(y-1)2=1与椭圆 9x2+(y+1)2=9的公共点,用线段连接起来所得到的图形为( A.线段 B.不等边三角形 )

C.等边三角形

D.四边形

关闭

关闭

C 解析 答案

专题六 1 2 3 4 5

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -32-

4.已知椭圆的中心在坐标原点O,A,C分别是椭圆的上下顶点,B是椭圆的左顶点,F 是椭圆的左焦点,直线AF与BC相交于点D.若椭圆的离心率为,则∠BDF的正切值 为 .
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关闭

解析

答案

专题六 1 2 3 4 5 5.

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -33-

(2015福建,文19)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且

|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程; (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的 圆,必与直线GB相切.

专题六 1 2 3 4 5

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -34-

(1)解:由抛物线的定义,得|AF|=2+. 因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上, 所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2). 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1). 由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B. 又G(-1,0),所以kGA=,kGB==-, 所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等, 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.

专题六 1 2 3 4 5

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -35-

证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上, 所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2). 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1). 由得2x2-5x+2=0, 解得x=2或x=, 从而B.

专题六 1 2 3 4 5

第 2讲

椭圆、双曲线、抛物线 -36-

又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0, 从而r= . 又直线GB的方程为2x+3y+2=0, 所以点F到直线GB的距离d==r. 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.


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