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2014-2015学年浙江省杭州市重点中学高一(下)期中数学试卷


2014-2015 学年浙江省杭州市重点中学高一(下)期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的.) 1. (5 分) (2015 春?杭州校级期中)sin600°=( ) A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析:

由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果. 解答: 解:sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=﹣sin60°=﹣ ,

故选:A. 点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易 错点,属于基础题. 2. (5 分) (2015 春?杭州校级期中)已知扇形圆心角的弧度数为 2,半径为 3cm,则扇形的面 积为( ) 2 2 2 2 A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 18cm 考点: 专题: 分析: 解答: 扇形面积公式. 计算题;三角函数的求值. 先计算扇形的弧长,再利用扇形的面积公式可求扇形的面积. 解:根据扇形的弧长公式可得 l=αr=6,

根据扇形的面积公式可得 S= lr= ×3×6=9. 故选:C. 点评: 本题考查扇形的弧长与面积公式,正确运用公式是解题的关键.

3. (5 分) (2015 春?杭州校级期中)在△ ABC 中, =( A. ) + B. ﹣ + C. ﹣ D.

= ,

= ,点 D 满足

+2

= ,则

+

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 首先利用平行四边形法则,求得 的值. 的值,再由 +2 = ,求得 的值,即可求得

解答: 解:∵, ∴ ∵ ∴ ∴ = +2 = = + ﹣

= ,

= ,

= ﹣ ,

= , = ( ﹣ ) , = + ( ﹣ )= + ,

故选:D.

点评: 此题考查了平面向量的知识,解此题的关键是注意平行四边形法则与数形结合思想的 应用.

4. (5 分)已知 x,y 为锐角,且满足 cos x= ,cos(x+y)= ,则 sin y 的值是( A. B. C. D.



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 依题意求出 sinx 的值,通过 cos(x+y)= ,求出 sin(x+y)的值,然后利用 y=x+y ﹣x 的关系求解 siny 的值. 解答: 解:已知 x,y 为锐角,且满足 cos x= ,sinx= ;cos(x+y)= ,sin(x+y)= siny=sim(x+y﹣x)=sin(x+y)cosx﹣cos(x+y)sinx= 故选 C 点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,考查计算能力,其中角的变换技巧 y=x+y﹣x 是解 题关键,注意三角函数象限符号,本题是基础题.

5. (5 分) (2015 春?杭州校级期中)已知函数 错误的是( ) A. 函数 f(x)的最小正周期为 2π B. 函数 f(x)在区间 上单调递增

,下面结论

C. 函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 D. 点(π,0)是函数 f(x)的一个对称中心 考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用诱导公式化简函数的解析式为 f(x)=﹣cosx,再利用余弦函数的图象、性 质,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论. 解答: 解:对于函数 f(x)=sin(x﹣ 显然,f(x)在区间 )=﹣cosx,由于它的周期为 2π,故 A 正确;

上单调递增,故 B 正确;

再根据 f(x)为偶函数,它的图象关于 y 轴对称,可得 C 正确; 由于当 x=π 时,求得 f(x)=1,故点(π,0)不会是函数 f(x)的一个对称中心,故 D 错误, 故选:D. 点评: 本题主要考查正弦函数的图象的对称性,属于基础题. 6. (5 分) (2014 春?庆安县校级期末)在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别是 30°、60°,则塔高为( ) A. m B. m C. m D. m

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由 tan30°= = 得到 BE 与塔高 x 间的关系,由 tan60°= 求出 BE 值,从而

得到塔高 x 的值. 解答: 解:如图所示:设山高为 AB,塔高为 CD 为 x,且 ABEC 为矩形,由题意得 tan30°= tan60°= ∴ = = = = ,∴BE= , (m) , (200﹣x) .

,∴BE=

(200﹣x) ,x=

故选 A.

点评: 本题考查直角三角形中的边角关系,体现了数形结合的数学思想,求出 BE 值是解题 的关键,属于中档题.

7. (5 分) (2015 春?杭州校级期中)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+ 则 f( A. )=( B. ) C. D.

f(

﹣x)=sinx,

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: 将 x 换成 ﹣x,由函数方程法,可得 f(x)的解析式,再由两角差的正弦公式,代

入由特殊角的函数值,即可得到. 解答: 解:由 f(x)+ 可得 f( ﹣x)+ f( ﹣x)=sinx,① ﹣x)=cosx,② =sin cosx﹣cos sinx

f(x)=sin(

由①②可得 f(x)= =sin( 则 f( ﹣x) , )=sin( ﹣ )=sin =



故选 B. 点评: 本题考查函数的解析式的求法:函数方程法,同时考查三角函数的求值,注意运用两 角和差的正弦公式,属于中档题.

8. (5 分) (2015 春?杭州校级期中)已知 O 为△ ABC 的外心,满足 △ ABC 的最大内角的余弦值为( A. B. C. ) D.

,则

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设三角形 ABC 的外接圆半径为 R,将已知的等式变形后,左右两边平方,分别求出 cos∠AOB=0,cos∠BOC=﹣ ,cos∠AOC=﹣ ,再根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍, 以及二倍角公式计算即可. 解答: 解:设外接圆的半径为 R, ∵ ∴3 ∴(3 +4 +4 =﹣5
2

, , ),
2

) =(﹣5

∴9(
2 2

) +16(
2 2

2

) +12 =25R ,
2

2

=25(

),

2

∴9R +16R +12
2

∴9R +16R +12R cos∠AOB=25R , ∴cos∠AOB=0, 同理,求得 cos∠BOC=﹣ ,cos∠AOC=﹣ , ∴△ABC 的最大内角∠BAC, 根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得, ∴∠BAC= ∠BOC, ∴2cos (∠BAC)﹣1=cos∠BOC, ∴2cos (∠BAC)=1﹣ = ∴cos (∠BAC)= ∴cos∠BAC= 故答案为:B. 点评: 本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识,考查运算求解 能力与转化思想.属于中档题. 二、填空题: (本大题共 7 小题,第 9、10 小题每空 2 分,第 11、12 小题每空 3 分,第 13、 14、15 小题每空 4 分,共 36 分.) 9. (6 分) (2015 春?杭州校级期中)函数 为 4π ,振幅为 2 ,初相为 . 的周期
2 2 2

2



考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的解析式的意义进行求解即可. 解答: 解:三角函数的周期 T= =4π,

振幅 A=2,初相为 故答案为:4π,2,



点评: 本题主要考查三角函数 A,ω 和 φ 的意义和求解,比较基础.

10. (6 分) (2015 春?杭州校级期中) 已知 α 为第二象限角, tanα= ,cos2α= .

, 则 cosα=



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数关系及二倍角公式,即可得出结论. 解答: 解:∵α 为第二象限角, ∴cosα=﹣ tanα=
2

, ;

=﹣ = ;

cos2α=2cos α﹣1= . 故答案为: ; ; .

点评: 本题考查同角三角函数关系及二倍角公式,考查学生的计算能力,比较基础. 11. (6 分) (2015 春?杭州校级期中)已知△ ABC 的内角 A,B, C 所对的边为 a,b,c, A=60°, b=1,c=4,则 a= , = .

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知及余弦定理可求 a 的值,由正弦定理可得 解答: 解:由余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA=1+16﹣2× 由正弦定理可得: = = = .
2 2 2

=

,从而得解. ,

=13,可得 a=

故答案为:





点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,属于基本知识的考查.

12. (6 分) (2015 春?杭州校级期中)函数 象先沿 x 轴向右平移

的图象可由 y=cosx 的图 ,变换得到.

个单位,再纵坐标不变,横坐标缩小为原来的

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,诱导公式可得结论. 解答: 解:把 y=cosx 的图象先沿 x 轴向右平移 个单位,可得 y=cos(x﹣ )=sin(2x+ )的图象; )的图象,

再纵坐标不变,横坐标缩小为原来的 倍,可得 y=cos(2x﹣ 故答案为: , .

点评: 本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,统一这两个 三角函数的名称,是解题的关键,属于基础题.

13. (4 分) (2015 春?杭州校级期中) △ ABC 满足 AB=AC, BC=2, G 为△ ABC 的重心, 则 2 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示, 解答: 解:如图所示, ∵ ∴ = = = =2. 故答案为:2. = + , ? , =0, , , =0,代入展开即可得出.

=

点评: 本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系、等腰三角形的性质, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

14. (4 分) (2015 春?杭州校级期中) 已知非零向量

的夹角为 60°,





的最大值为



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据条件求 ,从而需求 的最大值:k=0 时,显



;k≠0 时,

可以看成关于

的二次函数,这样即

可求其最小值为 ,从而

取到最大值 ,从而求出

的最大值.

解答: 解:

=





=



(1)若 k=0,则







(2)若 k≠0,

的最小值为

,则:

取到最大值为 ;



取到最大值



综上得

的最大值为



故答案为:



点评: 考查数量积的计算公式,知道要求 情况,二次函数的最值的计算公式.

的最大值,先去求

,注意不要漏了 k=0 的

15. (4 分) (2015 春?杭州校级期中)已知 sin(x﹣40°) =cos (x+10°) ﹣cos (x﹣10°) ,则 tanx= .

考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由和差角的公式变形已知式子可得 tanx= ,再由和差角的公式化

简即可. 解答: 解:∵sin(x﹣40°)=cos(x+10°)﹣cos(x﹣10°) , ∴sinxcos40°﹣cosxsin40°=cosxcos10°﹣sinxsin10°﹣cosxcos10°﹣sinxsin10°, ∴sinxcos40°﹣cosxsin40°=﹣2sinxsin10°, ∴(cos40°+2sin10°)sinx=cosxsin40°, ∴tanx= = = = =

=

=

=

故答案为: 点评: 本题考查和差角的三角函数公式,熟练应用公式是解决问题的关键,属中档题. 三、解答题: (本大题共 4 小题,共 44 分.解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) 16. (10 分) (2015 春?杭州校级期中)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,满足 , (1)求角 C 的大小; (2)求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据二倍角余弦公式的变形化简已知的式子,求出 cosC 的值,根据内角的范围 求出角 C; (2)由题意和余弦定理列出方程,利用整体代换求出 ab 的值,代入三角形的面积公式求出 △ ABC 的面积. 解答: 解: (1)由 解得, …4′ 得, …3′ .

又 0<C<π,则

…5′

(2)∵ , 2 2 2 ∴由余弦定理得 7=a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣3ab…7′ 又∵a+b=5,∴ab=6…9′ ∴△ABC 的面积 …10′

点评: 本题考查余弦定理,三角形的面积公式,以及二倍角余弦公式的变形,属于中档题. 17. (10 分) (2015 春?杭州校级期中)已知函数 f(x)=Asin(ωx+?) (A>0,ω>0,0≤?< 2π)的部分图象如图所示, (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 ,求 g(x)的单调递增区间.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由图知 A 的值,由 ,利用周期公式可求 ω,又 ,结

合范围 0≤?<2π,可求 ?,即可求得解析式; (2) 由题意可求解析式 g (x) = 即可解得 g(x)的单调递增区间. 解答: (本小题满分 10 分) 解: (1)由图知:A=1,…1 分 ,得 T=π,所以 ω=2…3 分 又 又因为 0≤?<2π,故 所以 ,得 . …5 分 , , 由

(2) = …7′ 由 所以,g(x)的单调递增区间为 解得: …9 分 .…10 分

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和性 质,属于基本知识的考查.

18. (12 分) (2015 春?杭州校级期中)如图, 且 ∥ .

=(6,1) ,

=(x,y) ,

=(﹣2,﹣3) ,

(1)求 x 与 y 间的关系; (2)若 ,求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)根据向量的加法法则得到 要条件,即可得出 x 与 y 间的关系; (2)先表示出 即可得出 和 = + =(6+x,1+y) , =(x﹣2,y﹣3) .再根据向量垂直的充要条件, = + + =(4+x,y﹣2) ,再根据向量共线的充

的坐标,从而求得四边形 ABCD 的面积. = + + =(4+x,y﹣2) ,

解答: 解: (1)∵ ∴由 故 x+2y=0. (2)由 ∵ = +

,得 x(y﹣2)=y(4+x) ,

=(6+x,1+y) ,

=(x﹣2,y﹣3) .

,∴(6+x) (x﹣2)+(1+y) (y﹣3)=0,又 x+2y=0,





∴当 当 故

=(﹣6,3)时, =(2,﹣1)时, 与 同向,

=(﹣2,1) , =(6,﹣3) .

四边形 ABCD 的面积= 点评: 本题主要考查了平面向量共线(平行)的坐标表示,数量积判断两个平面向量的垂直 关系.考查数形结合思想,属于中档题. 19. (12 分) (2015 春?杭州校级期中)已知 a≥1,函数 f(x)=(sinx﹣a) (a﹣cosx)+ (1)当 a=1 时,求 f(x)的值域; (2)若函数 f(x)在[0,π]内有且只有一个零点,求 a 的取值范围. 考点: 函数零点的判定定理;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=1 时,化简函数 f(x)的解析式为 f(x) = 性质求得它的值域. (2)化简函数的解析式 f(x) = 内有且只有一个零点,在 得 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 a=1 时, = 令 t=sinx+cosx,则 ,f(x) ,在 上无零点,利用二次函数的性质求 ,t∈[﹣ , ],再利用二次函数的 a.



= 当 t=1 时, 所以,f(x)的值域为 ,当 . 时,

. .

(2) = ,

令 u=sinx+cosx,则当 x∈[0,π]时,



f(x)= f(x)在[0, π]内有且只有一个零点等价于 h(u)在 在 上无零点. 因为 a≥1,所以 h(u)在[﹣1,1)内为增函数, ①若 h(u)在[﹣1,1)内有且只有一个零点, 内无零点.

, 内有且只有一个零点,

故只需

,即

,求得



②若

为 h(u)的零点, 符合题意. 或 .

内无零点,则

,得



经检验, 综上:

点评: 本题主要考查三角恒等变换,函数零点的判断,二次函数的性质应用,体现了转化、 分类讨论的数学思想,属于中档题.


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