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1.2.3 幂函数 讲读设计

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2.3 幂函数 讲读设计
教学目标:了解幂函数的图像和性质,并能进行简单的应用。 教学重点:幂函数的图像和性质 教学难点:幂函数的图像 教学过程: 一、预习反馈 1.分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)

S ? a 2 , S 是 a 的函数; (2) a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3) V ? a3 , V 是 a 的函数; (4) v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5) p ? w 元,这里 p 是 w 的函数. 二、学习目标:了解幂函数的图像和性质,并能进行简单的应用。 三、自学与探究 (一)自学提示整合教材知识,落实基本能力 探究一:幂函数的概念 1.分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 , S 是 a 的函数; (2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a3 , V 是 a 的函数; (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数. 2.幂函数的概念: 练习 1:下列函数是幂函数的有: 。 1 ① y? ; ② y ? 2 x2 ; ③ y ? x3 ? x ; x 探究二:幂函数的图象与性质 1.作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x?1 ; (5 ) y ? x 3 .
1
1
1

④ y ?1.

从图象分析出幂函数所具有的性质.
-1-

观察图象,总结填写下表:
y?x

y ? x2

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性

单 调 性 定点 小结:幂函数的的性质及图象变化规律: (1)所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0, ??) 上是增函数. 特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0, ??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图 象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ?? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. (二)合作探讨

例 1 已知 f ( x) ? m2 ? m ?1 x 2m?3 是幂函数,求实数 m 的值。

?

?

解 : 因为f(x ) 是幂函数 ? m 2 ? m ? 1 ? 1 解之得 : m ? ?2或m ? 1 ? m ? ?2或m ? 1
例 2 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为.

?所求的幂函数为y ? x 2 .
变式训练 1 (1)已知( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,求 f(2)的值; (2)已知函数 f(x)=(a2-3a+3) xa 解
2

1

- 5a+ 5

(a 为常数)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,求实数 a 的值.

(1)设 f(x)=xα,∵( 2,2)在 f(x)的图象上,∴f( 2)=( 2)α=2,∴α=2.

故 f(x)=x2,f(2)=22=4. (2)∵f(x)为幂函数,∴a2-3a+3=1,得 a=1 或 a=2.
-2-

当 a=1 时,f(x)=x,在(0,+∞)上单调递增,不合题意. 当 a=2 时,f(x)=x 1,在(0,+∞)上单调递减,符合题意.


综上,得 a 的值为 2. 例 3 比较大小: (1) (a ? 1) 与 a
1.5 1.5

(a ? 0) ; (2) 1.1 2 与 0.9

?

1

?

1 2

.

小结:利用单调性比大小.
3 3

练习比大小: (1) 2.3 4 与 2.4 4 ; (三)探究提升精研高考题点,提升备考智能 题型一 幂函数的概念

(2) ( 2)

?

3 2

与 ( 3)

?

3 2

例 1 (1)已知( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,求 f(2)的值; (2)已知函数 f(x)=(a2-3a+3) x 解
a2 - 5 a + 5

(a 为常数)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,求实数 a 的值.

(1)设 f(x)=xα,∵( 2,2)在 f(x)的图象上,∴f( 2)=( 2)α=2,∴α=2.

故 f(x)=x2,f(2)=22=4. (2)∵f(x)为幂函数,∴a2-3a+3=1,得 a=1 或 a=2. 当 a=1 时,f(x)=x,在(0,+∞)上单调递增,不合题意. 当 a=2 时,f(x)=x 1,在(0,+∞)上单调递减,符合题意.


综上,得 a 的值为 2. 反思与感悟 1.幂函数的特点:系数为 1,底数为自变量,指数为常数. 2.当 α>0 时,幂函数在第一象限内单调递增;当 α<0 时,幂函数在第一象限内单调递减. 变式训练 1 函数 f(x)=(m2-m-1) x 解析式. 解 根据幂函数定义得,
m2 + m - 3

是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求 f(x)的

m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1, 当 m=2 时,f(x)=x3 在(0,+∞)上是增函数, 当 m=-1 时,f(x)=x
-3

在(0,+∞)上是减函数,不合题意.

∴f(x)的解析式为 f(x)=x3.

题型二 幂函数的图象 1 例 2 如图所示,图中的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于 2 c1,c2,c3,c4 的 n 依次为( )

-3-

1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 答案 B

1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2

解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当 n>0 时,对于 y=xn,n 越大,y=xn 递增速度越快, n<0 时看|n|的大小.根据幂函数 y=xn 的性质,在第一象限内的图象当 n>0 时,n 越大,y=xn 递增速度越 1 1 快,故 c1 的 n=2,c2 的 n= ,当 n<0 时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线 c3 的 n=- ,曲线 c4 的 n= 2 2 -2,故选 B. 反思与感悟 幂函数图象的特征: (1)在第一象限内,直线 x=1 的右侧,各幂函数图象对应的指数逆时针增大;在第一象限内,直线 x =1 的左侧,指数也呈逆时针增大. (2)幂函数 y=xα,若 α>0,在第一象限内函数单调递增;若 α<0,在第一象限内函数单调递减. (3)图象的凹凸性:在第一象限内,当 0<α<1,曲线上凸;当 α>1,曲线下凹;当 α<0,曲线下凹. 变式训练 2 如图是幂函数 y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象,则( )

A.-1<n<0<m<1 C.-1<n<0,m>1 答案 B

B.n<-1,0<m<1 D.n<-1,m>1

解析 方法一 在(0,1)内取同一值 x0, 作直线 x=x0, 与各图象有交点, 如图所示.根据“点低指数大”, 有 0<m<1,n<-1.

方法二 根据幂函数图象增减性知 m>0,n<0,由 x=1 右侧指数逆时针增大,知 n<-1,由图象上凸 知 0<m<1,故选 B.

题型三 比较幂的大小 例 3 比较下列各组数的大小.
-4-

(1)3

?

5 2

和 3.1

?

5 2

;(2)8
? 5 2

?

8 9

1 3- 1- - 和( ) 9 ;(3)( ) 2 和 3 4;(4)(- ) 3 和 2 5 . 9 4 3
? 5 2

8

1



(1)函数 y=x
8

在(0,+∞)上为减函数,又 3<3.1,所以 3
8 8

>3.1

?

5 2 8

.
8

? 1 1 1 1 1 (2)函数 y=x 9 在(0,+∞)上为增函数,又 > ,所以( ) 9 >( ) 9 ,即 8 9 >( ) 9 . 8 9 8 9 9

(3)3 4=(32) 2=9 2,函数 y=x
- - -

-2

3 3- - 3- - 在(0,+∞)上为减函数,又 <9,所以( ) 2>9 2,即( ) 2>3 4. 4 4 4
1

1- 1- (4)因为(- ) 3<0,2 5 >0,所以(- ) 3<2 5 . 3 3 反思与感悟 1.比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数:(1)若指数相同而底数不同,则构造幂函 数;(2)若指数不同而底数相同,则构造指数函数. 2.若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数或底数化为相同,是否可以引入中间量. 变式训练 3 比较下列各组数的大小: 2?0.5 ?3?0.5 3 3 ?1? 4 ?3? 2 (1)? ?3? 与?5? ;(2)-3.14 与-π ;(3)?2? 与?4? . 解 2?0.5 ?3?0.5 2 3 (1)∵y=x0.5 在[0,+∞)上是增函数且 > ,∴? ?3? >?5? . 3 5
3 1

1

(2)∵y=x3 是 R 上的增函数,且 3.14<π,∴3.143<π3,∴-3.143>-π3. 1?x ?1? 4 ?1? 2 2 (3)∵y=? ?2? 是减函数,∴?2? <?2? .y=x 是[0,+∞)上的增函数, 3? 2 ?1? 2 ?3? 2 ?1? 4 ∴? ?4? >?2? .∴?4? >?2? .
1 1 1 3 3 1 1

题型四 幂函数的奇偶性 例 4 判断下列函数的奇偶性: (1)y=x ;(2)y=x ;(3)y=x 解
1 3 1 3 1 3
-2

?

3 2

.
1 3 1 3

(1)f(-x)=(-x) =-x =-f(x),又∵y=x 定义域为 R,∴y=x 为奇函数.

1 - (2)f(x)=x 2= 2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), x 1 1 又 f(-x)= = 2=f(x),∴f(x)为偶函数. ?-x?2 x (3)f(x)=x
? 3 2



1 x
3 2



1 .∴f(x)的定义域为(0,+∞),不关于原点对称. x3

∴f(x)为非奇非偶函数. p 反思与感悟 幂函数的奇偶性.y=xn,当 n= (p,q∈Z)是最简分数时,若 p,q 均为奇数,则 y=xn q 是奇函数;若 p 为偶数,q 为奇数,则 y=xn 是偶函数;若 q 为偶数,则 y=xn 为非奇非偶函数.
-5-

5

变式训练 4 函数 y=x 9 在[-1,1]上是( A.增函数且是奇函数 C.减函数且是奇函数 答案 A

)

B.增函数且是偶函数 D.减函数且是偶函数

解析 由幂函数的性质知当 α>0 时,y=xα 在第一象限内是增函数,
5

∴y=x 9 在 x∈[0,1]上是增函数. 设 f(x)=x ,x∈[-1,1],则 f(-x)=(-x) =-x =-f(x),∴f(x)=x 是奇函数.
5 5 9 5 9 5 9 5 9

∵奇函数的图象关于原点对称,∴x∈[-1,0]时,y=x 9 也是增函数.
5

当 x=0 时,y=0,故 y=x 9 在[-1,1]上是增函数且是奇函数.故选 A.

忽略幂函数定义致误
1

例 5 函数 y=(a +1) x

2

1? a 2

是幂函数,求 a 的取值范围.

错解 根据幂函数的定义 y=xα,α 为常数, 1 知指数 有意义,有 1-a2≠0,即 a≠± 1, 1-a2 所以 a 的取值范围是{a|a≠± 1}. 正解 根据幂函数的定义 y=xα,α 为常数, 知 a2+1=1,即 a=0, 1 此时指数 有意义, 1-a2 所以 a 的取值范围为{0}. 易错警示 错误原因 错解中只注意了指数要有 意义,忽略了前面的系数应为 1. 纠错心得 若给出的函数为幂函数,则此时该函数是形如 y=xα 的函数,且具有如下特征:①系数为 1;②底数为自变量; ③指数为常数.这是我们解题的有效切入点,应准确把握.

变式训练 5 幂函数 y=(m2-m-1) x 的定义域. 解 因为 y=(m2-m-1) x
m2 ?2 m?3

m2 ?2 m?3

,当 x∈(0,+∞)时为减函数,求实数 m 的值,并求函数

为幂函数,

所以 m2-m-1=1,即(m-2)(m+1)=0, 所以 m=2 或 m=-1.
-6-

当 m=2 时,m2-2m-3=-3,y=x
2

-3

是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数.

当 m=-1 时,m -2m-3=0,y=x =1(x≠0)不是减函数, 所以 m=2,此时 y=x 3.


0

所以函数的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}. 四、当堂检测 1.下列给出的函数中,是幂函数的是( A.y=3x 答案 C 2.若函数 y=(k2-k-5)x2 是幂函数,则实数 k 的值为( A.3 答案 C 解析 由幂函数的概念可知 k2-k-5=1,即 k2-k-6=0,得 k=-2,或 k=3.
? 3. 若幂函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 上是增函数,则(

) C.y=x
-3

B.y=2x3

D.y=x3-1

) D.k≠3 且 k≠-2

B.2

C.3 或-2

). D.不能确定

A. ? >0
2 3

B. ? <0 )

C. ? =0

4.幂函数 f(x)=x 的大致图象为(

答案 B 3 3 解析 由于 f(0)=0,所以排除 C,D 选项,而 f(-x)=(-x) 3 = ?-x?2= x2=x 3 =f(x),且 f(x)的定 义域为 R,所以 f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称.故选 B. 5. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为.
2 2

1 1 6.若 a=( ) 5 ,b=( ) 5 ,c=(-2)3,则 a,b,c 的大小关系为________. 2 5 答案 a>b>c 1 1 解析 ∵y=x 在(0,+∞)上为增函数.∴( ) 5 >( ) 5 ,即 a>b>0. 2 5 而 c=(-2)3=-23<0,∴a>b>c.
3 5 3 3

3

3

五、归纳小结 1.幂函数 y=xα 的底数是自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律
-7-

在第一象限内直线 x=1 的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线 x=1 的左侧,图象从 下到上,相应的指数由大变小. 3.简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且当自变量为 1 时,函数值为 1,即 f(1)=1. (2)如果 α>0,幂函数在[0,+∞)上有意义,且是增函数. (3)如果 α<0,幂函数在 x=0 处无意义,在(0,+∞)上是减函数. 六、课后作业 一、选择题 1.下列函数是幂函数的是( A.y=5x 答案 B 解析 函数 y=5x 是指数函数,不是幂函数;函数 y=5x 是正比例函数,不是幂函数;函数 y=(x+1)3 的底数不是自变量 x,不是幂函数;函数 y=x5 是幂函数. 2.已知幂函数 f(x)的图象经过点?2, ) B.y=x5C.y=5x D.y=(x+1)3

?

2? ,则 f(4)的值为( 2? 1 C. 2 D.2

)

A.16 答案 C

B.

1 16

解析 设 f(x)=xa,则有 2a=

? ? 2 1 1 ,解得 a=- ,即 f(x)=x 2 ,所以 f(4)=4 2 = . 2 2 2

1

1

1 ? ? 3.设 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为(
? ?

)

A.1,3 答案 A

B.-1,1C.-1,3

D.-1,1,3

解析 可知当 α=-1,1,3 时,y=xα 为奇函数,又∵y=xα 的定义域为 R,则 α=1,3. 2? 5 ?2? 5 ?3? 5 4.设 a=? ?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c C.a<b<c 答案 C 2?x 3 2 解析 ∵函数 y=? ?5? 在 R 上是减函数,又5>5, 2? 5 ?2? 5 ∴? ?5? <?5? ,即 a<b. 3 2 又∵函数 y=x 5 在 R 上是增函数,且 > , 5 5 3? 5 ?2? 5 ∴? ?5? >?5? ,即 c>b,∴a<b<c.
-82 2 2 3 2 3 2 2

)

B.c>a>b D.b>c>a

5.函数 y=x 的图象是(

1 3

)

答案 B
1 1

解析 函数 y=x 3 是幂函数, 幂函数在第一象限内的图象恒过定点(1,1), 排除 A、 D.当 x>1 时, x>x 3 , 故幂函数 y=x 图象在直线 y=x 的下方,排除 C. 二、填空题 1 7.已知幂函数 f(x)=xm 的图象经过点( 3, ),则 f(6)=________. 3 答案 1 36
m

1 3

1 解析 依题意 =( 3)m=3 2 , 3 m 所以 =-1,m=-2, 2 1 - - 所以 f(x)=x 2,所以 f(6)=6 2= . 36 9.已知幂函数 f(x)=x ,若 f(10-2a)<f(a+1),则 a 的取值范围是________. 答案 (3,5] 解析 因为 f(x)=x = x(x≥0),易知 f(x)在(0,+∞)上为增函数,又 f(10-2a)<f(a+1), a+1≥0, ? ? 所以?10-2a≥0, ? ?a+1>10-2a, a≥-1, ? ? 解得?a≤5, 所以 3<a≤5. ? ?a>3.
-3

1 2

1 2

10.幂函数 f(x)=(m2-m-1)x2m 答案 -1 解析 ∵f(x)=(m2-m-1)x2m

在(0,+∞)上是减函数,则实数 m=________.

-3

为幂函数,∴m2-m-1=1,∴m=2 或 m=-1.


当 m=2 时,f(x)=x,在(0,+∞)上为增函数,不合题意,舍去;当 m=-1 时,f(x)=x 5,符合题意. 综上可知,m=-1. 三、解答题
-9-

11.已知幂函数 f(x)的图象过点(25,5). (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(2-lg x),求 g(x)的定义域、值域. 解 (1)设 f(x)=xα,则由题意可知 25α=5,
1

1 ∴α= ,∴f(x)=x 2 . 2 (2)∵g(x)=f(2-lg x)= 2-lg x, ∴要使 g(x)有意义,只需 2-lg x≥0, 即 lg x≤2,解得 0<x≤100. ∴g(x)的定义域为(0,100], 又 2-lg x≥0,∴g(x)的值域为[0,+∞).

- 10 -


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