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浙江省绍兴市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题


绍兴一中 2015 学年第一学期期末考试 高二数学
一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1.与直线 x+y+3=0 平行,且它们之间的距离为 3 2 的直线方程为( ▲ ) A.x-y+8=0 或 x-y-1=0 B.x+y+8=0 或 x+y-1=0 C.x+y-3=0 或 x+y+3=0 D.x+y-3=0 或 x+y+9=0 2.长方体的一个顶点上三条棱长

为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表 面积是( ▲ ) A. 20 2? B. 25 2? C.50π D.200π ▲ )

3.设 l,m 是两条不同直线,α ,β 是两个不同平面,则下列命题中正确的是( A.若 l∥α ,α ∩β =m,则 l∥m B.若 l⊥α ,l∥β ,则 α ⊥β C.若 l∥α ,m∥α ,则 l∥m D.若 l∥α ,m⊥l,则 m⊥α

2 4.若直线 y=x+m 与曲线 1 ? y =x 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围为( ▲ )

A. (? 2, 2)

B. (? 2, ?1]

C. (? 2,1]

D. [1, 2)

5.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( ▲ ) A.4 B.

20 3

C.

26 3

D.8

6.如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=4,E 为 DC 边的中点,沿 AE 将△ADE 折起,在折起过程 中,有几个正确 ( ▲ ) ①.ED⊥平面 ACD ②.CD⊥平面 BED ③.BD⊥平面 ACD ④.AD⊥平面 BED A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

7.点 P(-3,1)在椭圆

? x2 y 2 a2 ? ? 1 x ? ? a ( a > b > 0) 的左准线 ( ) 上.过点 P 且方向为 = a 2 b2 c

(2,-5)的光线,经直线 y =﹣2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(▲) A.

3 3

B.

1 3

C.

2 2

D.

1 [来源:学*科网] 2

1

8.已知点 A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的 两部分,则 b 的取值范围是( ▲ ) A. (0, 2 ? 2) B. (2 ? 2,1) C. (2 ? 2, ]

2 3

D. [ ,1)

2 3

二、填空题(每小题 3 分,其中第 9,15 题各 4 分,共 23 分) 9.直观图(如图)中,四边形 O′A′B′C′为菱形且边长为 2cm, 2 则在 xOy 坐标中四边形 ABCD 为 ▲ ,面积为 ▲ cm .

10.李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为 10cm 的钢管,为了便 于携带,他将三根钢管用铁丝紧紧捆住,截面如图所示,则铁丝捆扎 一圈的长度为 ▲ cm.

11.椭圆 E: ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(2,1),则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为 16 4

12.四面体的棱长中,有两条为 2 、 3 ,其余的全为 1,它的体积是

▲ .

13.连接球面上两点的线段称为球的弦, 半径为 4 的球的两条弦 AB、 CD 的长度分别为 2 7 和

4 3 ,M、N 分别是 AB、CD 的中点,两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①弦 AB、CD 可能相交于点 M; ②弦 AB、CD 可能相交于点 N; ③MN 的最大值是 5; ④MN 的最小值是 1; 其中所有正确命题的序号为 ▲ . 14.设圆 C:x +y =3,直线 l:x+3y﹣6=0,点 P(x0,y0)∈l,存在点 Q∈C,使∠OPQ=60° (O 为坐标原点) ,则 x0 的取值范围是 ▲ . 15.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 是正方体棱上的一点(不包括棱的端点) , 满足|PB|+|PD1|= 2 5 的点 P 的个数为 ▲ ; ▲ .
2 2

若满足|PB|+|PD1|=m 的点 P 的个数为 6,则 m 的取值范围是

三、解答题(本大题共 5 题,共 53 分) 16.(本题满分 8 分)如图,一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 6cm, 其中有一个高为 xcm 的内接圆柱. (1)试用 x 表示圆柱的侧面积; (2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

2

17.(本题满分 9 分)已知圆 C : x 2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 (1)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A、B; (2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.

18.(本题满分 10 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)证明:CD⊥AE; (2)证明:PD⊥平面 ABE; (3)求二面角 A﹣PD﹣C 的正切值.

19.(本题满分 12 分)已知圆 M : x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的一动点,
2 2

过点 P 作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)当切线 PA 的长度为 2 3 时,求点 P 的坐标; (2)若 ?PAM 的外接圆为圆 N,试问:当 P 在直线 l 上运动时,圆 N 是否过定点?若存在, 求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由. (3)求线段 AB 长度的最小值.

20.(本题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 R( x0 , y0 ) 是椭圆

x2 y 2 ? ?1 24 12

上的一点,从原点 O 向圆 R : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? 8 作两条切线,分别交椭圆于点 P,Q. (1)若直线 OP,OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP,OQ 的斜率存在,并记为 k1 , k2 ,求证 2k1k2 ? 1 ? 0 ; (3)试问 OP ? OQ 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
2 2

y Q R P O

x

3

绍兴一中 2015 学年第一学期期末考试 高二数学答案 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1 D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 A 7 A 8 B

二、填空题(每小题 3 分,其中第 9,15 题各 4 分,共 23 分) 9.矩形 8 10. 30+10π 11. x+2y﹣4=0 12.

6 2 13. ①③④ 14. [ 0, ] 5 12

15.12 (2 3, 2 5) 16.(1)S 圆柱侧= 2?rx ? 2? (2 ? ) x ? 4?x ?

x 3

2? 2 x , x ? (0,6) 3 …………………4 分

(2)由(1)知当 x ? ?

4? ? 3 时,这个二次函数有最大值为 6π , 2? 2(? ) 3
2

∴当圆柱的高为 3cm 时,它的侧面积最大为 6π cm …………………………8 分
2 2 17. (1)解法一:圆 C : x ? ( y ?1) ? 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。

∴圆心 C 到直线 l : m x ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 d ?

| ?m | m2 ? 1

?

|m| 1 ∴直线 l 与圆 ? ? 5, | 2m | 2

C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点;

方法二: ∵直线 l : m x ? y ? 1 ? m ? 0 过定点 P (1,1) , 而点 P (1,1) 在圆内∴直线 l 与圆 C 相交, 即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点;………………………………………………4 分 (2)当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ? MP ,又因为

| CM |2 ? | MP |2 ?| CP |2 ,
设 M ( x, y )(x ? 1) ,则 x ? ( y ?1) ? ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 ,
2 2 2 2

化简得: x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0( x ? 1) ………………………………………………7 分
2 2

4

当 M 与 P 重合时, x ? 1, y ? 1 也满足上式。 故弦 AB 中点的轨迹方程是 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 。……………………………………9 分 18.(1)证明:∵PA⊥底面 ABCD,CD? 平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又 AC⊥CD,AC∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAC,又 AE? 平面 PAC, ∴CD⊥AE;…………………………………………………………………………3 分 (2)证明:∵PA⊥底面 ABCD,AB? 平面 ABCD∴PA⊥AB, 又 AD⊥AB,AD∩PA=A ∴AB⊥平面 PAD,又 PD? 平面 PAD∴AB⊥PD, 由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,则△ABC 是正三角形. ∴AC=AB∴PA=PC ∵E 是 PC 中点∴AE⊥PC 由(1)知 AE⊥CD,又 CD∩PC=C∴AE⊥平面 PCD ∴AE⊥PD,又 AB⊥PD,AB∩AE=A ∴PD⊥平面 ABE;…………………………………………………………………6 分 (3)解:过 E 点作 EM⊥PD 于 M 点,连结 AM, 由(2)知 AE⊥平面 PCD,则 AE⊥PD, 则 PD⊥平面 AEM,∴AM⊥PD, 则∠AME 是二面角 A﹣PD﹣C 的平面角. 设 AC=a,AD= = ,PA=A,PD= = a,

AM=

=

=



在 Rt△AEM 中,AE=

a,EM=

=

=

a,

则 tan∠AME=

=

=

.………………………………………………10 分

5

或直接建立空间直角坐标系求解,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴,设 AC=a,则 A(0,0,0) ,P(0,0,a),D(0, 19.(1)由题意知,圆 M 的半径 r ? 2 ,设 P(2b, b) , ∵PA 是圆 M 的一条切线,∴ ?MAP ? 900 , ∴ | MP |?

a 3a 2 3 ,0)。 a ,0),C( , 2 2 3

(0 ? 2b) 2 ? (4 ? b) 2 ?

AM 2 ? AP 2 ? 4 ,解得 b ? 0, b ?

8 , 5

∴ P(0, 0) 或 P (

16 8 , ) .…………………………………………………………4 分 5 5
0

(2)设 P(2b, b) ,∵ ?MAP ? 90 ,∴经过 A,P,M 三点的圆 N 以 MP 为直径, 其方程为 ( x ? b) ? ( y ?
2

b ? 4 2 4b 2 ? (b ? 4)2 ) ? , 2 4

即 (2x ? y ? 4)b ? ( x2 ? y 2 ? 4 y) ? 0 ,

8 ? x? ? ?x ? 0 ? ? 2x ? y ? 4 ? 0 5 由? 2 ,解得 ? 或? , 2 y ? 4 x ? y ? 4 y ? 0 ? ? ?y ? 4 ? 5 ?
∴圆过定点 (0, 4) , ( , ) .……………………………………………………8 分 (3)因为圆 N 方程为 ( x ? b) ? ( y ?
2

8 4 5 5

b ? 4 2 4b 2 ? (b ? 4)2 ) ? , 2 4

即 x ? y ? 2bx ? (b ? 4) y ? 4b ? 0 ,
2 2

圆 M: x ? ( y ? 4) ? 4 ,即 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2

②-①得:圆 M 方程与圆 N 相交弦 AB 所在直线方程为: 2bx ? (b ? 4) y ? 12 ? 4b ? 0 , 点 M 到直线 AB 的距离 d ?

4 5b 2 ? 8b ? 16
2



相交弦长即: AB ? 2 4 ? d ? 4 1 ?

4 4 ? 4 1? , 4 2 64 5b ? 8b ? 16 5(b ? ) ? 5 5
2

当b ?

4 时,AB 有最小值 11 .……………………………………………………12 分 5
6

20.(1)由圆 R 的方程知圆 R 的半径 r= 2 2 ,|OR|= 2r =4,即 x0 ? y0 ? 16①,又点 R
2 2 ? x0 y0 ? x 0 ? ?2 2 在椭圆上,所以 ,所以圆 R 的方程为 ? ? 1 ②,联立①②,解得 ? 24 12 ? y ? ? 2 2 ? 0

2

2

( x0 ? 2 2 ) 2 ? ( y0 ? 2 2 ) 2 ? 8 ………………………………………………4 分
(2)因为直线 OP:y=k1x 和 OQ:y=k2x 都与圆 R 相切, 所以

| k1 x 0 ? y 0 | 1? k
2
2 1

?2 2,

| k 2 x0 ? y 0 |
2 1 ? k2

? 2 2 ………………………………5 分
2 2

2 化简得 ( x0 ? 8)k12 ? 2x0 y0 k1 ? y0 ? 8 ? 0 , ( x0 ? 8)k 2 ? 2x0 y0 k2 ? y0 ? 8 ? 0 ,所以

2

k1,k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,由韦达定理得,
2 x0 y y0 ?8 1 2 2 k1k2= 2 .因为点 R 在椭圆上,所以 ? 0 ? 1 , 即 y 0 ? 12 ? x 0 , 所 以 2 24 12 x0 ? 8
2 2

2

2

1 2 x0 1 2 ? ? ,即 2k1k2 ? 1 ? 0 .…………………………………………9 分 k1k2= 2 2 x0 ? 8 4?
(3)当直线 OP、OQ 落在坐标轴上时,有 OP2 ? OQ2 =36;……………………10 分 当直线 OP 、 OQ 落在坐标轴上时,设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,因为 2k1k2 ? 1 ? 0 ,所以

2 y1 y 2 1 2 2 2 2 ? 1 ? 0 ,故 y1 y 2 ? x1 x 2 ………………………………………………11 分 4 x1 x2
x y x y 因 为 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 在 椭 圆 上 , 所 以 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 , 即 24 12 24 12
y1 ? 12 ?
2

2

2

2

2

x1 ? x2

2

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x1 , y 2 ? 12 ? x 2 ,所 以 (12 ? x1 )(12 ? x 2 ) ? x1 x 2 ,整理得 2 2 2 2 4 1 2 1 2 2 2 ? 24 ,所以 y1 ? y 2 ? (12 ? x1 ) ? (12 ? x 2 ) ? 12 ,所以 OP2 ? OQ2 =36. 2 2
2 2

综上, OP ? OQ =36.………………………………………………………………14 分

7


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