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数学:1.2.2《组合》课件(新人教A版选修2-3)


1.2 排列与组合

1.2.2 组合

探究 从甲、乙、丙 名同学中选出 名去参加 3 2 一项活动 有多少种不同的选法 这一问题与上 , ? 一节开头提出的问题有什么联系与区别 1 ? 从3名同学中选出 名的可能选法可以列举 2 如下 : 甲、乙; 甲、丙; 乙、丙 .

上一节开头的问题 :" 从甲、乙

、丙 名同学中 1 3 选出 2 名去参加一活动其中1 名参加上午的活 , 动,1 名参加下午活动 , 由于 "甲上午,乙下午" 与 " "乙上午,甲下午" 是 两种不同的选法,因此解决 这个问题时 不仅要从 3 名同学中选出2名, 而且 , 还要将他们按照 上午在前 下午在后" 的顺序排 " , 列.这是上一节研究的排列 问题.

本节要研究的问题只是 3 名同学中选出2 从 名去参加活动而不需要排列他们的顺 .舍 , 序 去具体背景 我们可以把它概括为 , :

从3个不同的元素中取出 个合成一组 一共 2 , 有多少个不同的组? 这 是我们接着要研究 的问题. 一般地,从n个不同元素中取出m ?m ? n? 个 元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合 ?combinatio n?. 思考 你能说说排列与组合之 间的联系与 区别吗?

从排列与组合的定义可 以知道,两者都是从n个不同 元素中取出m?m ? n?个元素, 这是排列、组合的共同 点;它们的不同点是 排列与元素的顺序有关 组合与 , , 元素的顺序无关只有元素相同且顺序也 . 相同的两个 排列才是相同的; 只要两个组合的元素相 ,不论 元 同 素的顺序如何 都是相同的组合例如 ab 与 ba 是两个 , . 不同的排列但它们却是同一个组合 , . , ? 类比排列问题 我们引进如下概念 : ???C是英文com bination ?组合?的 从n个不同元素中取出m ?m ? n?个 第一个字母 组合 元素的所有不同组合的个数 ,叫做 , 数还可用符号 从n个不同元素中取出m个元素的
? n ?表示. ?m? ? ?

组合数 , 用符号C

m ?? ? n

表示.

例如, 从 8个不同元素中取出 个元素的组合数表示为 5 C5 , 从7个元素中取出 个元素的组合数表示为 7 . 6 C6 8 那么 Cm的值等于多少呢 我们先来看几个具体问 . , n ? 题 上面, 从3名同学中选出 名参加一项活动共有3种不同 2 ,
2 的选法,即 C3 ? 3. 那么 从集合?a,b, c, d? , 中取出 个元素组成三元子集共 3 , 有多少不同的子集 ? 由于集合中元素的无序性" ,因此问题的本质是: " 从a, b, c, d这 4个元素中取出 个不同元 3 a b 素的集合C3 是多少? 4 为了回答这个问题我们可以利用树形 , b b c c 图(图 .2 ? 7).由此可以写出所有的组 : 1 合 c d d d abc, abd, acd, bcd. 即 C3 ? 4. 4

图1.2 ? 7

探究 前面已经提到组合与排列有相互联系 , .我们能 m m 否利用这种关系通过排列数A n 来求出组合数 n 呢 ? , C
下面我们还是先分析一 下从 组合 a, b, c, d这 4个元素中取3个元 素的排列与组合的关系 " .从 abc 元素相同顺序不同的两 个组 合相同 ,以及" 元素相同顺序 abd " 不同的两个排列不同得到启 " 发, 我们以" 元素相同 为标准 acd " 将排列分类 并建立起排列与 , bcd 组合之间的如下对应关 : 系
排列
abc bac cab acb bca cba

abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb

组合

排列
abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb

abc abd acd bcd

上述等式有什么实际意 义呢 ? 显然, 左边就是" 从 4个不同元素中取出 个元素的排列数 右边的两 3 ". 个数相乘, 使我们联想到分步乘法 计数原理 ,

因此,以" 元素相同 为标准, 可 " 以把这24个排列分成每组有 6个不同排列的 组.把上述结 4 果用一种能够使人看出 其来 历的方式表述是非常有 好处 24 4 ? 3 ? 2 3 的 : C4 ? 4 ? ? ? 6 3 ? 2 ?1 A3 4 .于是, 我们有A 3 ? C3 ? A 3 . 4 4 3 3 A3

于是可以将它解释成为 : 3 求从4个不同元素中取出 个的排列数A 4 3 可以分两步完成第1步, 求从4个不同元素 . 中取出 个元素的组合数 3 (不考虑顺序 3 C4 );
第2步, 将每一个组合中的3 个不同元素作 全排列 各有A 3个排列数. , 3 " 等式" 的两边 是对同一个问题作出两 个等 价解释.这种解释不仅加深了我 们对问题的 理解 ,而且使我们找到了解 决问题 的方法 . " 从另一个角度解释问题 是很重要的思想 " 方法.

上述解释可以推广到一 般情形. 求从n个不同元素中取出 个元素的排列数 m , 可看作由以下 个步骤得到的: 2 第1步, 从这n个不同元素中取出 个元素,共 m

有C 种不同的取法 ; 第 2 步, 将取出的m个元素做全排列共有A m , m 种不同的排法 . 根据分步乘法计数原理有 Am ? Cm ? Am. , n n m

m n

A n?n ? 1??n ? 2? ? ? ? ?n ? m ? 1? 因此 C ? ? . A m! 这里n,m ? N?,并且m ? n.这个公式叫做 组合
m n m n m m

数公式. m 因为 A n ?

n! , 所以, 上面的组合数公式 ?n ? m?! n! m . 还可以写成 Cn ? m! ?n ? m?! 例1 用计算器计算 10 . C7

解 由计算器可得 10 nCr 7 ? 120.

例 2 一位教练的足球队共有 名初级学员他们中 17 , 以前没有一人参加过比 , 按照足球比赛规则比赛 赛 , 时一个足球队的上场队 员是11人,问 : ?1?这位教练从这17 名学员中可以形成多少 种学员 上场方案? ?2?如果在选出11 名上场队员时还要确定其中的守 , 门员 那么教练员有多少种方 , 式做这件事情?

分析 对于?1? 根据题意17名学员没有角色差异 , , 地位完全一样因此这是一个从 个不同元素中 , 17 选出 个元素的组合问题对于?2?,守门员的位置 11 ;

是特殊的, 其余上场学员的地位没 有差异 ,因此 这是一个分步完成的组 合问题.

?1?由于上场学员没有角色 ,所以可以形成 差异 的学员上场方案有C11 ? 12 376?种?. 17 ?2?教练员可以分两步完成 这件事情:

第1步, 从17 名学员中选出 名组成上场小组共有 11 , C 种选法; 第 2 步, 从选出的 人中选出 名守门员 共有C 种 11 1 , 选法.
1 11 11 17

所以教练员做这件事情 的方法数有 C ? C ? 136 136?种?
11 17 1 11

? 探究 对于本题的2?, 你还能想到别的解决方 法吗?

例3 ?1?平面内有 个点,以其中每2个点为 10 端点的线段共有多少条 ? ?2?平面内有10个点,以其中每2 个点为端点 的有向线段共有多少条 ? 解 ?1?以平面内 个点中每2 个点为端点的线 10 线的条数, 就是从10个不同的元素中取出 个元 2 素的组合数 即线段共有 , 10 ? 9 2 C10 ? ? 45?条?. 2

?2?由于有向线段两端点中 一个是起点另 ,
一个是终点以平面内 个点中每两个点 , 10 为端点的有向线段的条 , 就是从10 个不 数 同元素中取出2 个元素 的排列数 , 即有向
2 线段共有A10 ? 10 ? 9 ? 90?条?.

在例3中,第?1 ?小题不考虑线段两个端 点的 顺序, 是组合问题第?2?小题要考虑线段两 ; 个端点的顺序是排列问题 , .

例 4 在100 件产品中 有 98 件合格品2 件次品.从这 , , 100件产品中任意抽出 件. 3 ?1?有多少种不同的抽法 ? ?2?抽出的3件中恰好有 件是次品的抽法有多少 ? 1 种 ?3?抽出的3件中至少有 件是次品的抽法有多少 ? 1 种 解 ?1?所求的不同抽法的种数就是从100件产品中取 , 出3 件的组合数 所以共有 , 100 ? 99 ? 98 3 C100 ? ? 161 700?种? 3 ? 2 ?1 1 ?2?从2件次品中抽出 件次品的抽法有C2, 从98件合格 1

品中抽出2件合格品的抽法有 98 种,因此抽出的3件中 C2 恰好有 件次品的抽法有 1 ? C98 ? 9506?种?. 1 C2 2

从100件产品抽出3 件中至少有1 件是次品 包括有 件次品和有2 件次品两种 , 1 情况.在第?2?小题中已求得其中件次品的抽 1
2 法有C1 ? C98 种,因此根据分类加法计数 原理, 2 抽出的3件中至少有 件是次品的抽法有 1

?3?解法1

2 C1 ? C98 ? C2 ? C1 ? 9 604?种?. 2 2 98 解法2 抽出的3 件产品中至少有件是次品 1 的抽法的种数 也就是从 件中抽出3 件的 , 100 抽法种数减去 件中都是合格品的抽法 3 的种 数,即

3 C100 ? C3 ? 161 700 ? 152 096 ? 9 604?种?. 98

探究与发现

组合数的两个性质

探究 用计算器计算下列各组 组合数的值 你发现了什 , 么? 你能解释你的发现吗 ?
4 8 3 7 3 C12与C12 ; C18与C15 ; C10与C10 ? ? ? ? ? ? 18

不难发现 各组的两个组合数都相 ,而且两个组合数的上 , 等 标之 和等于下标, 如 4 ? 8 ? 12, 3 ? 15 ? 18,7 ? 3 ? 10 ? ? ? ? ? ? 如何解释上述结果呢 ?
" 等式的两边是对同一问 题的两个等价解释 启发我们 如 " ,
4 果把C12 解释为 从12名学生中选出 人参加某项活动的选 " 4 8 法种数" , 那么C12 可以解释为 让12 名学生中留下8人不参 " 加活动的选法种数 ,由于留下8 人后其余4 人就是参加活 " 8 动的 , 所以不参加活动的人员 选法种数 C12 就等于参加活 4 8 动的人员选法种数 12 ,即有C12 ? C12 . C4

一般地, 从n个不同元素中取出m 个元素后, 必然剩下n ? m个元素,因此从n个不同元素 中取出 m 个元素的组合, 与剩下的 n ? m 个 元素的组合一一对应这样, 从n个不同元素 . 中取出m 个元素的组合数, 等于从这n个不 同元素中取出n ? m 个元素的组合数 .于是 我们有 m n?m 性质1 Cn ? Cn ,
为了使上面的等式在m ? n时也能成立, 我 0 们规定 Cn ? 1.

在推导性质1时, 我们运 用了证明组合相等 的一个常用而重要的方 ,即通过阐明等号 法 两边的不同表达式实际 上是对同一个组合 问题的两个不同的计数 方案, 从而达到证明 的目的 .

探究 你能根据上述的思想方 , 利用分类 法 计数原理 证明下列组合数的性质 ? , 吗
性质 2

C

m n?1

?C ?C
m n

m?1 n

.

作业:P27(10--17)

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