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第二课时 椭圆


第二课时 椭圆 一、复习目标:1、掌握椭圆的定义标准方程,会用定义和求椭圆的标准方程,能通过方程 研究椭圆的几何性质及其应用;2、运用数形结合,围绕“焦点三角形” ,用代数方法研究椭 圆的性质,把握几何元素转换成参数 a, b, c 的关系 二、重难点: 重点:掌握椭圆的定义标准方程,会用定义和求椭圆的标准方程,能通过方程 研究椭圆的几何性质及其应用。 难点:椭圆的几何元素与参数

a, b, c 的转换。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一) 、热点考点题型探析 考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用 [例 1 ]椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线 经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长 为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反 弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能 y [解析]按小球的运行路径分三种情况: P (1) A ? C ? A ,此时小球经过的路程为 2(a-c); (2) A ? B ? D ? B ? A , 此时小球经过的路程为 2(a+c); (3) A ? P ? B ? Q ? A 此时小球经过的路程为 4a,故选 D C A
O

D B Q
x

题型 2 求椭圆的标准方程 [例 2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数 a, b, c 的式子“描述”出来

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 b2 a [解析]设椭圆的方程为 a 或b ,



b?c ? ? ?a ? c ? 4( 2 ? 1) ? a 2 ? b2 ? c2 ?

,解之得: a ? 4 2 ,b=c=4.【反思归纳】准确把握图形特征,正

确转化出参数 a, b, c 的数量关系. [警示]易漏焦点在 y 轴上的情况. 考点 2 椭圆的几何性质

题型 1:求椭圆的离心率(或范围) [例 3 ] 在 △ ABC 中,

?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点


C ,则该椭圆的离心率 e ?

【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率

[解析]

S ?ABC ?

1 | AB | ? | AC | sin A ? 3 2 ,

2 2 ? | AC |? 2 3 , | BC |? | AB | ? | AC | ?2 | AB | ? | AC | cos A ? 2

e?

| AB | 2 3 ?1 ? ? | AC | ? | BC | 2 3 ? 2 2

【反思归纳】 (1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量,决定了椭圆的形状;反之,形状确 定,离心率也随之确定(2)只要列出 a、b、c 的齐次关系式,就能求出离心率(或范围) ( 3) “焦点三角形”应给予足够关注 题型 2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)

x2 y 2 ? ?1 2 2 2 [例 4 ] 已知实数 x, y 满足 4 ,求 x ? y ? x 的最大值与最小值 x2 y 2 1 ? ? 1 y2 ? 2 ? x2 2 , 2 [解析] 由 4 得
? x2 ? y2 ? x ? ?2 ? 1 2 x ? 0 ? ?2 ? x ? 2 2

1 2 1 3 x ? x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? , x ? [?2,2] 2 2 2
2

3 2 2 当 x ? 1 时, x ? y ? x 取得最小值 2 ,当 x ? ?2 时, x ? y ? x 取得最大值 6
2

【反思归纳】注意曲线的范围,才能在求最值时不出差错 考点 3 椭圆的最值问题 题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值

x2 y2 ? ?1 [例 5 ]椭圆 16 9 上的点到直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为___________.
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点 P,设 P( 4 cos? ,3sin ? ). 那么点 P 到直线 l 的距离为:

| 4 cos? ? 3sin ? ? 12 | 1 ?1
2 2

?

2 | 5 sin(? ? ? ) ? 9 | 2 ? 2 2.

【反思归纳】也可以直接设点 P ( x, y ) ,用 x 表示 y 后,把动点到直线的距离表示为 x 的函 数,关键是要具有“函数思想”

(二) 、强化巩固导练 1、 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________.

y2 2 x2 2 椭圆方程化为 2 + k =1. 焦点在 y 轴上,则 k >2,即 k<1.又 k>0,∴0<k<1.
2、 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于
1 ? 90 ,则椭圆的离心率为( D,且 ?BDB ?

B

)

A

3 ?1 2

B

5 ?1 2

C

5 ?1 2

D

3 2

3、 (09 江西卷理)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , a 2 b2


F2 为右焦点,若 ?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为

b2 3b 2 c 3 ? ? 2a, 从而可得 e ? ? 因为 P(?c, ? ) ,再由 ?F ,故选 B 1PF 2 ? 60 有 a a a 3 x2 ? y2 ? 1 4 P 4、 (07·广东)已知点 是椭圆 上的在第一象限内的点,又 A(2,0) 、 B(0,1) ,
P (2 cos ? , sin ? ), ? ? (0, ) O 是原点,则四边形 OAPB 的面积的最大值是_________. 2 SOAPB ? S ?OPA ? S ?OPB ? 1 1 OA ? sin ? ? OB ? 2 cos ? 2 2 ? sin ? ? cos? ? 2

?

,则

5、椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上 的点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程.

? ?a ? c ? 3 2 ?a ? 2 3 x2 y x2 y2 ?? ? ? a ? 2c ?c ? 3 ,? b ? 3 ,所求方程为 12 + 9 =1 或 9 + 12 =1. [解析] ?
(三) 、小结:本课主要探析了三个考点五种题型,它是高考考查的重点,要求大家掌握五 种题型的解法,并在题目中能熟练的识别和运用。 (四) 、作业布置:复资 课外练习资料 五、教学反思:


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