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椭圆


椭圆及其标准方程

学习目标
(1)掌握椭圆的定义及标准方程; (2)能运用公式解决一些简单问题。

重点:椭圆的定义及标准方程。 难点: 椭圆的定义及标准方程的应用。

M

F1

F2

1、在画图过程中,绳子长度变化了吗? 2、你所画出的曲

线上的点到F1、F2两点的距离和 始终是什么关系?

4

一、椭圆的定义
平面内与两定点的距离的和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

问题1:当常数等于|F1F2|时,点M的轨迹是什么? 线段F1F2 问题2:当常数小于|F1F2|时,点M的轨迹是什么? 轨迹不存在

几点说明:

(1)F1、F2是两个不同的定点;
(2)M是椭圆上任意一点,且 |MF1| + |MF2| = 常数;

求椭圆的方程
M

F1

F2

方案一

F2 M

方案二
F1

7

二、椭圆的标准方程
(1)建系设点:
y

M
F1 O F2 x

以F1、F2所在直线 为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立 平面直角坐标系xoy.

(2)列式: 椭圆是由下列集合中的点构成的.

P ? {M || MF1 | ? | MF2 |? 2a}

8

设|F1F2|=2c(c>0), 则F1(-c,0)、F2(c,0)

y M

M(x,y)为椭圆上的任意一点,
F1 O

F2

x

(3)坐标化: (4)化简:
2

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

( a ? c ) x ? a y ? a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2

2a ? 2c, 即 a ? c
2 2

?a ? c ? 0

9

令 a ? c ? b , 其中 b ? 0 代入上式,得
2 2 2

b x ?a y ?a b
2 2 2 2

2 2

y
M F1 O F2 x

即 x

y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

2

2

该方程叫做椭圆的标准方程。 焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)

这里, c 2 ? a 2 ? b2

椭圆的标准方程⑴
x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
它表示:
2 2

y M

F1

0

F2

x

① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1(-C,0)、F2(C,0)

③ c2= a2 - b2

11

若F1、F2在y轴上,且 F1(0,-c)、F2(0,c)
x y M F1 O F2 x y

y x ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b

2

2

椭圆的标准方程⑵
y x ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示:
2 2

y

F2
M O F1 x

① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c)

③ c2= a2 - b2

思考1: 下图中哪些线段的

长度恰为 a, c, a ? c ?
2 2

椭圆的标准方程 y
F1 O F2

y
F1

x

O F2

x

方 程




y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1; (2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0; (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上; (4)a、b、c都有特定的意义,
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.
有关系式 c 2

x2 y2 ? ?1 2 2 a b

? a 2 ? b2 成立。

课堂练习:
1、a=5,c=4的椭圆标准方程是

y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1或 25 9 。 25 9

x2 y2 2、已知椭圆的方程为: ? ? 1,请填空: 100 36 a= 10 ,b= 6 ,c= 8 ,
焦点坐标为 (-8,0)、(8,0) ,焦距等于 16 .

x2 y2 3、若M为椭圆 ? ? 1上一点,F1、F2分别为椭圆的左、 25 16
右焦点,并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱= 4 .

4.判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上,并指明 a2、b2,写出焦点坐标及焦距.
x2 y2 ? ? 1 在 x轴。(-3,0)和(3,0)2c=6 25 16
x2 y2 ? ? 1 在y轴。(0,-5)和(0,5)2c=10 144 169

5. (1).椭圆

x2

25 距离等于 3 ,

?

y2 16

? 1 上一点 P 到一个焦点的

则到另一个焦点的距离为

( B)

B 7 C 8 D 10 x2 y2 2.椭圆 ? ? 1的焦距为2, 则m的值等于(C ) m 4 A 5 B 3 C 3或5 D 以上都不对

A 5

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0) 椭圆上一 点P到两焦点距离的和等于10 (2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且 椭圆经过点
(? 3 5 , ) 2 2

求椭圆标准方程的解题步骤: (1)确定焦点的位置; (2)设出椭圆的标准方程; (3)用待定系数法确定a、b的值,

写出椭圆的标准方程.

巩固练习

x2 y2 (1).已知方程 + =1表示椭圆,则 k ?4 9? k 13 13 (4, ) ? ( , 9) k的取值范围是_______________. 2 2

变式练习:
x y 若方程 + =1表示在x轴上的椭圆,则 k ?1 7 ? k
2 2

(4, 7) 则k的取值范围是_____________.

课堂练习

x2 y2 (2).已知F1、F2是椭圆 + =1的焦点, P为椭圆 25 16 16 上任意一点,则△PF1 F2的周长为______.

y

? ? F1( ?c , o)
o

P ( x , y)

? F2 ( c , o)

x

课堂练习
2 2

x y (2).已知F1、F2是椭圆 + =1的焦点, P为椭圆 25 16 上任意一点,则△PF1 F2的周长为______. 16

x y 已知F1、F2是椭圆 + =1的焦点, AB是过F1 25 16 20 的弦,则△ABF2的周长为______.
A
y

变式练习:

2

2

B

? F1( ?c , o)

o

? F2 ( c , o)

x

1

椭圆定义: 椭圆定义

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 2 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程
y
?M ( x,
?

y
y)

F2?

F1 c o

c

F2

?

x

c o c

? M ( x, y)

x
2 2

F1?

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

总结反思,提高认识
1、一个定义 2、两个方程 3、三个思想与方法

数形结合思想,方程思想,待定系数法
作业:课本P49,A2,B2


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