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第三节函数的单调性与最值


[备考方向要明了] 考什么 怎么考 1.理解函数的 1.函数的单调性,是高考考查的重中之 单调性、最 重,主要考查求函数的单调区间、利 大值、最小 用函数的单调性比较函数值的大小、利 值及其几何 用函数单调性求函数值域或最值、利用 意义. 函数的单调性解不等式等相关问题. 2.会利用函数 2.函数的最值问题是每年高考的必考内 的图象理解 容,一般情况下,不会对最值问题单独 和研究

函数 命题,主要是结合其他知识综合在一起 的性质. 考查,主要考查求最值的基本方法. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义: 增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内 某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 定 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) , 当 x < x 时,都有 1 2 f(x1)<f(x2) 义 ,那么就 那么就说y=f(x)在区间I上是 说函数f(x)在区间D上是 单调减函数 增函数 增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 逐渐上升的 ___________ 逐渐下降的 ___________ (2)如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 , 那么就说函数y=f(x)在区间D具有(严格的)单调性.这一区 间叫做y=f(x)的单调区间. [探究] 1 1.函数 y=x的单调递减区间为(-∞,0)∪(0, +∞),这种表示法对吗? 提示:首先函数的单调区间只能用区间表示,不能用 集合或不等式的形式表示;如果一个函数有多个单调区间 应分别写,分开表示,不能用并集符号“∪”联结,也不能 用“或”联结. 2.函数f(x)在区间[a,b]上单调递增与函数f(x)的单 调递增区间为[a,b]含义相同吗? 提示:含义不同.f(x)在区间[a,b]上单调递增并不 能排除f(x)在其他区间上单调递增,而f(x)的单调递增区 间为[a,b]意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满 足 对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ________ f(x)≥M ;存在 条件 _________;存在x0∈I, x0∈I,使得 f(x0)=M f(x0)=M 使得_________. _________. 结论 M为最大值 M为最小值 对于任意x∈I,都有 [探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图 象上有什么特征? 提示:函数的单调性反映在图象上是上升或下降 的,而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐 标的值. 2 1.(教材习题改编)函数 f(x)= ,x∈[2,6],则下列 x-1 说法正确的有 ( ) ①函数 f(x)为减函数;②函数 f(x)为增函数;③函 2 数 f(x)的最大值为 2;④函数 f(x)的最小值为 . 5 A.①③ B.①③④ 2 解析: 易知函数 f(x)= 在 x∈[2,6]上为减函数, x-1 2 故 f(x)min=f(6)= ,f(x)max=f(2)=2. 5 C.②③④ D.②④ 答案:B 2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 ( ) 1 A.k> 2 1 C.k>- 2 1 B.k< 2 1 D.k<- 2 解析:使 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函 1 数,则 2k+1<0,即 k<- . 2 答案:D 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函

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