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湖南省岳阳县第一中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题 理


2015 年岳阳县一中高二上学期第一次月考试题 数学试卷(理)
时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷 (选择题 共60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A, B 的关系如右图所示,则 “ x ? B ”是“ x ? A ”的 ( B A.充分不必要条件 B.必

要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若 a, b, c ? R,a ? b ,则下列不等式成立的是( C A.
U B A





1 1 ? B. a2 ? b2 a b

C.

a b ? 2 D. a c ? b c c ?1 c ?1
2

3.已知集合 A ? {x | x ? 2} ,集合 B ? {x | x ? 3} ,以下命题正确的个数是( C ) ① ?x0 ? A, x0 ? B ② ?x0 ? B, x0 ? A ③ ?x ? A 都有 x ? B ④ ?x ? B 都有 x ? A A.4 答案:C B. 3 C. 2 D. 1

4.若 0 ? a ? 1 ,则不等式 (a ? x)( x ? 1) ? 0 的解集是( A. ?x | 0 ? x ? a? B. ?x | a ? x ? 1 ? C. x | x ? a或x ? 1 D. x | x ?1或x ? a

B )

?

? ?

?
S3 1 S ? ,则 6 ? ( A S6 3 S12
1 D. 9 )

5.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 3 A. 10 1 B. 3 1 C. 8

6.与点 A(?1,0) 和点 B(1,0) 连线的斜率之和为 ? 1 的动点 p 的轨迹方程是 ( B )

A..x 2 ? y 2 ? 3

B.x 2 ? 2xy ? 1( x ? ?1)

C. y ? 1 ? x 2 D..x 2 ? y 2 ? 9( x ? 0)

c 7 . 已 知 a + b+ c? 0,a b +b c + a?

0,a b ?c , 0 用 反 证 法 求 证 : a ? 0, b ? 0, c ? 0 时 , 应 反 设
-1-



.( B

)

A. a , b, c 全不是正数 B. a , b, c 不全是正数 C. a , b, c 全是负数D. a , b, c 不全是负数 答案:B 8.已知 m ? a ?

A. m ? n 【解析】选 C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. 1 1 1 -2 -2 m=a+ =a-2+ +2≥2+2=4,而 n=x ≤( ) =4. a-2 a-2 2 9.不等式组 ?

1 1 ? a ? 2 ? , n ? x ?2 ( x ? ) ,则 m, n 之间的大小关系为( A ) a?2 2 B. m ? n C. m ? n D. m ? n

?x ? y ? 1 的解集记为 D ,若 ?( x, y) ? D, 则 ?x ? 2 y ? 4
B. x ? 2 y ? 2 C. x ? 2 y ? ?2

( A D. x ? 2 y ? 2



A. x ? 2 y ? ?2 答案:A

作出不等式组所表示的图象知 A 正确. 10. 下列有关命题的说法正确的是( D ). A.命题“若 xy ? 0 ,则 x =0”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ≠0” B.命题“若 cos x ? cos y ,则 x ? y ”的逆否命题为真命题 C.命题“ ?x ∈R,使得 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ∈R,均有 2 x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.“若 x ? y ? 0 ,则 x , y 互为相反数”的逆命题为真命题 解析 命题“若 xy=0, 则 x=0”的否命题为“若 xy≠0, 则 x≠0”, 所以 A 错; 命题“?

x∈R,使得 2x2-1<0”的否定是“? x∈R,均有 2x2-1≥0”,所以 C 错;命题 “若 cos x
=cos y,则 x=y”为假命题,故其逆否命题也假,故 B 错;“若 x+y=0,则 x,y 互为 相反数”的逆命题为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”显然正确.所以应选 D.

( a ? b) 2 11.已知 x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则 的取值范围是( cd
A.

C )

? ??,0?

B. ? 4,+? ? C. ? ??,0? ? ?4, ??? D. ? 0, 4 ?

【解析】由等差数列、等比数列的性质得 a+b=x+y, (a+b) (x+y) x y cd=xy,所以 = =2+ + ,
2 2

cd

xy

y x

y (a+b) y (a+b) 当 >0 时, ≥4;当 <0 时, ≤0, x cd x cd

2

2

-2-



(a+b)

2

cd

的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞).

12. 函数 f ?x ? 由右表给定

x f(

1 3

2 4

3 5

4 2

5 1

x)
若 a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? f ?an ?, n ? N * ,则 a2015 的值为 ___________ . ( D ) (第 12 题 图) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:D

a3 ? f (a1 ) ? f (1) ? 3; a4 ? f (a2 ) ? f (5) ? 1;
解:

a5 ? f (a3 ) ? f (3) ? 5; a6 ? f (a4 ) ? f (1) ? 3; a7 ? f (a5 ) ? f (5) ? 1; a8 ? f (a6 ) ? f (3) ? 5;

数列 ?an ? 的周期为6, a201 5 ? a6?335?5 ? a5 ? 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题 5 分,共 20分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标是 20 16

.

14.已知 p : ?2 ? x ? 10, q :1 ? a ? x ? 1 ? a, 若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 围是 .

解:由题意得 p : ?2 ? x ? 10 ,? p 是 q 的充分不必要条件,? p ? q , q ? / p

?1 ? a ? ?2 ?a ? 3 ,? ? ,? a ? 9. ? p 表示的集合应该是 q 表示集合的真子集,? ? ?1 ? a ? 10 ?a ? 9
15. 已知公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 4 项和为 10, 且 a2 , a 则数列 ?an ? 3 ,a 7 成等比数列, 的通项公式为 .

答案:设数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,由题意知

?4a1 ? 6d ? 10, ?a1 ? ?2 解得 ? , ? 2 ?d ? 3 ?(a1 ? 2d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 6d ).

? an ? 3n ? 5 .

2 2 16. 已知 x ? 0, y ? 0 , x ? y ? xy ,则 ( x ? 1)( y ? 1) 的最小值为

.

答案:9 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答
-3-

写在答题卡上的指定区域内. 17. (本小题满分 10 分) 点 M 与定点 F (2, 0) 的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1︰2. (1)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (2)过点 F 作直线 l 与 M 的轨迹交于点 A, B ( A, B 不在 x 轴上) ,设 F ?(?2, 0) ,求证:三角 形 ABF ? 的周长为定值. 解: (1)设 d 是点 M 到直线 x ? 8 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合

? MF 1? 由此得 P ? ?M | = ?, d 2? ?

? x ? 2?

2

? y2

8? x

?

1 ????????3分 2

将上式两边平方并化简得 3x2 ? 4 y 2 ? 48 ,即

x2 y 2 ? ? 1 ????????5分 16 12

所以点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆. ????????7分 (2)由(1)知 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,且焦点为 F (2, 0) , F ?(2,0) 三角形 ABF ? 的周长为 AF ? ? BF ? ? AB ? AF ? ? BF? ? AF ? BF ? 4a ? 16 ????????10分 18. (本小题满分 12 分) 设 x, y ? R ,求证: | x ? y |?| x | ? | y | 成立的充要条件是 xy ? 0 . 证明:1)充分性:如果 xy ? 0 ,那么,① x ? 0, y ? 0 ② x ? 0, y ? 0 ③ x ? 0, y ? 0 于是 | x ? y |?| x | ? | y | 明显成立. 如果 xy ? 0 即 x ? 0, y ? 0 或 x ? 0, y ? 0 当 x ? 0, y ? 0 时, | x ? y |?| x | ? | y | 显然成立; 当 x ? 0, y ? 0 时, | x ? y |? ? x ? y ? (? x) ? (? y) ?| x | ? | y | 成立; 总之,当 xy ? 0 时,有 | x ? y |?| x | ? | y | 成立.???????????????6 分 2)必要性:由 | x ? y |?| x | ? | y | 得 | x ? y |2 ? (| x | ? | y |)2 即 x2 ? 2 xy ? y 2 ? x2 ? 2 | xy | ? y 2 得 | xy |? xy 所以 xy ? 0 ,故必要性成立, 综上,原命题成立. 故结论成立.????????????????????????????12 分 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?

an ? an ?1 * ( n ? 2, n∈N ). 2

(1)令 bn ? an?1-an ,证明: ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. [解析] (1)证明:b1=a2-a1=1,
-4-

当 n≥2 时,bn=an+1-an= 1 1 =- (an-an-1)=- bn-1. 2 2

an-1+an
2

-an

1 ∴{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列; 2

? 1?n-1 (2)由(1)知 bn=an+1-an=?- ? , ? 2?
当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)

? 1? ? 1?n-2 =1+1+?- ?+?+?- ? ? 2? ? 2? ? 1?n-1 1-?- ? 2? ? 1?n-1? ? 2? =1+ =1+ ?1-?- ? ? 1 3? ? 2? ? ? ? 1-?- ? ? 2?
5 2? 1?n-1 = - ?- ? , 3 3? 2? 5 2? 1?1-1 当 n=1 时, - ?- ? =1=a1, 3 3? 2? 5 2? 1?n-1 * ∴an= - ?- ? (n∈N ). 3 3? 2? 20. (本小题满分 12 分) 在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量 p 是网箱个数 x 的一次函数.如果放置 4 个网箱,则每个网箱的产量为 24 吨;如果放置 7 个网箱,则每个网箱的产量为 18 吨.由于该水 域面积限制,最多只能放置 12 个网箱.已知养殖总成本为 50 ? 2 x 万元. (1)试问放置多少个网箱时,总产量 Q 最高? (2)若鱼的市场价为 1 万元/吨,应放置多少个网箱才能使每个网箱的平均收益最大?

?24 ? 4a ? b ? a ? ?2 【解】(1)由已知可设 p ? ax ? b ,则 ? ,解之得 ? , ?b ? 32 ?18 ? 7a ? b
故 p ? ?2 x ? 32 .????????????????????????????2 分
2 2 * 总产量 Q ? px ? (?2x ? 32) x ? ?2x ? 32x ? ?2( x ? 8) ? 128( x ? N , x ? 12) ???4 分

所以当 x ? 8 时,总产量 Q 取得最大值 128. 即放置 8 个网箱时,总产量 Q 最高.????????????????????6 分 (2)设每个网箱的平均收益为 y 万元,
2 2 因为总收益 1? (?2 x ? 32 x) ? (50 ? 2 x) ? ?2 x ? 30 x ? 50

所以 y ?

?2 x 2 ? 30 x ? 50 50 ? ?2 x ? ? 30( x ? N * , x ? 12) ???????????9 分 x x

-5-

因为 2 x ?

50 50 25 ? 2? 2 x ? ? 20 (当且仅当 2 x ? ,即 x ? 5 时等号成立), x x x

所以 y ? ?20 ? 30 ? 10 ,即当 x ? 5 时, ymax ? 10 ????????????11分 答:放置 5 个网箱才能使每个网箱的平均收益最大. ??????????????12分 21. (本小题满分 12 分) ?y ? 0 ?y ? x ? 设约束条件 ? 所确定的平面区域为 D . ?y ? 2 ? x ? ?t ? x ? t ? 1(0 ? t ? 1) (1)记平面区域 D 的面积为 S=f(t),试求 f(t)的表达式. ( 2 ) 设 向 量 a ? ?1, ?1? , b ? ? 2, ?1? , Q ? x, y ? 在 平 面 区 域 D ( 含 边 界 ) 上 ,

?

?

???? ? ? OQ ? ma ? nb, (m, n ? R) ,当面积 S 取到最大值时,用 x, y 表示 m ? 3n ,并求 m ? 3n 的
最大值. 解: (1)由约束条件所确定的平面区域是五边形 ABCEP,如图所示,其面积 S=f(t)=S△
OPD

-S△AOB-S△ECD, 1 而 S△OPD= ×1×2=1. 2

S△OAB= t2,S△ECD= (1-t)2,
1 2 1 1 2 2 所以 S=f(t)=1- t - (1-t) =-t +t+ . 2 2 2

1 2

1 2

???? ? ? ? x ? m ? 2n (2)由 OQ ? ma ? nb 得 ? x, y ? ? m ?1, ?1? ? n ? 2, ?1? , 所以 ? ? 2 x ? y ? m ? 3n ? y ? ?m ? n

S=f(t)=-t2+t+ , 0 ? t ? 1 则当 t ?

1 2

1 ?3 1? 时面积 S 取到最大值. 点 E 坐标为 ? , ? 2 ?2 2?

7 ?3 1? 由线性规划知识,直线 z ? 2 x ? y 经过可行域中点 E ? , ? 时 2 x ? y 取到最大值 ,所以 2 ?2 2?
m ? 3n 的最大值也为

7 2

22. (本小题满分 12 分)
2 已知 p : x1 和 x2 是方程 x ? mx ? 2 ? 0 的两个实根,不等式 a ? 5a ? 3 ? x1 ? x2 对任意实
2

-6-

数 m ? ?? 1,1? 恒成立; q : 不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解.如果“ p ? q ”与“ ? p ? ? q ”均为
2

假命题,求实数 a 的取值范围. 解: x1 和 x2 是方程的两个实根,∴ ?

?x1 ? x2 ? m , ?x1 x2 ? ?2
m 2 ? 8 ,当 m ? ?? 1,1? 时, x1 ? x2
max

? x1 ? x2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x 2 ?

? 3 ,由不等式

2 可得 a ? 5a ? 3 ? 3 , ∴ a ? 6 或 a ? ?1 , a 2 ? 5a ? 3 ? x1 ? x2 任意实数 m ? ?? 1,1? 恒成立,

∴ p 为真命题时, a ? 6 或 a ? ?1 。 不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解,
2

① 当 a ? 0 显然有解, ② 当 a ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 有解,
2 ③当 a ? 0 时, ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解,? ? ? 4 ? 4a ? 0,? ?1 ? a ? 0 ,

∴ q 为真命题时: a ? ?1 。 又“ p ? q ”与“ ? p ? ? q ”均为假命题,∴ p, q 有且仅有一个为真,一个为假 ①? ?

?a ? ?1 ?? ? a ? ?1 ; ?a ? 6或a ? ?1 ?q假 ? p真 ?a ? ?1 ?? ? ?1 ? a ? 6 ? p假 ?? 1 ? a ? 6 ?q真

②? ?

综上所述, a 的取值范围为 ?? ?,6?

-7-


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