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直线方程 教案


直线的方程 两直线的位置关系 哪些东西可以确定直线位置?

一.直线的倾斜角和斜率 1. 直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° 2. 直线的斜率 ① 定义:倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线

的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。即 k=tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0° , k = tan0° =0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 直线按斜率情况分几种? 当 ? ? 0 ,90 时,
? ?

?

?

当 ? ? 90 ,180 时,
? ?
? 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?



经过两点 P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 k ? 斜率公式与两点的顺序无关,即 k ? y1 ? y2 ? y2 ? y1 ( x ? x ) 1 2
x1 ? x2 x2 ? x1

y2 ? y1 x2 ? x1

判断正误 给出下列命题: ①若直线倾斜角为 ? ,则直线斜率为 tan ? ; ②若直线倾斜角为 tan ? ,则直线的倾斜角为 ? ; ③直线的倾斜角越大,它的斜率越大; ④直线的斜率越大,其倾斜角越大; ⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。. 6 每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。 其中正确命题的序号为 例题 2.过点 M (?2, a) 和 N (a,4) 的直线的斜率等于 1, 则 a 的值为( (A) 1 (B) 4 (C)1 或 3 (D)1 或 4

)

例题 1.直线 x tan A.

?
3

? y ? 2 ? 0 的倾斜角 ? 是

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

D. ?

?
3

二、直线方程的五种形式: 名称 点斜式 率 斜截式 k 为斜率,b 是直线在 y 轴上的截 距 两点式 定点 截距式 a 是直线在 x 轴上的非零截距,b 是直线在 y 轴上的非零截距 一般式 A,B,C 为系数 无限制,可表示任何 位置的直线 不包括 是直线上两 不包括 不包括 方程的形式 已知条件 为直线上一定点, k 为斜 局限性 不包括

说明:使用直线方程时,要注意限制条件。如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率;截距 式的使用条件是两截距都存在且不为 0;两点式的使用条件是直线不与 x 轴垂直,也不与 y 轴垂直 例题 1:根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 (1)斜率是 ? ,经过点 A(8,—2); . 2 3 (2)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 , ?3 ; . 2 (4)经过两点 P1(3,—2)、P2(5,—4); . 经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 经过点 B(4,2),平行于 y 轴; (5)过两点 A(?1,1) , B(3, 9) 的直线在 x 轴上的截距为 2. 2 x ? y ? 6 ? 0 的斜率为 与坐标轴交点为 .

3.直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,若直线经过原点且位于第二、四象限,则( A.C=0,B>0 C.C=0,AB<0 B.C=0,B>0,A>0 D.C=0,AB>0



4 直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,若 A、B、C 满足 AB.>0 且 BC<0,则 l 直线不经的象限 是( A.第一 ) B.第二 C.第三 D.第四

三.直线与直线的位置关系 1、直线与直线平行 ①当两条直线的斜率存在时, 均可化成它的斜截式方程, 所以以斜截式为例来研究直线平行 的判定 设两条直线分别为, l1 : y ? k1 x ? b1

l2 : y ? k2 x ? b2

若 l1 // l2 ,则 l1 , l2 的倾

斜角相等,即由 ?1 ? ?2 ,可得 tan ?1 ? tan ? 2 ,也即 k1 ? k2 ,此时 b1 ? b2 ;反之也 成立。 所以有 l1 // l2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 ②当两条直线的斜率都不存在时,二者的倾斜角均为 90 0 ,若不重合,则它们也是平行直线 设 两 条 直 线 分 别 为 l1 :

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

可得

l1 // l2 ?

A1 B C ? 1? A2 B 2 C2

1

l1 / /l2 ? A1B 2 ? A2 B1 ? 0 且 l1 l2 不重合
例 1、已知点 A(2, 2) 和直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 ,求过点 A 和直线 l 平行的直线。

2.直线与直线的垂直 ①两条直线的斜率存在且不为 0 时,均可化成它的斜截式方程,所以以斜截式为例来研 究直线平行的判定 设两条直线分别为, l1 : y ? k1 x ? b1 即 tan ? 2 ? tan(900 ? ?1 ) ? ?

l2 : y ? k2 x ? b2

1 ,得到 k1 ? k2 ? ?1 tan ?1

②两条直线中,一条斜率不存在,同时另一条斜率等于零,则两条直线垂直。 两条直线垂直的判定就可叙述为:一般地, l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 或一条斜率不存在, 同时另一条斜率等于零。

注意:当不考虑斜率,即给出直线的一般式时,有如下结论:

设 两 条 直 线 分 别 为 l1 :

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

可得

l1 ? l2 ? A1 A 2 ? B2 B 0 ? 1
例 1、求与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 垂直且过点(1,2)的直线方程

2 2 2.直线 l1 2m ? m ? 3 x ? m ? m y ? 4m ? 1 ? 0, 在下列条件下求 m 的值

?

? ?

?

1. 与 x 轴垂直 2. 与 y 轴垂直 3. 倾斜角为 45 度 4. 与 l2 2x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直 5. 与 l3 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行。

说明:利用斜率来判断两条直线的位置关系时,必须是在两直线斜率都存在的前提下才行, 否则就会得出错误结论,而利用两条直线的一般式方程的系数来判断就不易出错 例 3、已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D 的坐标

。 3.两条直线的交点坐标: 设两条直线分别为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 只需看方程组 ? 则 l1 与 l2 是否有交点,

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 是否有唯一解 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标; 若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行; 若方程组有无穷多解,则两直线重合 例 1、 求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程

四.两点间的距离,点到直线间的距离,平行线之间距离 1 点间的距离:已知 P 1(x 1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 则 PP 1 2

中点坐标公式 2.点到直线的距离 已知点 P 0 ? x0 , y0 ? ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为 0) 点P 0 ? x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

例题 1 求过点 A(-1,2)与 B( ? , 0 )的直线上一点 C(5,n)到直线 x ? y ? 1 的距离

5 2

例 2 点 P(1,2)且与 A(2,3) ,B(4,-5)两点距离相等的直线方程,并求 P 到 AB 的距离。

3.平行线之间的距离 定义; 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长, 即一条直线上的点到 另一条直线的距离。 两 条 平 行 直 线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 的 距 离 公 式

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2

直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 与 3x ? 4 y ? 9 ? 0 之间距离为 还有没有另外一种算法?

练习 1.P(6,-2)且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线的方程是 2. ax ? by ? c ? 0 同时要经过第一
王新敞
奎屯 新疆

第二

王新敞
奎屯

新疆

第四象限,则 a、b、c 应满足( ) D. ab ? 0, bc ? 0

A. ab ? 0, bc ? 0 B. ab ? 0, bc ? 0 C. ab ? 0, bc ? 0

3.线 ax ? 2 y ? 8 ? 0,4 x ? 3 y ? 10,2 x ? y ? 10 相交于一点,则 a 的值是 4.直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0 ,试求当 a 取何值时 l1 与 l2 平 行,并求此时两直线的距离。

5 点 (1,3)和(5,?1) 为端点的线段的中垂线的方程是

6.点 A(1,3), B(3,1), C (?1,0) ,求 ?ABC 的面积。


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