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程序框图 学案

时间:2017-09-07


数学教案样例

教案标题 教师姓名 学科 于鹏
数学

算法与程序框图

学生姓名 适用 年级
高中三 年级

适用范 围

全国

1. 掌握算法的概念与特点。 2. 掌握程序框与流程线。

知识 目标

/>3. 掌握程序框图的画法。 4. 掌握算法的基本逻辑结构。 5. 基本逻辑结构的综合应用。

教学目标 能力 目标 情感 态度 价值观 知识点
算法的概念与特点。程序框与流程线。程序框图的画法。算法的基本逻辑结 构以及综合应用。 重点:算法的基本逻辑结构。 难点:基本逻辑结构的综合应用。 能应用所学的知识解决实际问题。 提高分析问题、解决问题的能力。 培养学生主动探究知识,合作交流的意识,体验数学中的美, 激发学习兴趣,从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

重难点

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算法的概念: 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤, 或者看成按照 要求设计好的有限的确切的计算序列, 并且这样的步骤或序列能够解决一类问题. 现代意义 上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤. 算法的特点: ① 确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的,甚 至无用的步骤,“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务. ② 逻辑性: 算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣, 分工明确, “前一步” 是“后一步”的前提, “后一步”是“前一步”的继续. ③ 有穷性:算法要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的 结果,也就是说必须在有限步内完成任务,不能无限制地持续进行. 程序框图与流程线: 用一些通用的符号构成一张图来表示算法, 这种图称为程序框图(程序框图又称流程图, 是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形). 用框图表示算法步骤的一些常用的图形符号: 程序框 名称 终端框(起止框) 输入、输出框 处理框(执行框) 判断框 ↓→ 流程线(指向线) 连接点 算法的基本逻辑结构: 程序框图的三种基本逻辑结构: 顺序结构:描述的是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间按从上到下的顺 序进行(如图 9-1). 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立,成立时在出口处 标明“是”,不成立时标明“否” 指引流程图的方向 连接另一页或另一部分的框图

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图 9-1 条件分支结构:依据指定条件选择执行不同指令的控制结构(如图 9-2).

图 9-2 循环结构:根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构(如图 9-3).

图 9-3

例题讲解
例 1 如图(图 9-4)所示, 将一系列指令用框图的形式表示, 箭头指向下一步的操作. 请 按照框图回答问题:

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图 9-4 (1)这个框图表示了怎样的算法? (2)输出的数是多少? 【分析】 由框图中的文字及图形符号表示的操作内容可知: 此算法是 “求 1 到 50 的和” , 由此可以算出输出的数. 解:(1)此框图表示的算法为:求 1+2+3+?+50 的和; (2)易知所求和为 1275. 【评析】程序框图主要包括三部分:表示相应操作的框,带箭头的流程线和框外必要的 说明. 读框图时要从这三个方面研究, 流程线反映了命令执行的先后顺序, 主要看箭头方向, 框及内外的文字说明表明了操作内容.常用这种方式考察对算法的理解和应用. 例 2 (1)如图 9-5 所示的是一个算法的程序框图,已知 a1=3,输出的结果为 7,则 a2 的值为______.

图 9-5 (2)如图 9-6 所示的是某个函数求值的程序框图,则满足该程序的函数解析式为_____.

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图 9-6 (3)如图 9-7 所示的是求某个数列和的程序框图,此程序输出的结果为_____.

图 9-7 【分析】这三个小题的重点在于读懂框图.(1)只含有顺序结构,(2)含有条件分支结构, 表明函数的定义域为 R,当 x<0 时,遵从解析式 f(x)=3x-1,否则(即当 x≥0 时),遵从解 析式 f(x)=2-5x;(3)中有两个循环变量 S、I,S 是累加变量,I 是计数变量;另外还要判断 I 的奇偶性,以此决定是加还是减. 解:(1) a2 ? 11;(2) f ( x) ? ?

?3x ? 1( x ? 0) ; ?2 ? 5x( x ? 0)

(3)S=12-22+32-42+?+992-1002=-5050. 【评析】题(1),只含有顺序结构,所表示的算法比较简单,只需按照框图箭头方向依 次读出即可.题(2)含有条件分支结构,这是一个与分段函数有关的算法,框图中含有判断 框.读包含有判断框的框图时,要特别重视判断框内的条件和框外的文字说明,对应的下一
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步操作会依条件不同而改变.题(3)含有循环结构,当解决一些有规律的科学计算问题,尤 其是累加和累乘时,往往可以利用循环结构来实现算法.循环结构有两种,读包含有循环结 构的框图时,除关注判断框内外的说明外,一般要从开始依顺序做几次循环,观察变量的变 化规律来帮助读懂算法的含义. 例 3 (1)已知平面上的一点 P0(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P0 到直线 l 的距离 d,并画出程序框图. (2)用条件分支结构写“已知三个数 a、b、c,找出其中最大数”的算法及框图. (3)写出求 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? 的和的算法,画出程序框图,并写出相应程序(选做). 2 3 n

【分析】正确分析“算理” ,才能选择恰当的算法结构,有条理的表达算法.(1)在已知 点到直线距离公式的前提下,适合用顺序结构表示;(2)涉及比大小,必须用到条件分支结 构; (3)中分母有规律的递增, 可以引入累加变量 S 和计数变量 i, 且 S=S+1/i 是反复进行的, 可以用循环结构表示. 解:(1)算法及框图为:

S1 S2 S3 S4 S5

输入 x0,y0;A,B,C; 计算 m=A2+B2; 计算 n=Ax0+By0+C; 计算 d ? 输出 d;

|n| ; m

(2)算法及框图为:

S1 输入 a,b,c; S2 令 x=a; S3 若 b>x,则令 x=b; 否则,执行 S4; S4 若 c>x,则令 x=c; 否则,执行 S5; S5 输出 x;

(3)算法及框图为:
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S1

输入 i=1,S=0;

S2 当 i≤n 时, S ? S ? , i=i+1;否则执行 S3; S3 输出 S;

1 i

程序如下; S=0 For i=1:1:n S=S+1/i i=i+1 end print(%io(2),S) 【评析】书写算法时,一步一步的程序化步骤,即“算则”固然重要,但这些步骤的依 据,即“算理”有着更基本的作用, “算理, ,是“算则”的基础, “算则”是“算理”的表 现.这三道小题由于算理不同,所蕴含的算法结构也不同.通过实例,模仿、操作、探索, 经历通过设计程序框图表达解决问题的过程, 可以更好的理解几种基本算法语句——输入语 句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,体会和理解算法的含义,了解算法语言的 基本构成.本例中涉及的“利用公式求点到直线的距离” 、 “实数排序求最值问题” 、 “求数列 的和或积的问题” ,还包括“二分法求函数零点” 、 “质数的判定” , “求?的近似值”等等,都 是算法的典型案例,学习时要给予充分的重视.一般算法的表示方法并不唯一. 不同的算法语言的书写形式是有差别的.本书所采用的是 Scilab 语言,学习时要了解赋 值语句、输入输出语句、if 语句、while 和 for 语句的基本含义及表达方式,能够读懂语句表 示的算法过程. 例 4 (1)用辗转相除法计算 56 和 264 的最大公约数时,需要做的除法次数是______. (2)用更相减损术求 56 和 98 的最大公约数时,操作如下:(98,56)(56,42)(42,14)(28, 14)(14,14),由此可知两数的最大公约数为______. (3)用秦九韶算法求得多项式 f(x)=x6-2x5+3x3+4x2-6x+5 当 x=2 时函数值为______.

264 ? 4 ? 56 ? 40
解:(1)

56 ? 1? 40 ? 16 所以最大公约数为 8,需做的除法次数是 4; 40 ? 2 ?16 ? 8 16 ? 2 ? 8 ? 0

(2)最大公约数为 14; (3)33. 【评析】 书上所涉及的古代基本算法案例包括: 更相减损术与辗转相除法、 秦九韶算法、
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割圆术. 辗转相除法与更相减损术都是求最大公约数的方法, 辗转相除法又叫欧几里得方法, 计算上以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上,前者相对较少,特别是两个整数 相差较大时区别尤其明显;辗转相除法以余数为 0 结束,更相减损术则以减数与差相等结 束. 秦九韶算法的特点是把求 n 次多项式的值转化为求 n 个一次多项式的值, 运算时只有加 法和乘法,而且运算的次数比较少,求一个 n 次多项式的值最多需要进行 n 次加法、n 次乘 法.割圆术是由中国古代数学家刘徽提出的,是当时计算圆周率比较先进的算法, “算理” 明确,即用圆内接正多边形和外切正多边形逼近圆周率,重点是确定递推关系. 例 5 (09 辽宁)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据,其中收入记为正数,支 出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V.那么在图中空白的判断 框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的( )

A.A>0,V=S-T B.A<0,V=S-T C.A>0,V=S+T D.A<0,V=S+T 【分析】本题要注意三点:ak 有正有负;S 为总收入,是所有正数的和;T 为总支出, 是所有非正数的和. 答案为 C 【评析】 本题结合实际背景, 强调算法的应用价值, 是一种比较新的题型, 应引起关注.

课后作业
基础题自测
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1.任何一个算法都必须有的基本结构是( ) A.顺序结构 B.条件分支结构 C.循环结构 D.以上三个都要有 2.下面给出对程序框图的几种说法: ①任何一个程序框图都必须有起止框; ②判断框有一个入口,有不止一个出口; ③对于一个算法来说,判断框内的条件表达方式是唯一的; 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.在算法的逻辑结构中,要求进行逻辑判断并根据结果进行不同处理的是哪种结构( A.顺序结构 B.条件分支结构和循环结构 C.顺序结构和条件分支结构 D.顺序结构和循环结构 4.算法: S1 输入 n; S2 判断 n 是否是 2;若 n=2,则 n 满足条件, 若 n>2,则执行 S3; S3 依次从 2 到 n-1 检验能否整除 n, 若都不能整除,则 n 满足条件; 满足上述算法的 n 是( A.奇数 C.质数 ) B.偶数 D.合数

)

中档题演练
1.阅读下面两个程序框图,框图 1 输出的结果为______;框图 2 输出的结果为______.

框图 1 框图 2 2.(08 广东)阅读图 9-8 的程序框图,若输入 m=4,n=6,则输出 a=______,i=______.

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图 9-8 图 9-9 3.阅读图 9-9 的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是______. 解答:

难题我破解
1、 (2008 广东)阅读图 1 的程序框图,若输入 m ? 4 ,n ? 6 , 则输出 a ? ,i ? . 开始 输入 m ,n

(注:框图中的赋值符号“ ? ”也可以写成“ ?”或“ :? ” )

i ?1
a ? m?i
考资源网
n 整除 a?

i ? i ?1


是 输出 a,i 2、 ( 2008 山东)执行右边的程序框图,若

p ? 0.8 ,则输出的 n ?



开始 输入 p

结束 图1

n ? 1,S ? 0
S? p?
是 否

S?S?

1 2n

输出 n 结束
图2

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n ? n ?1

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开始 3、 (2008 海南、宁夏)右面的程序框图,如果输入三个实数 a, b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应 该填入下面四个选项中的( A. c ? x C. c ? b )高考资源网 输入 a,b,c

x?a
b?x
否 是 是

B. x ? c D. b ? c

x?b

否 输出 x 结束

x?c

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