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【最新精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题09 解析几何

时间:2013-03-19


【精选+详解】2013 届高三数学名校试题汇编(第 3 期)专题 09 解析 几何
一.基础题 1.【广东省华附、省实、广雅、深中 2013 届高三上学期期末四校联考】已知椭圆的方程为

2 x 2 ? 3 y 2 ? m(m ? 0) ,则此椭圆的离心率为(
(A)



1 3

/>(B)

3 3

(C)

2 2

(D)

1 2

2. 【安徽省 2013 届高三开年第一考】 已知双曲线 则 M 到左焦点的距离等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【解析】

x2 y 2 (5,0) 的距离为 3, ? ? 1 上一点 M 到 A 9 16

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 A(5, 0) , F (?5, 0) ,故 | MF | ? | MA |? 6 ?| MF |? 9 ,选 D 9 16

3.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 下列双曲线中,渐近线方程是 y ? ?2 x 的是
2 y ?1 A. x ? 12 48 2 2 y ?1 B. x ? 6 3 2

2 C. y ? x ? 1

2

4

D.

y 2 x2 ? ?1 6 3

【答案】D 【解析】 2 2 圆的方程(x﹣1) +y =3,圆心(1,0)到直线的距离等于半径

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或者 故选 C. 5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】经过圆

x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的圆心 C ,且与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 平行的直线方程为(
A. 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 D. 3 x ? 2 y ? 2 ? 0



6.【安徽省 2013 届高三开年第一考文】双曲线 点相同,则 p=( A.2 【答案】B 【解析】双曲线中 c ? B.4 ) C. 2 D. 2 2

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点和抛物线 y 2 ? 2 px 的焦 3

a 2 ? b2 ? 2 ,

p ? 2 ? p ? 4 ,选 B 2
2

7.【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双

曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 2 2
A. ?2 B. 2 C. ?4 D. 4

8. 【 安 徽 省 黄 山 市 2013 届 高 中 毕 业 班 第 一 次 质 量 检 测 】 已 知 M ( x0 , y0 ) 为 圆

x 2 ? y 2 ? a 2 ( a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与
该圆的位置关系是 A、相切 B、相交 ( C、相离 D、相切或相交 )

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【答案】C 【解析】因 M ( x0 , y0 ) 为圆 x ? y ? a (a ? 0) 内异于圆心的一点,故 x0 2 ? y0 2 ? a 2 , 圆心到
2 2 2

直线 x0 x ? y0 y ? a 的距离为 d ?
2

a2 x0 2 ? y0 2

?

a2 a

? a ,故直线与圆相离.
1 x 被圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 截得 2

9.【安徽省 2013 届高三开年第一考文】直线 y ? ? 的弦长为( ) A.4 B.5

C.6

D.8

10.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二 次联考】双曲线 x2 ? 2 y
2 2

? 1 的渐近线与圆 x 2 ? ( y ? a ) 2 ? 1 相切,则正实数 a 的

值为 A.

17 4

B.

17

C.

5 2

D.

5

11.【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试(零诊)(2010?陕西)已知抛物 】 2 2 2 线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y ﹣6x﹣7=0 相切,则 p 的值为( ) A. B.1 C.2 D.4

【答案】C 【解析】抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为
2 2 2 2



因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切, 所以 故选 C

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12. 【 北 京 市 海 淀 区 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 】 若 直 线 x ? y ? 1 ? 0 与 圆

( x ? a ) 2 ? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是 ( )
A. [?3,?1] B. [?3,1] C. [?1,3] D. ( ??,?3] ? [1,??)

13.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】以双曲线 双曲线的线相切的圆的方程是 A. x ? 3
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心且与 6 3

?

?

2

? y2 ? 3
3

B. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3

C. ? x ? 3? ? y 2 ?

D. ? x ? 3? ? y 2 ? 3

14.【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试(零诊) 】已知圆 C 过点(1,0) , 且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l:y=x﹣1 被圆 C 所截得的弦长为 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为( ) A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x+y﹣2=0 D.x+y﹣3=0 【答案】A 【解析】设圆心坐标为(a,0) ,则 由直线 l:y=x﹣1 被该圆所截得的弦长为 2 得 +2=(a﹣1)2,解得

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a=3 或﹣1, 又因为圆心在 x 轴的负半轴上,所以 a=﹣1,故圆心坐标为(﹣1,0) , ∵直线 l 的斜率为 1 ∴过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 y﹣0=﹣(x+1) ,即 x+y+1=0 故选 A. 15. 【 北 京 市 东 城 区 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 教 学 统 一 检 测 】 已 知 圆 C :

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,则圆心 C 的坐标为

; .

若直线 y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,则 k ?

16.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试]圆心在直线 x+2y ﹣3=0 上且与直线 x﹣y﹣1=0 切于点 B(2,3)的圆的方程为 .

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 17.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知双曲线 的一个焦点与抛线线

y 2 ? 4 10 x

的焦点

10 重合,且双曲线的离心率等于 3 ,则该双曲线的方程为



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x2 ? y2 ? 1 【答案】 9
【解析】抛线线

y 2 ? 4 10 x 的焦点 ( 10 , ) ? a 2 ? b 2 ? 10 . 0

e?

10 10 ? ? a ? 3? b ?1 a 3 .
2

18.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】若双曲线 x ?

y2 ? 1 的一个焦点与抛物线 m

y 2 ? 8 x 的焦点重合,则 m 的值为__________.

二.能力题 1.【安徽省 2013 届高三开年第一考】 “m>2”是“直线 x ? my ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相
2 2

交”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

2,.【2012-2013 学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】在平面直角坐标系 xOy 中,抛 2 物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上一点,若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准 线相切,且该圆面积为 9π ,则 p=( )
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A.2

B.4

C.6

D.8

【答案】B 【解析】∵△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为 9π ,∴圆的半径为 3 ∴ ∴p=4 故选 B. 2 3.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正方向的夹角为 60°,则△OAF 的面积为(

??? ?



A.

3 B.2 2

C.

3

D. 1

x2 y 2 4.[安徽省宣城市 6 校 2013 届高三联合测评考]已知双曲线 ? ? 1 的有焦点与抛物线 4 5

y 2 ? ax 的焦点重合,则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为(
A.4 【答案】B B.5 C.



5 2

D.

5 2

x2 y 2 【解析】 双曲线 ? ? 1 的右焦点为(3,0),∴抛物线的准线为 x ? ?3 ,代入双曲线方程 4 5
得y??

5 ,故所截线段长度为 5. 2
2

5.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】已知抛物线 y ? 2 px 的焦

点 F 与双曲线 线上且 | AK |?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物 7 9
2 | AF | ,则△ AFK 的面积为

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(A)4 【答案】D

(B)8

(C)16

(D)32

【解析】双曲线的右焦点为 (4, 0) ,抛物线的焦点为 (

p p , 0) ,所以 ? 4 ,即 p ? 8 。所以抛 2 2

物线方程为 y ? 16 x ,焦点 F (4, 0) ,准线方程 x ? ?4 ,即 K (?4, 0) ,设 A(
2

y2 , y) , 16

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知

AM ? AF ,所以 AK ? 2 AF ? 2 AM ,即 AM ? MK ,所以
理得 y ? 16 y ? 64 ? 0 ,即 ( y ? 8) ? 0 ,所以 y ? 8 ,所以
2 2

y2 整 ? (?4) ? y , 16

S ?AFK ?

1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 ,选 D. 2 2

6.【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、 a 2 b2

右焦点.若双曲线上存在 A,使 ?F1 AF2 ? 900 ,且 | AF1 | =3 | AF2 | ,则双曲线的离心率为

A. 5

B.

15 2

C.

10 2

D.

5 2

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7. 【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次
x 联考】过双曲线 a y2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线 2 b2 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? 与 A,B 两点,若 FA ? 2 FB , OB ? OA ? (OB ) 2 ,则双曲线的离心率为( ) ?
A.
2

2

B.

3

C. 2

D.

5

【答案】C

8.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣y =1 的左、 右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则|PF1|?|PF2|=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】法 1.由余弦定理得 cos∠F1PF2=

2

2

∴|PF1|?|PF2|=4 法 2; 由焦点三角形面积公式得: ∴|PF1|?|PF2|=4; 故选 B. 9. [2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考](5 分)已知点 M(﹣3,0) 、N (3,0) 、B(1,0) ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P, 则 P 点的轨迹方程为( ) A. B. C. D.

【答案】B 【解析】由题意画图如下 可见|MA|=|MB|=4,|ND|=|NB|=2,且|PA|=|PD|,
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那么|PM|﹣|PN|=(|PA|+|MA|)﹣(|PD|+|ND|)=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2<|MN|, 所以点 P 的轨迹为双曲线的右支(右顶点除外) , 2 又 2a=2,c=3,则 a=1,b =9﹣1=8, 所以点 P 的轨迹方程为 故选 B. (x>1) .

10.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试](5 分)如果双 曲线 A. (m>0,n>0)的渐近线方程渐近线为 y=± x,则双曲线的离心率为( B. C. D. )

11. 【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】在直线 l:y=x+1 与圆 C:x +y +2x﹣ 4y+1=0 相交于两点 A、B,则|AB|= . 【答案】D 2 2 【解析】∵圆 C:x +y +2x﹣4y+1=0
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2

2

∴(x+1) +(y﹣2) =4 即圆心 C(﹣1,2) ,半径为 2 则圆心 C(﹣1,2)到直线 l:y=x+1 的距离为 d= ∴( ) +(
2

2

2

=

) =2 解得|AB|=2

2

2

故答案为:2 12.[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考]已知 a>b>0,e1,e2 分别是圆 锥曲线 . 和 的离心率,设 m=lne1+lne2,则 m 的取值范围是

13.【安徽省 2013 届高三开年第一考】已知 小值为 【答案】4 【解析】

a 2 b2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0, xy ? 0) ,则 2 ? 2 的最 a2 b x y

a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 a 2 y 2 b2 x2 ? 2 ? ( 2 ? 2 ) ? 1 ? ( 2 ? 2 )( 2 ? 2 ) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 4 x2 y x y x y a b b x a y

a 2 b2 2 2 当且仅当 | x |? a , | y |? b 时取等号,所以 2 ? 2 的最小值为 4 x y 2 2
14.【2012-2013 学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考】过点(1,2)总可以作两条直 2 2 2 线与圆 x +y +kx+2y+k ﹣15=0 相切,则实数 k 的取值范围是 .

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15.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二 次联考】 若抛物线 y
物线焦点的距离为____ .
2

? 2 x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3 ,则点 M 到该抛

16.【2012-2013 学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考】已知双曲线 C: 右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于两点 A、B,若|AB|=5,则满足条件的 l 的条数为 【答案】3 【解析】若 AB 都在右支 2 2 2 若 AB 垂直 x 轴,a =4,b =5,c =9,∴F(3,0) ,∴直线 AB 方程是 x=3 代入 ,求得 y=± ,∴|AB|=5,满足题意;

的 .

若 A、B 分别在两支上,∵a=2,∴顶点距离=2+2=4<5,∴满足|AB|=5 的直线有两条, 且关于 x 轴对称 综上,一共有 3 条
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故答案为:3

17. 2012-2013 学年江西省南昌二中高三 【 (上) 第四次月考】 已知椭圆 的左焦点 F1,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,点 Q 在椭圆的右准线上,若 则椭圆的离心率为 .

【答案】

【解析】∵椭圆

的左焦点 F1,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,点 Q 在

椭圆的右准线上,

,∴PQ 平行于 x 轴,且 Q 点的横坐标为





知 Q 点在∠PF1O 角平分线上, 故有∠PF1O=2∠QF1O

令 P(

,y) ,Q(

,y) ,故

=



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18.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 两圆相交于两点 (1, 和 (m,? 1) ,两圆圆心都在直线 x ? y ? c ? 0 上,且 m、c 均为实数, 3) 则m?c ? 【答案】3 【解析】根据两圆相交的性质可知,两点 (1, 和 (m,? 1) 的中点 ( 3) .

1? m ,1) 在直线 2

x ? y ? c ? 0 上,并且过两点的直线与 x ? y ? c ? 0 垂直,故有

?1 ? m ? 2 ?1? c ? 0 ? ,? m ? 5, c ? ?2,? m ? c ? 3. ? 3 ? (?1) ? ?1 ? ?1 ? 1? m ?
19.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 圆心在直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(?2, 0) 、 B (?4, 0) ,则圆 C 的方程为 __________. 【答案】 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

【解析】直线 AB 的中垂线方程为 x ? ?3 ,代入 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,得 y ? 2 ,故圆心的坐标为

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C (?3, 2) , 再 由 两 点 间 的 距 离 公 式 求 得 半 径 r ?| AC |? 5 , ∴ 圆 C 的 方 程 为

( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5

21. 【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】已知抛物线 y =2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2).则|PA|+|PF|的最小值是 坐标 【答案】 . ,取最小值时 P 点的

2

7 , ( 2,2) 2 1 。过 P 做 PM 垂直于准线于 M 过 A 做 AN 垂直于准线于 N,则 2

【解析】抛物线的准线为 x ? ?

根据抛物线的定义知 PM ? PF ,所以 PA ? PF ? PM ? PF ? AN ,所以

1 7 PA ? PF ? AN 的最小值为 AN ,此时 A, P, N 三点共线。 AN ? 3 ? (? ) ? ,此 2 2
时 yP ? 2 ,代入抛物线得 xP ? 2 ,即取最小值时 P 点的坐标为 (2, 2) 。

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x2 2 22. 河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】 【 若点 O 和点 F -2,0) ( 分别是双曲线 2 ? y ? 1 a
( a ? 0 )的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 A.[ 3 ? 2 3 ,+∞) B.[ 3 ? 2 3 ,+ ∞) C.[-

??? ??? ? ?

7 ,+∞) 4

D.[

7 ,+ ∞) 4

23. 【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试 (零诊) 过双曲线 C: 】 (a>0,b>0)的一个焦点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,若垂足恰好在线段 OF 的垂直 平分线,则双曲线 C 的离心率是( ) A. B. C.2 D.

【答案】D 【解析】∵ ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y= x,

∵过其焦点 F(c,0)的直线 l 与 y= x 垂直, ∴l 的方程为:y=﹣ (x﹣c) ,

∴由

得垂足的横坐标 x=

=

=



∵垂足恰好在线段 OF 的垂直平分线 x= 上, ∴ = ,



=2, .

∴双曲线 C 的离心率 e=

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故选 D. 24.[安徽省宣城市 6 校 2013 届高三联合测评考]已知点 P ( x0 , y0 ) , 0: x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) , 圆 直线 l: x0 x ? y0 y ? r 2 ,有以下几个结论:①若点 P 在圆 O 上,则直线 l 与圆 O 相切;②若 点 P 在圆 O 外,则直线 l 与圆 O 相离;③若点 P 在圆 O 内,则直线 l 与圆 O 相交;④无论点 P 在何处,直线 l 与圆 O 恒相切,其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

25. 【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试 (零诊) 已知圆 C 的方程 x +y +mx 】 ﹣2y+ =0,如果经过点 A(﹣1,2)可作出圆 C 的两条切线,那么实数 m 的范围是 .

2

2

【答案】 (﹣4,1)∪(4,+∞) 【解析】当 A 点在圆外,则过 A 点的直线与圆 x +y +mx﹣2y+ 所以(﹣1) +2 ﹣m﹣4+
2 2 2 2

=0 有两条切线,

>0,并且 m +4﹣5m>0,

2

解答 m∈(﹣4,1)∪(4,+∞) . 26.【2012-2013 学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】已知 F(c,0)是双曲线 的右焦点,若双曲线 C 的渐近线与圆

相切,则双曲线 C 的离心率为



【答案】

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三.拔高题 1.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 如图,椭圆的中心在坐标原点 0,顶点分别是 A1, A2, B1, B2,焦点分别为 F1 ,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若 A. C 【答案】D. 【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 B1 F2 的方程为 为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 B. D.

? 2ac b ? a ? c ? ? bx ? cy ? bc ? 0 ,联立可得 P ? , ? ,又 A2 ? a, 0 ? , B1 ? 0, ?b ? , ?a?c a?c ?
∴ PB1 ? ?

????

? ? ?2ac ?2ab ? ???? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? , , ?, ? , PA2 ? ? a?c ? ? a?c a?c ? ? a?c

???? ???? ? ?2a 2 c ? a ? c ? 2ab 2 ? a ? c ? ? ? 0, ∵ ?B1 PA2 为钝角∴ PA2 ? PB1 ? 0 ,即 2 2 ?a ? c? ?a ? c?
?c? c 5 ?1 e? ? ? ? ?1 ? 0 2 2 2 2 a 2 或 化 简 得 b ? ac , a ? c ? ac , 故 ? a ? , 即 e ? e ?1 ? 0 ,
e? ? 5 ?1 5 ?1 ? e ?1 2 ,而 0 ? e ? 1 ,所以 2 .
2

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2.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一 个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是 ( A. )

2

B.

3

C.

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

3.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】设 A、B 为在双曲线

上两点, 为坐标原点.若 OA 丄 OB,则Δ AOB 面 积的最小值为______ O

a 2b 2 【答案】 2 b ? a2
【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ,则直线 OB 的方程为 y ? ?

1 x, k

? y ? kx a 2b 2 a 2b 2 k 2 ? 2 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? x 2 y 2 故 x1 ? 2 , , y12 ? 2 b ? a2k 2 b ? a2k 2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a
∴ OA ? x ? y
2 2 1 2 1

?1 ? k ? a b ?
2

2 2

b2 ? a 2k 2
2 2 2

,同理 OB
2 2 2

2

?1 ? k ? a b ?
2

2 2

k 2b 2 ? a 2



故 OA ? OB
2

2

?1 ? k ? a b ? ?1 ? k ? a b ?
b2 ? a 2k 2 k 2b 2 ? a 2

?

a 4b 4 ? a 2b 2 ? ? a 2 ? b 2 ? ?
2

?k

k2
2

? 1?

2

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k2

?k
2

2

? 1?

2

?

1 1 ? (当且仅当 k ? ?1 时,取等号) 1 k2 ? 2 ? 2 4 k

∴ OA ? OB ?
2

4a 4b 4

?b

2

? a2 ?

2

,又 b ? a ? 0 ,故 S ?AOB ?

a 2b 2 1 . OA ? OB 的最小值为 2 b ? a2 2

4.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长 轴端点的距离为 9,则椭圆 E 的离心率等于 .

5.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】 (本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , , ( 3 , 的距离之和等于 4 ,设点 P 的 0) 0) 轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理 由. 解. (Ⅰ) 由椭圆定义可知, P 的轨迹 C 是以 (? 3 , ,( 3 , 为焦点, 点 长半轴长为 2 的 0) 0) 椭圆.?????????????????????????????3 分 故曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ???????????????????5 分 4

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. ???????????????????6 分
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因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?

6.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】 (本小题 14 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 M (0,2) ,离心率 e ? . 2 3 a b

(Ⅰ)求椭圆的方程;

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(Ⅱ)设过定点 N (2,0)的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 斜率的取值范围. 解: (Ⅰ)由题意得 b ? 2,

c 6 ? a 3

结合 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 12

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 4

7.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试](12 分)在平 面直角坐标系 xOy 中, P 0, , A 在 x 轴上, B 在 y 轴非负半轴上, M 满足: =2 点 ( ﹣1)点 点 点 =0 (Ⅰ)当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C 上一点,直线 l 过点 Q 且与曲线 C 在点 Q 处的切线垂直,l 与 C 的另一个 交点为 R,若以线段 QR 为直径的圆经巡原点,求直线 l 的方程. ,

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解: (Ⅰ)设 A 坐标是(a,0) 坐标是(x,y) ,M ,B(0,b) ,则 b) , ∵ ∵ =(a,1) =2

=(x﹣a,y) ,

=(﹣a,

,∴有(x﹣a,y)=2(﹣a,b) ,即有 x﹣a=﹣2a,y=2b,即 x=﹣a,y=2b =0,∴有 a(x﹣a)+y=0
2

∴﹣x(x+x)+y=0,∴﹣2x +y=0 2 即 C 的方程是 y=2x ;

8.[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考](12 分)一直线过抛物线 y =2px (p>0)的焦点 F,且交抛物线于 A,B 两点,C 为抛物线准线的一点. (1)求证:∠ACB 不可能是钝角; (2)是否存在这样的点 C,使得△ABC 为正三角形?若存在,请求出点 C 的坐标;若不存在, 请说明理由.

2

解:设 直线 AB 方程为





,得:y ﹣2pty﹣p =0,

2

2

则 ∴ .

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, ∴ ∴ 不可能为钝角,

故∠ACB 不可能是钝角 (2)假设存在点 C,使得△ABC 为正三角形

9.【惠州市2013届高三第三次调研考试】 (本小题满分14分)设椭圆

M:

x2 y 2 ? ?1 a ? 2 a2 2

?

?

的右焦点为 F1 , 直线

l:x?

a2 a ? 2 与 x 轴交于点 A ,若
2

???? ???? OF1 ? 2 F1 A

(其中 O 为坐标原点) .

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径( E 、 F
2 2

为直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

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A(
解: (1)由题设知,

a2 a2 ? 2
2

, 0)


F1

?

a2 ? 2 , 0

? ,????????????1分

? a2 ? ???? ???? a ? 2 ? 2? ? a2 ? 2 ? ? 2 ? OF ? 2 AF1 ? 0 ,得 ? a ?2 ? ,??????????3分 由 1
解得 a ? 6 .
2

x2 y2 M: ? ?1 6 2 所以椭圆 M 的方程为 .???????????4分

方法2:设点

E ( x1 ,1 ) , ( x2 , 2 ) , P( x0 , 0 ) , y F y y

? x2 ? ? x1 , ? E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ? y2 ? 4 ? y1. ???????????????6分 因为 ??? ??? ? ? PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 )
所以 ?????????????7分

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0

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2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .???????????????9分

因为点 E 在圆 N 上,所以

x12 ? ( y1 ? 2) 2 ? 1 ,即 x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3 .??????10分

2 2 x0 y0 ? ?1 2 x 2 ? 6 ? 3 y0 .??????????11分 2 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 6 ,即 0

所以 PE ? PF 因为

??? ??? ? ?

2 ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 .??????????????12分

y0 ? [? 2 , 2] ,所以当 y0

? ?1 时, ? PE ? PF ?

??? ??? ? ?

min

? 11

.?????????14分

因为

y0 ? ? ? 2, 2 ? ? ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11.?????11分

?x ? 0 ? 2 2 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ? x ? ( y ? 2) ? 1 ,解得 y ? 1 或 ②若直线
y ? 3.
不妨设,

E ? 0 ,? 3



F ? 0 ,? 1



????????????????12分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点

P ? x0 , 0 ? y



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x0 y 2 2 ? 0 ?1 x ? 6 ? 3 y0 . 2 所以 6 ,即 0 ??? ? ??? ? PE ? ? ? x0 , ? y0 ? PF ? ? ? x0 ,? y0 ? 3 1
所以 ,

2

2



??? ??? ? ? PE ? PF ? x0 2 ? y0 2 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 . 所以
因为

y0 ? ? ? 2 , 2 ? ? ?

,所以当

y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11.?????13分

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.????????????????14 分

10.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】(本小题满分 12 分)

已知点 F( 1,0),

与直线 4x+3y + 1 =0 相切,动圆 M 与

及 y 轴都相切.

(I )求点 M 的轨迹 C 的方程;

(II)过点 F 任作直线 l,交曲线 C 于 A,B 两点,由点 A,B 分别向 点 分别为 P,Q,记 .求证 是定值.

各引一条切线,切

(Ⅱ)对于(Ⅰ)中(1)的情况:

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当 l 不与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,由 ?

? y ? k ? x ? 1? ?
2 ? y ? 4x ?



k 2 x 2 ? ? 2k 2 ? 4 ? x ? k 2 ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?
∴ sin ? ? sin ? ?

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 k2

1 1 1 1 x1 ? x2 ? 2 x ? x2 ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? 1, AF BF x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 1 ? x1 ? x2 ? 1

当 l 与 x 轴垂直时,也可得 sin ? ? sin ? ? 1 , 对于(Ⅰ)中(2)的情况不符合题意(即作直线 l ,交 C 于一个点或无数个点,而非两 个交点). 综上,有 sin ? ? sin ? ? 1 . 11.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 ?12 分

x2 y 2 。 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1(3,0) a 2 b2

(I)设 P 是椭圆上任意一点, d ?| PF2 |? D ,其中 d,D 为常数,且 d+D=6 2 ,求椭圆的 方程; (II)设直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF1, BF2 的中点,若坐标原 点 O 在以 MN 为直径的圆上,运用椭圆的几何性质证明线段|AB|的长是定值、

12.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】 (本小题满分 14 分) 如图 5, 已知抛物线 P : y 2 ? x ,直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B 两点,

uur uuu uuu r r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
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(1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值.

(本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与 方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设 M x, y , A y1 , y1 , B y2 , y2 ,
2 2

?

?

?

? ?

?

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点.
2 y12 ? y2 ? ∴x ? 2

??? ?

??? ?

????

????? 2 分

?y

1

? y2 ? ? 2 y1 y2
2

2

,①

????? 3 分

y ?

y1 ? y2 . 2
∴ OA ? OB ? 0 .



????? 4 分

∵ OA ? OB ,
2 2

??? ??? ? ?

∴ y1 y2 ? y1 y2 ? 0 . 依题意知 y1 y2 ? 0 , ∴ y1 y2 ? ?1 . 把②、③代入①得: x ? ③

????? 5 分

????? 6 分

1 4 y2 ? 2 2 ,即 y ? ? x ? 1? . 2 2
? 1 ? x ? 1? . 2

????? 7 分

∴点 M 的轨迹方程为 y

2

????? 8 分

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解法二: (1)解:依题意,知直线 OA,OB 的斜率存在,设直线 OA 的斜率为 k , 由于 OA ? OB ,则直线 OB 的斜率为 ? ????? 1 分
O

y

1 . k
M

A

C x

1 故直线 OA 的方程为 y ? kx ,直线 OB 的方程为 y ? ? x . k
由?

B

? y ? kx,
2 ? y ? x.

消去 y ,得 k x ? x ? 0 .
2 2

解得 x ? 0 或 x ?

1 . k2

????? 2 分

∴点 A 的坐标为 ?

? 1 1? , ?. 2 ?k k?

????? 3 分

同理得点 B 的坐标为 k ,? k .
2

?

?

????? 4 分

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点. ????? 5 分

??? ?

??? ?

????

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(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

??? ??? ? ? S ? OA OB ?
1 k2

? 1 ? ?1? ? 2? ?? ? ? ?k ? ?k?

2

2

?k ?
2

2

? ? ?k ?

2

????? 9 分

?

2 ? k2 ?

????? 10 分

?

2 ? 2 k2 ?

1 k2

????? 11 分 ????? 12 分

? 2.
当且仅当 k
2

?

1 2 ,即 k ? 1 时,等号成立. k2

????? 13 分 ????? 14 分 图5

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 .

13.【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】已知点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) , 若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | . (1)求动点 P 的轨迹 C ; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小.

???? ???? ?

??? ?

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依题意得 ? ? 0 ,即 4m ? 16( m ? 12 ) ? 0 ,故 m 2 ? 16 ,解得 m ? ?4 .
2 2

当 m ? 4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线与 l1 的距离 d ?

| 4 ? 12 | 16 5 . ? 5 1? 4

当 m ? ?4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线与 l1 的距离 d ?

| ?4 ? 12| 8 5 . ? 5 1? 4

由于

8 5 16 5 8 5 ,故曲线 C 上的点 Q 到直线的距离的最小值为 .?12 分 ? 5 5 5
2

当 m ? ?4 时,方程(*)化为 4 x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 1 . 由 1 ? 2 y ? 4 ? 0 ,得 y ? ∴曲线 C 上的点 Q (1 ,

3 3 ,故 Q (1 , ) . 2 2
??? 14 分

??? 13 分

3 ) 到直线的距离最小. 2

14.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 (本小题满分 14 分) 已知两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0, C2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 的圆心分别为 C1 , C2 , P 为一个动
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点,且 | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 . (1)求动点 P 的轨迹 M 的方程; (2)是否存在过点 A(2, 0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两点 C、D,使得 | C1C |?| C1 D | ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

(ii)设直线 l 斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)

(8 分)

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 由方程组 ? 2 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?
依题意 ? ? ?8(2k ? 1) ? 0 解得 ?
2

(9 分)

2 2 ?k? 2 2

(10 分)

当?

2 2 时,设交点 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) ,CD 的中点为 N ( x0 , y0 ) , ?k? 2 2

方程①的解为 x1 ?

x ? x2 4k 2 8k 2 ? ? 8k 2 ? ? ? 2 ,则 x0 ? 1 , x2 ? 2 2k ? 1 4k 2 ? 2 4k 2 ? 2

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15.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】已知两圆

C1 : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, C2 : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 的圆心 分别为 C1 , C2 , P 为一个动点, 且直线

PC1 , PC2 的斜率之积为 ?

1 2

(1)求动点 P 的轨迹 M 的方程; (2)是否存在过点 A(2, 0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的 两点 C、D,使得 | C1C |?| C1 D | ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (1)两圆的圆心坐标分别为 C1 (0,1), 和 C2 (0, ?1) 设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则直线 PC1 , PC2 的斜率分别为 (1 分)

y ?1 y ?1 ( x ? 0) 和 ( x ? 0) x x
由条件得

(3 分)

x2 y ?1 y ?1 1 ? ? ? ( x ? 0) ,即 ? y 2 ? 1( x ? 0) 2 x x 2 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 2
(6 分)

所以动点 P 的轨迹 M 的方程为 注:无“ x ? 0 ”扣 1 分

(2)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(2, 0) 在椭圆 M 的外部,当直线 l 的斜率不存 在时,直线 l 与椭圆 M 无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k , 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)
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(7 分)

? x2 2 ? ? y ?1 由方程组 ? 2 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?

x2 y 2 16. 河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】 【 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 a b
( a ? b ? 0 )的长轴长为 4,离心率为 直线 x ? ?1 相切.

1 , F1 , F2 分别为其左右焦点.一动圆过点 F2 ,且与 2

(Ⅰ)(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求动圆圆心轨迹 C 的方程; (Ⅱ)在曲线 C 上有两点 M,N,椭圆 C1 上有两点 P,Q,满足 MF2 与 NF2 共线, PF2 与 QF2 共 线,且 MF2 ? PF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值.
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?????

???? ?

???? ?

???? ?

????? ???? ?

17.【2012-2013 学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考】已知半径为 6 的圆 C 与 x 轴相 切,圆心 C 在直线 3x+y=0 上且在第二象限,直线 l 过点 P(2,14) . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点且 ,求直线 l 的方程. 解: (I)由题意,设圆心 C(m,﹣3m) (m<0)圆 C 的半径 r=6, 又圆 C 和 x 轴相切,则 r=6=|﹣3m| 2 2 即 m=±2,所以 m=﹣2,所以圆 C 的方程为(x+2) +(y﹣6) =36

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(II)设 l 方程为 y﹣14=k(x﹣2) ,由 d=

=

=4

∴k= 又 l 方程为 x=2 时也符合题意,故所求直线方程 l 的方程为 x=2 或 3x﹣4y+50=0 18.【2012-2013 学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考】如图,F1,F2 是离心率为 的

椭圆 C:

(a>b>0)的左、右焦点,直线 l:x=﹣ 将线段 F1F2 分成两段,其长度

之比为 1:3.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在点 M,使以 PQ 为直径的圆经过点 F2,若存在,求出 M 点坐标,若不存在,请 说明理由.

解: (Ⅰ)设 F2(c,0) , ∵直线 l:x=﹣ 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1:3,



,解得 c=1.

∵离心率为 e=

,∴a=

, .

∴椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 的方程为 x=﹣ , 此时 P(﹣ ,0) ,Q( ,0) , =﹣1,不合题意.

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设存在点 M(﹣ ,m) ,m≠0, 设直线 AB 的斜率为 k,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
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,得



则﹣1+4mk=0,故 k=



此时,直线 PQ 的斜率为 k1=﹣4m, PQ 的直线方程为 y﹣m=﹣4m(x+ ) ,即 y=﹣4mx﹣m.

联立

,消去 y,整理,得(32m +1)x +16m x+2m ﹣2=0.

2

2

2

2



,x1x2=



由题意 ∴

=0, =(x1﹣1) 2﹣1)+y1y2 (x

=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m) (4mx2+m) 2 2 2 =(1+16m )x1x2+(4m ﹣1) 1+x2)+1+m (x = + +1+m
2

=

=0,

∴m=

. ,

∵M 在椭圆内,∴ ∴m= 符合条件.

综上所述,存在两点 M 符合条件,坐标为 M(﹣ ,﹣

)和 M(﹣ ,

) .

19.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 (本小题满分 13 分) 已 知 F (1,0) , P 是 平 面 上 一 动 点 , P 到 直 线 l : x ? ?1 上 的 射 影 为 点 N , 且 满 足

???? 1 ???? ???? ( PN ? NF ) ? NF ? 0 2 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;
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(Ⅱ)过点 M (1, 2) 作曲线 C 的两条弦 MA, MB , 设 MA, MB 所在直线的斜率分别为 k1 ,k2 , 当 k1 ,k2 变化且满足 k1 ? k2 ? ?1 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点坐标.

20.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 (本小题满分 12 分) 椭圆
x a
2 2

?

y b

2

2

? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P ( a , b) 满足 PF2 ? F1 F2 .

(1)求椭圆的离心率 e ; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A、B 两点,若直线 PF2 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 16 相交于
M 、N 两点,且 MN ?
5 8 AB ,求椭圆的方程.

解:(1)设 F1 (?c, 0)、F2 (c, 0)(c ? 0) ,因为 PF2 ? F1 F2 , 所以 (a ? c) 2 ? b 2 ? 2c . ?????????????????????????2 分

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整理得 2( c ) 2 ? c ? 1 ? 0 ,得 c ? ?1 (舍),或 c ? 1 .

a

a

a

a

2

所以 e ?

1 .????????????????????????????????4 分 2

21.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合, 2 a b
5 . 3

椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P , PF ? (1)求椭圆 C1 的方程;

(2) 若过点 A ? ?1, 0 ? 的直线与椭圆 C1 相交于 M 、 N 两点,求使 FM ? FN ? FR 成立的动

???? ???? ?

??? ?

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点 R 的轨迹方程; (3) 若点 R 满足条件(2),点 T 是圆 x ? 1

?

?

2

? y 2 ? 1 上的动点,求 RT 的最大值.

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与 转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

解法 2: 抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为 ?1, 0 ? , 设点 P 的坐标为 x0 , y0 , x0 ? 0, y0 ? 0 . ∵ PF ?

?

?

5 , 3

∴ x0 ? 1

?

?

2

2 ? y0 ?

25 . 9



????? 1 分

∵点 P 在抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 上,

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∴ y0 ? 4 x0 .
2



解①②得 x0 ?

2 2 6 , y0 ? . 3 3
?2 2 6? . ?3, 3 ? ? ? ?
????? 2 分

∴点 P 的坐标为 ?

∵点 P 在椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2



4 8 ? 2 ?1. 2 9a 3b

????? 3 分

又 c ? 1 ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 1 , 解得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

????? 4 分

∴椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

????? 5 分

设 FR 的中点为 Q ,则 Q 的坐标为 ?

? x ?1 y ? , ?. ? 2 2?

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∵ M 、 N 、 Q 、 A 四点共线,

∴ k MN

y y1 ? y2 y 2 . ? ? ? k AQ , 即 x1 ? x2 x ? 1 ? 1 x ? 3 2



????? 8 分

把④式代入③式,得

3 ? x ? 1? y ?? , x?3 4y

化简得 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 . 当 x1 ? x2 时,可得点 R 的坐标为 ? ?3, 0 ? , 经检验,点 R ? ?3, 0 ? 在曲线 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 上. ∴动点 R 的轨迹方程为 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 .

?

?

????? 9 分

?

?

?

?

????? 10 分

∵ FM ? FN ? FR , ∴ x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y . ∴ x ? 1 ? x1 ? x2 ? ?

???? ???? ?

??? ?

8k 2 , 3 ? 4k 2



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y ?

6k . 3 ? 4k 2
3 ? x ? 1? 4y




????? 7 分

① ? ②得 k ? ?



????? 8 分

把③代入②化简得 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 . (*) 当直线 MN 的斜率不存在时,设直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 依题意, 可得点 R 的坐标为 ? ?3, 0 ? , 经检验,点 R ? ?3, 0 ? 在曲线 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 上. ∴动点 R 的轨迹方程为 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 .

?

?

????? 9 分

?

?

?

?

????? 10 分

22.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】如图,过抛物线 x =4y 的对称轴上任 一点 P(0,m) (m>0)作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. (I)设点 P 分有向线段 所成的比为 λ ,证明:

2

(II)设直线 AB 的方程是 x﹣2y+12=0,过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线, 求圆 C 的方程.

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【解析】 (Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为 y=kx+m,代入抛物线方程 x =4y 得 x ﹣4kx﹣4m=0.① 设 A、B 两点的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2) 、 ,则 x1、x2 是方程①的两根. 所以 x1x2=﹣4m. 由点 P(0,m)分有向线段 得 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点, 故点 Q 的坐标是(0,﹣m) ,从而 . 所以 所成的比为 λ ,

2

2

23.【广东省华附、省实、广雅、深中 2013 届高三上学期期末四校联考】 (本题满分 14 分)
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若 A 、 B 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的不同两点,弦 AB (不平行于 y 轴)的垂直平分线与 x 轴相 交于点 P ,则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.; (I)求点 P (4,0) 的“相关弦”的中点的横坐标; (II)求点 P (4,0) 的所有“相关弦”的弦长的最大值。 【解析】 (I)设 AB 为点 P (4,0) 的任意一条“相关弦”,且点 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则
2 y12 ? 4x1 , y 2 ? 4x 2

弦 AB 的垂直平分线方程为 y ?

y1 ? y 2 x ? x2 x ? x2 ?? 1 (x ? 1 ), 2 y1 ? y 2 2

由题它与 x 轴相交于点 P (4,0) 令y ?0? 4?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? 2 x1 ? x 2 2

所以, 4 ?

4( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 x ? x2 x ? x2 ? ? 4 ? 2? 1 ? 1 ?2 2( x1 ? x 2 ) 2 2 2

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24.【河北省唐山市 2012—201 3 学年度高三年级期末考试】 设圆 F 以抛物线 P: y ? 4 x 的焦点 F 为圆心,且与抛物线 P 有且只有一个公共点.
2

(I)求圆 F 的方程; (Ⅱ)过点 M (-1,0)作圆 F 的两条切线与抛物线 P 分别交于点 A,B 和 C,D,求经过 A, B,C,D 四点的圆 E 的方程. 解: (Ⅰ)设圆 F 的方程为(x-1) +y =r (r>0) . 2 2 2 将 y =4x 代入圆方程,得(x+1) =r ,所以 x=-1-r(舍去) ,或 x=-1+r. 圆与抛物线有且只有一个公共点,当且仅当-1+r=0,即 r=1. 2 2 故所求圆 F 的方程为(x-1) +y =1. ?4 分 (Ⅱ)设过点 M (-1,0)与圆 F 相切的斜率为正的一条切线的切点为 T. 连结 TF,则 TF⊥MT,且 TF=1,MF=2,所以∠TMF=30°. ?6 分 2 2 直线 MT 的方程为 x= 3y-1,与 y =4x 联立,得 y -4 3y+4=0. 记直线与抛物线的两个交点为 A (x1,y1)、B (x2,y2),则 y1+y2=4 3,y1y2=4,x1+x2= 3(y1+y2)-2=10. ?8 分
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2 2 2

从而 AB 的垂直平分线的方程为 y-2 3=- 3(x-5). 令 y=0 得,x=7.由圆与抛物线的对称性可知圆 E 的圆心为 E (7,0).?10 分 2 2 2 |AB|= (x1-x2) +(y1-y2) ]= (1+3)[(y1+y2) -4y1y2]=8 2. 7-0+1 2 2 又点 E 到直线 AB 的距离 d= =4,所以圆 E 的半径 R= (4 2) +4 =4 3. 2 2 2 因此圆 E 的方程为(x-7) +y =48. ?12 分
y B

A M C

T OF x

D

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