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辅导:三角函数的图象和性质


三角函数的图象和性质专题练习
一、选择题 1.在下列函数中,同时满足:①在 ? 0,

? ?

? ?

? 上递增;②以 2? 为周期;③是奇函数的是( ). 2?
C. y ? tan

A. y ? tan x 2.设 a ? sin

B. y ? c

os x , b ? cos

x 2

D. y ? ? tan x ) D. b ? a ? c

5? 7

2? 7

, c ? tan

2? 7

,则(

A. a ? b ? c 3. 函数 y ? cos A、 ?? 1,1?
2

B. a ? c ? b

C. b ? c ? a

x ? sin x 的值域是 ( )
B、 ?1, 5 ?
? 4? ? ?

C、 ?0 , 2 ?

D、 ? ? 1, 5 ?
? ? 4? ?

4- A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sin A ? cos A ? A. 锐角三角形 5、函数 y ?

12 25

,则这个三角形的形状为

( )

B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 ( )

2 cos x ? 1 的定义域是
?
3 , 2k? ?

A. 2 k ? ?

? ? ?

?? (k ? Z ) 3? ?
2? ? 3 ? ? (k ? Z )

B. 2 k ? ?

? ? ?

?
6

, 2k? ?

?? (k ? Z ) 6? ?
2? ? 3 ? ? (k ? Z )

C. 2 k ? ?

? ? ?

?
3

, 2k? ?

D. 2 k ? ?

? ? ?

2? 3

, 2k? ?

π 6.函数 f(x)=lgsin( -2x)的一个增区间为( ) 4 3π 7π 7π 9π 5π 7π 7π 3π A.( , ) B.( , ) C.( , ) D.(- ,- ) 8 8 8 8 8 8 8 8 π π 7.给定性质:(1)最小正周期为π,(2)图象关于直线 x= 对称,(3)图象关于点( ,0)对称,则下列四 3 12 个函数中,同时具有性质(1),(2),(3)的是( ) x π π π A.y=sin( + ) B.y=sin(2x+ ) C.y=|sinx| D.y=sin(2x- ) 2 6 6 6 8.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

9.下列说法只不正确的是

(

)

(A) 正弦函数、余弦函数的定义域是 R,值域是[-1,1]; (B) 余弦函数当且仅当 x=2kπ( k∈Z) 时,取得最大值 1; (C) 余弦函数在[2kπ+

?
2

,2kπ+

3? 2

]( k∈Z)上都是减函数;

(D) 余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k∈Z)上都是减函数 10.函数 f(x)=sinx-|sinx|的值域为 (A) {0}
0

( (C) [0,1] (D) [-2,0] ( (D) b> c> a (
0

)

(B) [-1,1]
0

11.若 a=sin46 ,b=cos46 ,c=cos36 ,则 a、b、c 的大小关系是 (A) c> a > b 12. 对于函数 y=sin(
13 2

)

(B) a > b> c

(C) a >c> b

π-x) ,下面说法中正确的是 (B) 函数是周期为 π 的偶函数 (D) 函数是周期为 2π 的偶函数

)

(A) 函数是周期为 π 的奇函数 (C) 函数是周期为 2π 的奇函数

13. 函 数 y=2cosx(0≤x≤2π) 的 图 象 和 直 线 y=2 围 成 一 个 封 闭 的 平 面 图 形 , 则 这 个 封 闭 图 形 的 面 积 是 (
*

)

(A) 4

(B)8

(C)2π

(D)4π ( )

14.为了使函数 y= sinωx(ω>0)在区间[0,1]是至少出现 50 次最大值,则 ? 的最小值是 (A)98π (B)
197 2

π

(C)

199 2

π

(D) 100π ( (D) B+C >
?
2

15.已知 A ,B ,C 是△ ABC 的三个内角, 且 sinA>sinB>sinC,则 (A) A>B>C (B) A<B<C (C) A+B >
?
2

)

16.在平面直角坐标系中,已知两点 A(cos800,sin800),B(cos200,sin200),则|AB|的值是 (A)
1 2

(

)

(B)

2 2

(C)

3 2

(D) 1

17. 02 年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 θ,大正方形的 面积为 1,小正方形的面积是
1 25

,则 sin2θ-cos2θ 的值是
7 25

(

)
7 25

(A) 1

(B)

24 25

(C)

(D) -

A

18.D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角 分别是 α、 β(α>β),则 A 点离地面的高度等于 (A)
a tan ? tan ? tan ? ? tan ?

( (D)
a

)

(B)

a tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

(C)

a tan ? tan ? ? tan ?

1 ? tan ? tan ?

C

β

D

α

B

19.甲、乙两人从直径为 2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙 速的两倍,乙绕池一周为止,若以 θ 表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离,则 l=f(θ) 的图象大致是
2r

(
2r

)
2r

l
?
2

l

l

2r

l

o

π

θ

A -2

o π B π

2π θ

o 2π 4π θ C

o π
-2r

2π θ

D

I
20.电流强度 I (安培)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)的图象如图 所示,则当 t= (A)0
7 120

10
4 300

秒时的电流强度 (B)10 (C)-10 (D)5

(

)

o1

21.为了得到函数 y ? sin(2 x ? (A)向左平移

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ?
(B)向右平移

?
6

-10
) 的图像

300

x

t

?
4

个长度单位

?
4

个长度单位

(C)向左平移
二. 填空题

?
2

个长度单位

(D)向右平移

?
2

个长度单位

1.函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 2.函数 y=cos(sinx)的奇偶性是 3. 函数 f(x)=lg(2sinx+1)+
2

. . ; .

2 cos x ? 1 的定义域是

4.关于 x 的方程 cos x+sinx-a=0 有实数解,则实数 a 的最小值是 5.三角形的内角 x 满足 2cos2x+1=0 则角 x= ;

6. 一个扇形的弧长和面积的数值都是 5,则这个扇形中心角的度数是

;

7. 设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(小时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=k+Asin(ωt+φ)的图象.则一个能近似表示表中数 据间对应关系的函数是 .

8.直径为 10cm 的轮子有一长为 6cm 的弦,P 是该弦的中点,轮子以 5 弧度/秒的角速度旋转,则经过 5 秒 钟后点 P 经过的弧长是 9.若 sin ? ? ? . .

4 5

, tan ? ? 0 ,则 cos ? ?

π 2 10.已知函数 f(x)=Acos (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的最大值为 4,f(x)的图象在 y 轴上的截距为 2, 2 其相邻两对称轴间的距离为 1,则 f(1)+f(2)+…+f(2010)=________. 三. 解答题 1.用“五点法”画出函数 y=
1 2

sinx+2, x∈[0,2π]的简图.

2.已知函数 y= f(x)的定义域是[0,

1 4

],求函数 y=f(sin2x) 的定义域.

3. 已知函数 f(x) =sin(2x+φ)为奇函数,求 φ 的值.

4.已知 y=a-bcos3x 的最大值为

3 2

,最小值为 ?

1 2

,求实数 a 与 b 的值.

5.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现:该商品的出厂价格是在 6 元基 础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4 元;而该商品在商 店的销售价格是在 8 元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知 5 月份销售价最高为 10 元.9 月份销售 价最低为 6 元.假设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月能售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.

8m 6.一个大风车的半径为 8 米,12 分钟旋转一周,它的最低点 离地面 2 米,求风车翼片的一个端点离地面距离 h(米)与时间 t(分钟)之间的函数关系式. 2m

P
h

7.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)证明棒长 L (θ)= (2)当 θ∈(0,
?
2
9 5 sin ? ? 6 5 cos ?

1.2m ;

θ

)时,作出上述函数的图象(可用计算器或计算机) ; 1.8m

(3)由(2)中的图象求 L (θ)的最小值; (4)解释(3)中所求得的 L 是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

8. 如图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式: I = (1)根据图象写出 I =

As in( ? t ? ? ) 在同一周期内的图象。

As in( ? t ? ? ) 的解析式;

1
(2)为了使 I =

As in( ? t ? ? ) 中 t 在任意-段 100 秒的时间内电

流 I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数 ? 的最小值是多少?

三角函数的函数的图象和性质部分答案 一、9-14 CDADDB 15-20 ADDABA

二、1.sin2>sin1>sin3>sin4;

2.偶函数;

3. 2kπ-

?
6

<α≤2kπ+

?
3

,( k∈Z); 4.-1.

5.

?
3



2? 3

;

6.

5 2

rad;
1 4

7. y=12+3sin
1 2

?
6

x;

8.100cm;

三、1.略

2.解 sin2x≤

,即-

≤sinx≤

1 2

得:kπ-

?
6

≤α≤kπ+
3 2 1 2

?
6

( k∈Z)

3. φ= kπ ( k∈Z)

4.解:∵ 最大值为 a+|b|,最小值为

? ? a ? | b |? ? a-|b|∴ ? ? a ? | b |? ? ?

∴ = ,b=±1 a
2

1

5.解:设 y 1 为进价, y 2 为售价,则 y 1 ? 6 ? 2 sin( 利润 y ? m { 8 ? 2 sin(

?
4

x?

?
4

) , y 2 ? 8 ? 2 sin(

?
4

x? 2 sin

3? 4

), x)

?
4

x?

3? 4

) ? [ 6 ? 2 sin(

?
4

x?

?
4

)] }= 2 m (1 ?

?
4

所以当 x ? 6 时取到最大值 2 m (1 ?

2 ) 即估计是六月份月盈利最大..

y
6. 以最低点的切线为 x 轴,最低点为原点,建立直角坐标系。设 P(x(t), y(t))则 h(t)= y(t)+2,又设 P 的初始位置在最低点,即 y(0)=0, 在 Rt△O1PQ 中,∠OO1P=θ,cosθ= 而 7. 略.
2? 12
8 ? y (t ) 8

,∴y(t)= -8cosθ+8,

O Q 1
t +10

=

?
t

,∴θ=

?
6

t ,∴y(t)= -8cos

?
6

t +8, ∴h (t)= -8cos

?
6

P x

O

8.解: (1)由图知 A=300,

t1 ? ?

1 300 ,

t3 ?

1 150

? T ? 2( t 3 ? t 1 ) ? 2( ?? ? 2? T ? 100 ?

1 150

?

1 300

)?

1 50



?t1 ? ? ? 0 得

? ? ?? t 1 ?

?
3

? I ? 300 sin( 100 ? t ?

?
3

)

T
(2)问题等价于 2

?

1

T

100 ,即 ?

?

1 100

? ? ? 100 ? ,∴正整数 ? 的最小值为 314。


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