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福建省师大附中2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理

时间:2015-11-30


福建师大附中 2014-2015 学年第二学期半期考试卷 高二数学选修 2-2(理科)
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷. 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求) 1.已知复数 z 的共轭复数 z =1+2i(i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点

位于 ( ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f ( x) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是 函数 f ( x) 的极值点,因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是函 数 f ( x) ? x3 的极值点.以上推理中( ) A.大前提错误 B.小前提错误
2

C.推理形式错误

D.结论正确

3. 用反证法证明命题“设 a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做 的假设是(
2

) B.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
2

A.方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根 C.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根
2
*

D.方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根
2

4.如果命题 p(n)对 n=k(k∈N )成立,则它对 n=k+2 也成立.若 p(n)对 n=2 也成立,则 下列结论正确的是( ) B.p(n)对所有正偶数 n 都成立 D.p(n)对所有自然数 n 都成立

A.p(n)对所有正整数 n 都成立 C.p(n)对所有正奇数 n 都成立

5.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方 法共有 ( A.10 种 ) B.20 种 C.25 种 D.32 种 ) D. y ? 2 x ? 1 )

x 6.曲线 y ? 在点 (?1,?1) 处的切线方程为( x?2
A. y ? ?2 x ? 3
2

B. y ? ?2 x ? 2

C. y ? 2 x ? 1

7. 直线 l 过抛物线 C: x =4y 的焦点且与 y 轴垂直, 则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( A. 4 3 B.2 8 C. 3 D. 16 2 3

1

8.设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如右图所示,则 y ? f ( x) 的 y 图象最有可能是下图中的( y y ) y 1 1 -2
O

y O -1 O1 2 x 2

f ?( x )

x

-2 2 x
O

1 2 x

-2
O

2 1 x

-2

A
2 1

B
2 1 2

C

D )

2 ?1 ? x 9.若 S1=? ? x dx,S2=? dx,S3=? e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为(

x

1

A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1

B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1 )

10.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若|z1-z2|=0,则 z1 = z2

B.若 z1= z2 ,则 z1 =z2 D.若|z1|=|z2|,则 z1=z2
2 2

C.若|z1|=|z2|,则 z1· z1 =z2· z2

11 .设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点 , 以下结论一定正确的是 ( ) B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点

1 ) ? 1 . 现给出关于函 12. 定义在 (0, ??) 上的可导函数 f ( x ) 满足 xf ?( x) ? f ( x) ? x , 且 f(
数 f ( x ) 的下列结论: ①函数 f ( x ) 在 ( , ??) 上单调递增 ③函数 f ( x ) 有且只有一个零点 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 13.设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=____

1 e

②函数 f ( x ) 的最小值为 ?

1 ; e2
2

④对于任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? x

C.3 ____.

D.4

2

14.函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为 2

.

15.若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0, 则点P 的坐标是_______. 16. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 加上的项为____
2

n4+ n2
2

, 则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上

____.

17.现有 4 种不同的颜色要对如图所示的 5 个区域进行着色,要求相邻区域不使用同 一种颜色,则有________种不同的着色方法.

18.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,将直线 y ?
1

x 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形绕 x 2

2 x ? 31 ? 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V ? ? ? ( ) dx ? x ? 0 2 12 0 12

据此类比:将曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该 旋转体的体积 V= .

2

第 18 题图 三、解答题: (本大题共 4 题,共 60 分) 19.(本小题满分 15 分) 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的 方法种数: (用数字作答) (1)选其中 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体站成一排,3 名男生必须相邻且 4 名女生也必须相邻; (4)全体站成一排,3 名男生互不相邻; (5)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾.

20.(本小题满分 15 分)数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N ) (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

*

3

21. (本小题满分 15 分)设函数

f ( x) ? ln x ?

m ,m? R . x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ( x) ?

f ( x) 的最小值;

x f '( x) ? 零点的个数. 3
(a、b ? R) .

22.(本小题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3b2 x

(Ⅰ)若 a ? 1, b ? 0 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 b ? 1 时,若函数 f ( x ) 在 ? -1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 0 ? a ? b ,不等式 f ( 值.

1 ? ln x k ) ? f ( ) 对任意 x ? (1, ??) 恒成立,求整数 k 的最大 x ?1 x

4

福建师大附中 2014-2015 学年第二学期半期考试卷(选修 2-2)参考答案 一、 D A A B D 二、 13. ?1 ? i C C C B D 14. (0,1] D D 15.
(e, e)

2 16. (k 2 ? 1) ? (k 2 ? 2) ? ……? (k+1)

17.72

18. 8?

三.19. (本小题满分 15 分) 解:(1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列,有 A7=2 520 种排法. (2)前排 3 人,后排 4 人,相当于排成一排,共有 A7=5 040 种排法. (3)相邻问题(捆绑法):男生必须相邻,是男生的全排列,有 A3种排法;女生必须相邻, 是女生的全排列,有 A4种排法;全体男生、女生各视为一个元素,有 A2种排法,由分步乘法 计数原理知, 共有 N=A3·A4·A2=288 种. (4)不相邻问题(插空法):先安排女生共有 A4种排法,男生在 4 个女生隔成的五个空中 安排共有 A5种排法,故 N=A4·A5=1 440 种. (5)先安排甲,从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲,有 A5=5 种排法;再安排其他人, 有 A6=720 种排法.所以共有 A5·A6=3 600 种排法. 20.(15 分)解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2-a1, ∴a1=1. 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2, 3 ∴a2= . 2 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3, 7 ∴a3= . 4 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4, 15 ∴a4= . 8 2 -1 * 由此猜想 an= n-1 (n∈N ). 2 (2)证明:①当 n=1 时,a1=1,结论成立. 2 -1 * ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N )时,结论成立,即 ak= k-1 ,那么 n=k+1 时, 2
k n
6 1 6 1 3 4 3 4 3 4 2 4 2 3 7 5

ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,
∴2ak+1=2+ak,

5

2 -1 2+ k-1 k+1 2 2+ak 2 -1 ∴ak+1= = = , k 2 2 2 这表明 n=k+1 时,结论成立, 2 -1 由①②知猜想 an= n-1 成立. 2 21.(本小题满分 15 分)
n

k

( 1 )当m ? e时,f ?( x) ?

x-e , x ? 0.解f ?( x) ? 0得x ? e,∴ f ( x)单调递增; x2 e ? 2. e

同理,当0 ? x ? e时,f ?( x) ? 0, f ( x)单调递减. ∴ f ( x)极小值为f (e) ? ln e ?

(2) ? g ( x) ? f ?( x) -

x x-m x x3 x3 ? 2 - ? 0,∴ m ? x - ,令h( x) ? x - , x ? 0, m ∈ R, 则 3 3 3 3 x 2 h ?( x) ? 1 - x ? (1 ? x)(1 - x).令h ?( x) ? 0解得0 ? x ? 1,∴ h( x)在区间上递增, 2 3

同理,令h ?( x) ? 0解得x ? 1,∴ h( x)在区间上递减, h( x)的极大值为h(1) ? 大致画出函数h( x)的图像,则所以, 2 当m ≤0或m ? 时,g ( x)有且只有一个零点; 3 2 当0 ? m ? 时,g ( x)有两个零点; 3 2 当m ? 时,g ( x)没有零点; 3
22.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x ? 3x
3 2

所以 f (1) ? ?2

即切点为 P(1, ?2)

因为 f ( x) ? 3x ? 6x 所以 f (1) ? 3 ? 6 ? ?3 所以切线方程为 y ? 2 ? ?3( x ? 1) 即 y ? ?3x ? 1
2

?

?

(Ⅱ)y=f(x)在 [-1,1]上单调递增,又 f ?( x) ? 3x ? 6ax ? 3 ? 3( x ? 2ax ? 1)
2 2

方法一: (求函数 f ?( x) 的最值,即二次函数的动轴定区间最值)依题意 f ?( x) 在[-1, 1]上恒有 f ?( x) ≥0,即 x ? 2ax ? 1 ? 0.
2

①当 x ? a ? 1 时, f ?( x) min ? f ?(1) ? 2 ? 2a ? 0,? a ? 1 ;所以舍去; ②当; x ? a ? ?1 时, f ?( x) min ? f ?(?1) ? 1 ? 2a ? 1 ? 0,? a ? ?1所以舍去; ③当 ? 1 ? a ? 1 时, f ?( x) min ? f ?(a) ? ?a ? 1 ? 0, 则 ? 1 ? a ? 1.
2

综上所述,参数 a 的取值范围是 ? 1 ? a ? 1 。 方法二: (分离参数法)
6

(Ⅲ) f / ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3b2 , 由于 0 ? a ? b ,所以 ? ? 36a2 ? 36b2 ? 36(a ? b)(a ? b) ? 0 所以函数 f ( x ) 在 R 上递增

1 ? ln x k 1 ? ln x k (1 ? ln x) x )? f( ) ? ? ? ? k 对 x ? (1, ??) 恒成立 x ?1 x x ?1 x x ?1 (2 ? ln x)( x ? 1) ? ( x ? x ln x) x ? ln x ? 2 (1 ? ln x) x h?( x) ? ? 构造 h( x) ? x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1) 2 1 x ?1 g ?( x) ? 1 ? ? 构造 g ( x) ? x ? ln x ? 2 x x x ?1 ? 0 所以 g ( x) ? x ? ln x ? 2 在 x ? (1, ??) 递增 对 x ? (1, ??) , g ?( x) ? x g (1) ? ?1, g (2) ? ? ln 2, g (3) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 所以 ?x0 ? (3, 4) , g ( x0 ) ? x0 ? ln x0 ? 2 ? 0
所以不等式 f (

(1 ? ln x) x 在 (1, x0 ) 递减 x ?1 (1 ? ln x) x 在 ( x0 , ??) 递增 x ? ( x0 , ??), g ( x) ? 0, h/ ( x) ? 0 ,所以 h( x) ? x ?1 (1 ? ln x0 ) x0 所以, h( x)min ? h( x0 ) ? 结合 g ( x0 ) ? x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 得到 x0 ? 1 (1 ? ln x0 ) x0 h( x)min ? h( x0 ) ? ? x0 ? (3, 4) x0 ? 1 (1 ? ln x ) x 所以 k ? 对 x ? (1, ??) 恒成立 ? k ? h( x)min 所以 k ? 3 ,整数 k 的最大值 , x ?1
所以 x ? (1, x0 ), g ( x) ? 0, h/ ( x) ? 0 ,所以 h( x) ? 为3 .

7


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