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第三讲 平面向量的数量积及应用


2014-2015 学年高三数学补习班学案

第五章

平面向量

编号:

第三讲 平面向量的数量积及应用
一、高考要求
1、平面向量的数量积 (1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3) 掌握数量积的坐标表达式,会进行平

面向量数量积的运算. (4) 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2、向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b ④向量的夹角:cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = . 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2

编制人:

b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件;当? 为钝角时, 注:当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、
? ? ? ? b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件; a ? b <0,且 a、
? ? ? ? ? ?

? ?

? ?

⑤ ? | a | ? | b |? a ? b ?| a | ? | b | (5)两个向量的数量积的坐标运算

b = x1 x2 ? y1 y2 . 已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·
(6)垂直: 两个向量垂直的充要条件: a ⊥ b (7)平面内两点间的距离公式

?

?

? ?

?

?

二、要点归纳:
(1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 b,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角; 范围:0?≤?≤180?.

? ? ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .
x2 ? y2 。

设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,
2 2 那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) (平面内两点间的距离公式)。

(2)数量积的概念

? ? ? ? ? ? ? ? b = ︱ a ︱· 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · ︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量积, ? ? 规定 0 ? a ? 0 ; C ? ? ? ? ? a ?b 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影. |a|

三、例题讲解
题型 1:数量积的概念 例.判断下列各命题正确与否: ? (1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ;

? ?
?

(3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积. (3)数量积的几何意义: a ·
(4)向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系: a ? a ? a ?| a | . ②乘法公式成立
2

(4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立;
2 (6)对任意向量 a ,有 a ? a ;

? ?

? ?
?

?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

?

?2

? ?

?2

?

(7)| a |-| b |<| a - b | (8)(3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9| a |2-4| b |2. 题型 2:向量的数量积与夹角 例 1(1) (2014· 全国 1)已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)· b=( A.-1 B.0 C .1 D .2 (2) (2014· 全国Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 B.2 C .3 D .5 )

? ?

? ? ? ? ? ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? a2 ? b 2 ? a ? b ; ? ? 2 ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 a ? b ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b ;

?? ?

?

)

③平面向量数量积的运算律 交换律成立: a ? b ? b ? a ;

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? 对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? R ? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分配律成立: a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? a ? b .

?

?

?

?

? ? ? ?

2014-2015 学年高三数学补习班学案

例 2. (1)(2014·全国)已知 A, B, C 为圆 O 上的三点,若 AO ? _______.

1 AB ? AC ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

?

第五章

?

平面向量

编号:

? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? (2)设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b,| a |? 1,| b |? 2 ,则 | c |2 ? ( )
A.1 B .2 C.4 D .5

编制人:

(2) (2014·四川)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹 角,则 m=________. (3) (2014·安徽)设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4 和 y1,y2,y3,y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成, 若 x1· y1+x2· y2+x3· y3+x4· y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2, 则 a 与 b 的夹角 为( )

?? ?? ? ? ? ?? ? ? (3)(2011· 重庆)已知单位向量 ci , c j 的夹角为 60 ,则 2ci ? c j ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 b、 c 满足| a |=| b |=1, a ? b = ? ,, ? a ? c, b ? c ? = 60 0 ,则 c 的最大值等于 (4) (2011· 全国)设向量 a、 2 ( ) (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1

?? ?? ?? ?? ? ? ?? 例 3. (1)(2011·浙江)若平面向量 ? , ? 满足 ? ? 1 , ? ? 1 ,且以向量 ? , ? 为邻边的平行四边形 ?? ?? 1 的面积为 ,则 ? 与 ? 的夹角 ? 的取值范围是 .
2
(2)已知 | a |? 2 | b |? 0, 且关于 x 的方程 x 2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根, 则 a 与 b 的夹角的取值范 围是( ) A. [0,

2π A. 3

π B. 3

π C. 6

D.0

→ (5)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+ → 3PB|=的最小值为________.

?
6

]

B. [

?
3

,? ]

C. [

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
6

,? ]

(6)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相等,则|a-b| 等于( ) A.1 B. 3 C. 5 D.3

??? ? ??? ? 例 4(1) (2012· 湖南)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ? BC = 1 则 BC ? ___ .
A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23 (2) (2012· 天津)已知 ?ABC 为等边三角形, AB=2, 设点 P, Q 满足 AP ? ? AB ,AQ ? (1 ? ?) AC ,

题型 4:向量垂直、平行的判定

例 1(2014·湖北)设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ? b ,则实数 ? ?

?

?

3 ? ? R ,若 BQ ? CP ? ? ,则 ? = 2 1 1? 2 (A) (B) 2 2

?

?

?

? ?

?

?

?

.

例 2(2011·北京)已知向量 a=( 3 ,1) ,b=(0,-1) ,c=(k, 3 ) ,若 a-2b 与 c 共线,则 k=_____. (C)

1 ? 10 2

(D)

?3? 2 2 2

(3) (2014· 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° ,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC → → =3BE,DC=λDF.若AE· AF=1,则 λ 的值为________. → → → → (4) (2014· 江苏) 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD,AP· BP= → → 2,则AB· AD的值是________.

题型 5:平面向量在代数中的应用 例 1. 已知向量 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)若 | a ? b |?

2 ,求证: a ? b ;

(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。

? ? ? ? ? ? ? 例 2.设 a ? ?1?cos? ,sin ? ? , b ? ?1?cos ? ,sin ? ? , c ? ?1,0? 其中 ? ? ? 0,? ? , ? ? ?? ,2? ? ,a 与 c 的夹角为 ? 1 ,b 与 c

的夹角为 ? 2 ,且 ? 1 ? ? 2 ? 题型 3:向量的模

?
6

,求 sin

? ?? 的值; 4

例. (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于(
o

?

?

?

?

?

?



A.5

B.4

C.3

D.1

2014-2015 学年高三数学补习班学案

第五章

平面向量

编号:

编制人:

题型 6:平面向量在几何图形中的应用

例 1(2011· 上海)在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点, AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ?

??? ? ????

向量中一些常用的结论
. (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; (2) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、 b 同向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 反 向 或 有 0 ? | a ? b |? | a |? |b ? b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; 当 a、 | | |a |? |b ? || a | ? b; | 当 a、 ? ? ? ? ? ? ( ). ? | |a |? |b ? || a | ? b ?| a | ? | b | 这些和实数比较类似 | (3)在 ?ABC 中,①若 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? ,则其重心的坐标为 G ?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

例 2 ( 1 ) (2012· 江西 ) 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则

PA ? PB PC
2

2

2

=(



A.2

B.4

C.5

D.10

(2)(2012· 上海)在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 是边 BC 、 CD 上的点,且满足

?
3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别 .

? ? ? (5)①给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点;
(4)给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ; ②给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点;

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? , ?. 3 3 ? ?

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是

③给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 A、B 与 PQ 的中点三点共线; (6) 给 出 以 下 情 形 之 一 : ① AB // AC ; ② 存 在 实 数

?

?

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
( 7 ) 给出 MA ? MB ? 0 , 等于已知 MA ? MB , 即 ?AMB 是直角 , 给出 MA ? MB ? m ? 0 , 等于已知

??? ?

??? ?

??? ?

?, 使AB ? ? AC ; ③ 若 存 在 实 数

?

?

(3)(2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为________,

DE ? DC 的最大值为______.

?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角, ? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线 ? MA MB ? ? ?
(9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心; (12) 在 ?ABC 中, PG ? 1 ( PA ? PB ? PC )
2 2 2

(4)(2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是

??? ? ????

??? ? ????



? G 为 ?ABC 的重心, 3 ??? ? ??? ? ??? ? ? 特别地 GA ? GB ? GC ? 0 ? G 为 ?ABC 的重心;

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

→ → → → (5) (2014· 湖南师大附中)如图所示,在等腰直角三角形 AOB 中,OA=OB=1,AB=4AC,则OC· (OB → -OA)=____________.

(13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心; (14)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心;

→ → → (6) (2014· 温州十校联合体)在△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC=BC=1,CO=xCA+yCB,且 x+y=1. 3 → → → 若函数 f(m)=|CA-mCB|的最小值为 ,则|CO|的最小值为____________. 2

??? ? ??? ? AB AC ? ? ??? ? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心; (15)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? | AB | | AC | ???? 1 ??? ? ???? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD ? 2

?

?

2014-2015 学年高三数学补习班学案

第五章

平面向量

编号:

【练习题】 1.(2009·海南)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的(
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 ? ABC 2.设 A,B,C 是平面内不共线的三点,O 为 的外心,动点 P 满足:

) D.外心 重心 内心

??? ? ??? ? AP ? BC ,则实数 ? 的值为__________. ? ? ? x, x ? y ? y, x ? y 13.(2014·浙江)记 max{x, y} ? ? , min{x, y} ? ? ,设 a, b 为平面向量,则( ? y, x ? y ? x, x ? y A. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b |} B. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b|}
C. min{| a ? b |
2

编制人:



??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? ? OP ? ? 1 ? ? OA ? 1 ? ? OB ? 1 ? 2 ? OC ? ? ? ? ? ? ? ? ??R且? ?? ? ,则 P 的轨迹定过 ?ABC 的( 3?
A.内心 B.重心 3. 已知: O 是 ?ABC 所在平面上的一点且满足: C.垂心 D.边 AB 的中点

,| a ? b |2} ?| a |2 ? | b |2

D. min{| a ? b |

2

,| a ? b |2} ?| a |2 ? | b |2
|x| ? ,则 的最 6 |b|

)

14.(2013·浙江)设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角为

大值等于________.
15 . ( 2013 ·浙江) 设 ?ABC, P 0B ? 0 是边 AB 上一定点 , 满足 P

OA ?

sinA sin B (OB ? OA ) ? (OC ? OA ) ? 0 ,则点 O 在( ) sinA ? sin B sin B ? sin A A. AB 边上 B. AC 边上 C. BC 边上 D. ?ABC 内心

1 AB , 且对于边 AB 上任一点 P , 恒有 4

PB ? PC ? P0 B ? P0C ,则(
A. ?ABC ? 90
0


0

→ → → → 1 AB AC AB AC → → → 4.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为( ) →| |AC →| →| →| 2 |AB |AB |AC A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 5.已知 O 是 ?ABC 所在平面内一点,且 OC ? AB ? OB ? AC ? OA ? BC ,则 O ?ABC 的 ( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
2 2 2 2 2 2

C. AB ? AC D. AC ? BC ???? ???? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ? ? ??? ? ??? ? 1 16.(2013·重庆)在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? ,则 OA 的取 B. ?BAC ? 90

2

值范围是( A. ? 0,

) B. ?

6. (2012·广东)对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义 ? ? ? ? ≥|b|>0,a 与 b 的夹角 ? ? ? 0,

? ?? .若平面向量 a,b 满足|a| ? ??


? ?

??

7. (2011· 辽宁)若 a ,b ,c 均为单位向量, 且 a ? b ? 0 ,(a ? c) ? (b ? c) ? 0 , 则 | a ? b ? c | 的最大值为 ( C 2 D 2 ? ? ? ? ? ? 8. (2012·安徽)若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ,则 a ? b 的最小值是 _____ A B 1 9.(2014·浙江)设 θ 为两个非零向量 a,b 的夹角.已知对任意实数 t,|b+ta|的最小值为 1( A.若 θ 确定,则|a|唯一确定 B.若 θ 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 θ 唯一确定 D.若|b|确定,则 θ 唯一确定 10.(2014·湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足 → → → → |CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是( ) A.[4,6] B.[ 19-1, 19+1] C.[2 3,2 7] D.[ 7-1, 7+1]

1 A. 2

B.1

? ? n ? ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 { 2 | n ? Z } 中,则 a ? b =( 4? 3 5 C. D. 2 2

? 5 ? ? 7 ? D. ? ? 2 , 2? ? 2 , 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? 17. (2014· 安徽) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 a, b, a ? b ? 1, a ? b ? 0, 点 Q 满足 OQ ? 2(a ? b) . ??? ? ??? ? ? ? 曲线 C ? {P OP ? a cos ? ? b sin ? , 0 ? ? ? 2? } , 区域 ? ? {P 0 ? r ? PQ ? R, r ? R} .若 C ? ? 为两段分
C. ? 离的曲线,则( ) A. 1 ? r ? R ? 3 B. 1 ? r ? 3 ? R C. r ? 1 ? R ? 3 D. 1 ? r ? 3 ? R

? ? ?

5? ? 2 ?

? 5 7? ? 2 , 2 ? ? ?

18.(2014·安徽)已知两个不相等的非零向量 a, b, 两组向量 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 和 y1, y2 , y3 , y4 , y5 均由 2 ) 个 a 和 3 个 b 排列而成.记 S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ? x5 ? y5 , S min 表示 S 所有可能取值中的 最小值.则下列命题的是_________(写出所有正确命题的编号). ① S 有 5 个不同的值. ) ②若 a ? b, 则 S min 与 a 无关. ③若 a ∥b, 则 S min 与 b 无关. ④若 b ? 4 a ,则 Smin ? 0 . ⑤若 | b |? 2 | a |, S )

2 ?1

?

?

? 2 ? ? 8 | a | ,则 a 与 b 的夹角为 min

4

b ? 0 .若向量 c 满足 11. (2013· 湖南) 已知 a , b 是单位向量, a?
, 2+1? A. ? 2-1, ? ? , , 2+2? B. ? 2-1 ? ? ?

c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是(
? , 2+2 ? D. ?1,

? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 12.(2013·山东)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 °,且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且

, 2+1? C. ?1,


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