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2017届高三上学期期末考试试卷


二中高三模块测试

数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? A. i

1? i (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数是 1? i B. 1+i C. -i D. 1 ? i

2.已知集合

M ? x | x ? 2 ? 1 , N ? x | y ?

?

?

?

4 ? 2 x ,则 M ? N

?

2? A. ?1,

2? B. ?1,

C.

3? ? 2,

D.

3? ? 2,

3.已知函数 y ? f ? x ? ? x 是偶函数,且 f ? 2 ? =1 ,则 f ? -2 ? A. -1 B. 1 C. -3 D. 2

2 2 4.直线 ?1+a ? x ? y ? 1 ? 0 与 x ? y ? 2 x ? 0 圆相切,则 a 的值为

-1 B. 2, -2 C. 1 D. -1 A. 1, 5.四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是
A. 5 B.

29

C.

13

D. 2 2

6. 将 奇 函 数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? 左平移 A. 2

? ?

?
2

?? ?

??

? 的图象向 2?

?
6

个单位得到的图象关于原点对称,则 ? 的值可以为 B. 3 C. 4 D.6

7.已知函数 f ? x ? =

1 2 x ? cos x , f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4

8.设 ?,?,? 为不同的平面, m, n, l 为不同的直线,则 m ? ? 的一个充分条件为 A. ? ? ?,? ? ? =l , m ? l C. ? ? ? , ? ? ? ,m ? ? B. ? ? ? =m,? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ?

9.在 ?ABC 内随机取一点 P,使 AP ? x AB ? y AC ,则 x ?

??? ?

??? ?

????

2 1 在的条件下 y ? 的概率 3 3

A.

7 9

B.

4 9

C.

1 2

D.

2 3

10.如图, F1,F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、 a 2 b2

右焦点, 过 F1 的直线 l 与双曲线的左、 右两支分别交于点 A,B. 若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为

A.

4

B.

7

C.

2 3 3

D.

3

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 设 随 机 变 量 ? ? N ? , ? 2 且 P ?? ? ?1? ? P ?? ? 1? ,

?

?

P ?? ? 2 ? ? 0.3 ,则 P ? ?2 ? ? ? 0 ? ?
12.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为 13. m ? 为

. .

?

?

0

1 ? ? sin tdt , 则 ? x ? ? mx ? ?
.

3m

的展开式的常数项

14. 已 知 函 数 y ?

1 的 图 象 的 对 称 中 心 为 ? 0, 0 ? , 函 数 x

y?

1 1 1 1 1 ? 1 ? 的图象的对称中心为 ? - , 0 ? ,函数 y ? + 的图象的对称中心为 + + x x ?1 x x ?1 x ? 2 ? 2 ? y? 1 1 1 1 的图象的对称中心 + + +? + x x ?1 x ? 2 x?n

? -1, 0 ? , ?? , 由 此 推 测 函 数
为 .

15.一位数学老师希望找到一个函数 y ? f ? x ? ,其导函数 f ? ? x ? = ln x ,请您帮助他找一个这 样的函数 .(写出表达式即可,不需写定义域)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足

1 C tan 2

? tan

C 4 3 ? . 2 3

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知 ?ABC 不是钝角三角形,且 c ? 2 3,sinC? sin ? B ? A ? ? 2sin 2 A. ,求 ?ABC 的 面积. 17.(本小题满分 12 分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖 者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋 中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球张红球与篮球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、篮球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (Ⅰ)求一次摸奖恰好摸到一个红球的概率; (Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与数学期望 E ? X ? .

18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 中 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , AB//CD , 且 ? PAD 为等腰直角三角形, ?DAB ? 60? , AB ? AD ? 2CD, 侧面 PAD ? 底面ABCD,

?APD ? 90? .
(Ⅰ)求证: AD ? PB; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

19. (本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前项和为 S n ,且 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

S 2 S3 S 4 ? Sn ? ? 6. , ? 是等差数列,已知 a1 ? 1, ? ? 2 3 4 ?n?

an ?1 an ? 2 1 ? , 数列 ?bn ? 的前项和为 Tn ,求证: Tn ? 2n ? . 2 an ? 2 an ?1

20. (本题满分 13 分) 已知 O 为坐标原点, 焦点为 F 的抛物线 E : x ? 2 py ? p ? 0 ? 上两不同点 A,B 均在第一象
2

限内,B 点关于 y 轴的对称点为 C, ?OFA 的外接圆的圆心为 Q,且 OQ ? OF ? (Ⅰ)求抛物线 E 的标准方程; (Ⅱ)设直线 OA,OB 的倾斜角分别为 ? , ? ,且 ? ? ? ? ①证明:直线 AC 过定点; ②若 A,B,C 三点的横坐标依次成等差数列,求 ?ABC 的外接圆方程.

???? ??? ?

1 . 32

?
2

.

21. ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ? x ? = x 2 -3 x ? 3 e x 的 定 义 域 为 ? -2,t ? , 设

?

?

f ? -2 ? =m,f ? t ? ? n .
(Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ? x ? 在 ? -2,t ? 上为单调函数; (Ⅱ)求证: m ? n ; (Ⅲ)若不等式

f ? x? ? 7 x ? 2 ? k ? x ln x ? 1? ? k 为正整数 ? 对任意正实数恒成立,求的最大 ex
14 ln 8 ? 2.08 ) . (解答过程可参考使用以下数据 ln 7 ? 1.95, 9

值,并证明 ln x ?

高三数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. A B C D B D A D C B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 0.2 ; 12.

11 12

13. ?

5 2

14. ( ?

n , 0) 2

15. f ( x) ? x ln x ? x ? C (C ? R) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由

1 C tan 2

? tan

C 4 3 ? 2 3

C C sin 2 ? 2 ? 4 3 ……………………………2 分 得 C C 3 sin cos 2 2 cos
所以

1 sin C C ? cos 2 2

?

4 3 3

所以 sin C ? 又 C ? (0, ? ) 所以 C ?

3 ……………………………4 分 2

?
3

或C ?

2? ……………………………5 分 3

(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A ? cos A 即 sin B ? cos A ? 2sin A ? cos A ……………………………7 分 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? ? , B ? ,C ? 2 3 6

c ? 2 3, b ? 2
所以 S ?ABC ? 2 3 ……………………………9 分 当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a …………………………10 分 由题意, C ?
2 2

?
3

,c ? 2 3 ,
2 2

所以 c ? a ? b ? ab ? 3a

解得 a ? 2, b ? 4 ,所以 B ?

? , 2

S ?ABC ? 2 3 ……………………………12 分
17. (本小题满分 12 分) 解:设 Ai 表示摸到 i 个红球, B j 表示摸到 j 个蓝球,则 Ai (i ? 0,1, 2,3) 与 B j ? ( j ? 0,1) 相互 独立.
1 2 C3 C4 18 (Ⅰ)恰好摸到 1 个红球的概率为 P ( A1 ) ? ? .……………………………4 分 3 C7 35

(Ⅱ) X 的所有可能值为: 0 , 10 , 50 , 200 ……………………………6 分
3 C3 1 1 P( X ? 200) ? P( A3 B1 ) ? P ( A3 ) P( B1 ) ? 3 ? ? C7 3 105

P( X ? 50) ? P( A3 B0 ) ? P ( A3 ) P( B0 ) ? P( X ? 10) ? P( A2 B1 ) ? P ( A2 ) P ( B1 ) ?

3 C3 2 2 ? ? 3 C7 3 105 1 C32C4 1 12 4 ? ? ? 3 C7 3 105 35

P( X ? 0) ? 1 ?

1 2 4 6 ? ? ? 105 105 35 7

所以 X 的分布列为

X

0

10

50

200

X

6 7

4 35

2 105

1 105

……………………………10 分

所以 X 的数学期望

6 4 2 1 E ( X ) ? 0 ? ? 10 ? ? 50 ? ? 200 ? ? 4 ……………………………12 分 7 35 105 105
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 AD 的中点 G ,连结 PG、GB、BD .

? PA ? PD ,
? PG ? AD ……………………………2 分 ? AB ? AD ,且 ?DAB ? 60? , ? ?ABD 是正三角形, BG ? AD , 又 PG ? BG ? G , ? AD ? 平面 PGB .

? AD ? PB . ……………………………5 分 (Ⅱ) ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,
又? PG ? AD ,? PG ? 底面 ABCD . ? PG ? BG .∴直线 GA、GB、GP 两两互相垂直, 故以 G 为原点,直线 GA、GB、GP 所在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz . 设 PG ? a ,则可求得 P (0, 0, a ), A(a, 0, 0), B (0, 3a, 0) , D (? a, 0, 0) ,

3 3 C ( ? a, a, 0) .…………………………………………………7 分 2 2

??? ? ??? ? 3 3 ? BC ? (? a, ? a, 0) .? PB ? (0, 3a, ?a) 2 2 ? ??? ? ? ??? ? ? 设 n ? ( x0 , y0 , z0 ) 是平面 PBC 的法向量,则 n ? BC ? 0 且 n ? PB ? 0 .
? ? 3 3 3 y0 , ay0 ? 0, ?? ax0 ? ? x0 ? ? ?? 2 ?? 3 2 ? 3ay ? az ? 0. ?z ? 3y . 0 0 ? 0 ? 0 ? 取 y0 ? 3 ,得 n ? (?1, 3,3) . …………………………………………9 分 ?? ??? ? 又? 平面 PAD 的法向量 n1 ? GB ? (0, 3a, 0) ,
设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为 ? ,

? ?? n ? n1 3a 39 则 cos ? ? ? ?? ? , ? 13 1 ? 3 ? 9 ? 3a n ? n1
所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可得 3 ? 所以

39 .……………………12 分 13

S3 ? 6, 3

S3 ?2 3 S n ?1 n ?1 ? 所以 n ? 1 ? n 2 2

n(n ? 1) ………………………………………………………………3 分 2 所以 an ? S n ? S n ?1 ? n(n ? 2)
所以 S n ? 当 n ? 1 时也成立, 所以所以 an ? n ……………………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 又因为 bn ?

n ?1 n ? 2 ? n ? 2 n ?1

n ?1 n ? 2 1 1 1 1 ? ? 1? ?1? ? 2? ? …………………9 分 n ? 2 n ?1 n?2 n ?1 n ?1 n ? 2
1 1 2 3 1 1 3 4 1 1 ? )] n ?1 n ? 2

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (2 ? 2 ? ? ? 2) ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题知: Q 必在线段 OF 的中垂线上,可设 Q ( xQ , 则 OQ ? OF ? 所以 p ?

1 1 1 ? ? 2n ? …………………………………12 分 2 n?2 2
p ) 4

???? ??? ?

p2 1 …………………………2 分 ? 8 32

1 2 ,故抛物线 E 的标准方程: x ? y …………………………4 分 2

(Ⅱ)若 ? ? ? ?

?
2

,结合图象知: OA ? OC …………………………6 分

①设 A( x1 , y1 )、C ( x 2 , y 2 ) ,直线 AC : y ? kx ? b
2 代入抛物线 x ? y 方程得: x ? kx ? b ? 0

2

所以 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?b …………………………7 分 又因为 OA ? OC ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? ?b ? b ? 0
2 2 2

??? ? ????

所以 b ? 1 或 b ? 0 (舍) 所以直线 AC 方程为 y ? kx ? 1 …………………………9 分 所以直线 AC 恒过定点 (0,1) …………………………10 分 ②若 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ( x2 ? 0 ) ,又因为 B 点关于 y 轴的对称点为 C , 所以 B (? x2 , y2 ) 因为 A、B、C 三点的横坐标依次成等差数列 所以 x1 ? x2 ? 2(? x2 ) 即: x1 ? ?3 x2 …………………………11 分

因为 x1 x2 ? ?1 所以 x2 ? ?

3 , x1 ? 3 3 3 1 3 1 , ) 、 C (? , ) …………………………12 分 3 3 3 3
3 13 x ? ,线段 BC 中垂线为 y 轴, 2 6

所以 A( 3,3) 、 B (

所以线段 AC 中垂线为: y ? ?

所以 ?ABC 的外接圆心 W 为 ,半径为 WC ? (0, ) 所以 ?ABC 的外接圆方程为 x 2 ? (y ? 21. (本小题满分 14 分)

13 6

133 ………………………12 分 36

13 2 133 …………………………13 分 )? 6 36

2 x x x 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ( x ? 3 x ? 3) ? e ? (2 x ? 3) ? e ? x( x ? 1) ? e ………………1 分

令 f ?( x) ? 0 ,得: x ? 1 或 x ? 0 ;令 f ?( x) ? 0 ,得: 0 ? x ? 1 所以 f ( x) 在 (??, 0), (1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减………………………………3 分 要使 f ( x) 在 [ ?2, t ] 为单调函数,则 ?2 ? t ? 0 所以 t 的取值范围为 ( ?2, 0] …………………………………………………4 分

(Ⅱ)证:因为 f ( x) 在 (??, 0), (1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减, 所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 e 又 f (?2) ?

13 ? e ,所以 f ( x) 在 [?2, ??) 的最小值为 f (?2) ………………………6 分 e2

从而当 t ? ?2 时, f (?2) ? f (t ) ,即 m ? n ………………………………………8 分

f ( x) ? 7 x ? 2 ? k ( x ln x ? 1) 等价于 x 2 ? 4 x ? 1 ? k ( x ln x ? 1) x e k ?1 即x? ? 4 ? k ln x ? 0 ………………………………………9 分 x k ?1 记 g ( x) ? x ? ? 4 ? k ln x , x k ? 1 k ( x ? 1)( x ? k ? 1) 则 g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? , x x x2
(Ⅲ) 由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? k ? 1 ,

所以 g ( x) 在 (0, k ? 1) 上单调递减,在 (k ? 1, ??) 上单调递增, 所以 g ( x) ? g (k ? 1) ? k ? 6 ? ln(k ? 1)

g ( x) ? 0 对任意正实数 x 恒成立,
等价于 k ? 6 ? ln(k ? 1) ? 0 ,即 1 ?

6 ? ln(k ? 1) ? 0 ………………………………11 分 k

6 ? ln(k ? 1) , k 6 1 则 h( x ) ? ? 2 ? ?0, x x ?1
记 h( k ) ? 1 ? 所以 h ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减, 又 h(6) ? 2 ? ln 7 ? 0 , h(7) ?

13 ? ln 8 ? 0 , 7

所以 k 的最大值为 6 ………………………………………12 分 当 k ? 6 时,由 x ? 4 x ? 1 ? 6( x ln x ? 1)
2

令 x ? 3 ,则 ln 3 ?

14 ………………………………………14 分 9


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