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高考数列专题


数列专题
1、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

2、设函数 f ( x)

? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

1) 是增函数; (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0,
(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b S9 ? S5
.

3、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

4、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 5、已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则

a4 a5a6 =

(A) 5 2

(B) 7

(C) 6
1 . an

(D) 4 2

6、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 . 7、等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 .

求数列 ?an ? 的通项公式.

?1? 设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?
8、设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d1 ? 2 , Sk ? 2 ? Sk ? 24 ,则 k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

9、设数列 {an } 满足 a1 ? 0 且 (Ⅰ) 求 {an } 的通项公式 (Ⅱ)设 bn ?

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an

1 ? an ?1 n

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1 )

10、已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (

?

( A) 7

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

11、数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 12、(2013 课标全国Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为__________. 13、 巳知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

S6 S12 =3,则 = S3 S9

A.

4 3

B.

5 3

C. 2

D. 3

14、若数列{ an }的前 n 项和为 Sn=

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 3 3

1、解: (Ⅰ)依题意, Sn?1 ? Sn ? an?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n , 由此得 Sn?1 ? 3n?1 ? 2(Sn ? 3n ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 因此,所求通项公式为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N* .① · 说明:第(Ⅰ)问考的是数列的通项公式,而且 bn ? Sn ? 3n 就已经暗示了解题方法:应该 运用 a n ? ?

(n ? 1) ?s1 消去 an ,再凑出 Sn ? 3n 即可。请仔细研究本题为什么没有进 s ? s ( n ? 2 ) n ?1 ? n

行讨论,细节在何处,有什么启发? (Ⅱ)由①知 Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N ,
*

于是,当 n ≥ 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,

an?1 ? an ? 4 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2
?2
n?2

? ? 3 ?n?2 ? ?12 ? ? ? a ? 3? , ? ?2? ? ? ?

当 n ≥ 2 时,

?3? an?1 ≥ an ? 12 ? ? ?2?
? a ≥ ?9 .
又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

n?2

? a ? 3≥ 0

综上,所求的 a 的取值范围是 ??9, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ?? . · 说明: (1)如果不进行“ a2 ? a1 ? 3 ? a1 ” ,则解答存在纰漏: (2) an?1 ≥ an 可以有两种转化方案, 方案一:作差 an?1 ? an ? 4 ? 3
n?1

? (a ? 3)2n?2
n n?1

方案一:代入, an?1 ≥ an ? 2 3 ? (a ? 3) 2

≥ 2 3n?1 ? (a ? 3) 2n?2 ,按指数合并

同类项,同样可以得到: 12 ? ?

? 3? ? 2?

n ?2

? a ? 3≥ 0 。

得 到 1 ? 2 ?

? 3? ? 2?

n ?2

? a ? ≥3

后0 , 还 有 重 要 的 一 个 步 骤 :
2? 2

?3? a ≥3-12 ? ? ?2?

n?2

? 3? ? a ≥3-12 ? ? ? 2?

3? ≥3-12 ? ? ? ? 2?

n?2

才能得到 a ≥ ?9

(3)本题是简单的恒成立问题,其主要难度在于运算和化简方向的把握。 2、设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

1) 是增函数; (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0,
(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

3、解:

?an ? 为等差数列,?

4、 (I) 由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ?a2 ? 4 a1 ? 2? 5 ,? b1? a2? 2a1? 3 a1 ? 2 , a2 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又

bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ? n n 2 2 4 4 4
评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构造新数列的模 型: an?1 ? pan ? q ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q
n
n ?1



总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新 数列(全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式

放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法 基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 5、c

1) 时, f ?( x) ? ? ln x ? 0 6、.解析: (Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ?( x) ? ? ln x ,当 x ? (0,
故函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 是增函数; (Ⅱ)证明: (数学归纳法证明) (ⅰ)当 n ? 1 时, 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
1) 是增函数,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x) 在区间 (0, 1] 是增 由函数 f ( x ) 在区间 (0,
函数, a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立; (ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0, 1] 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) ,

ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ) 、 (ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立. (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可得

a ? b ? a ? b ? a ln a ? a1 ? b ? ? ai ln ai k ? 1 k k k
i ?1

k

1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则由⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥ 0

? b ? a ? b ? a ln a 2, 若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则 a k ? 1 k k k
a ? b ? ka ln b ? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b ? 1 1
i ?1 i ?1 i ?1 k k k

? a ? b ? ka ln b ? a ? b ? ( a ? b ) ? 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. 1 1 1 1

2 3 2 7、 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4
2

1 。有条 9

1 件可知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn
8、d 9 、

10、 【解析】选 D

a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7

11、 {a n } 的前 60 项和为

1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0
12、答案:-49

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2

1 ?6 ? 1830
10 ? 9 d 2

解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10= 10a1+ =10a1+45d=0,①

15 ?14 d =15a1+105d=25.② 2 2 联立①②,得 a1=-3, d ? , 3 n(n ? 1) 2 1 2 10 ? ? n ? n. 所以 Sn= ?3n ? 2 3 3 3 1 3 10 2 20 n , f '(n) ? n 2 ? n . 令 f(n)=nSn,则 f (n) ? n ? 3 3 3 20 令 f′(n)=0,得 n=0 或 n ? . 3 20 20 20 当n ? 时, f′(n)>0, 0<n < 时, f′(n)<0, 所以当 n ? 时, 3 3 3
S15= 15a1 ? f(n)取最小值,而 n∈N+,则 f(6)=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时,f(n)取最小值-49.
13、b 14、当 n =1 时, a1 = S1 =

2 1 a1 ? ,解得 a1 =1, 3 3

当 n ≥2 时, an = S n 即 an = ?2an ?1 ,

2 1 2 2 1 2 ? S n ?1 = an ? -( an ?1 ? )= an ? an ?1 , 3 3 3 3 3 3

∴{ an }是首项为 1,公比为-2 的等比数列,∴ an = ( ?2)

n ?1

.


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