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高中数学最新教材特级教师资料-数形结合思想在函数方程与不等式中的简单应用(一)

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数形结合在函数、方程与不等式中的 简单应用(一) 数形结合:就是把抽象的数学语 言与直观的图形结合起来进行思索, 使抽象思维与形象思维结合,通过 “以形助数”或“以数解形”,从而 利用数形的辩证统一,使复杂问题 简单化,抽象问题具体化,从而起 到优化解题途径的目的。数形结合 是历年高考重点内容之一。 例1、设函数f(x)是函数y=1-x与函数 y = x+1 中的较 小

者,则函数f(x)的最大值为 。 分析: y = x + 1即y2 = x + 1( y 0), 其 图象为抛物线的一部分,y=1-x表示一条直 y = x+ 1 线,在同一坐标系中作出y=1-x与 图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故 y 1 1 -1 o 1 x f (x)max = 1 例2、关于x的方程 3 x - x= k 2 2 在(-1, 1)内只有一个实根,则k的取值范围 _______ (相等的根按两个计) 析 :问题可转化为抛物线 与直线 3 3 2 9 y1 = x - x = ( x - ) 2 4 16 2 y2 = k 的交点个数问题。 y 5 2 3 4 如图 -1 0 -9 16 1 - 2 x -1 析 :问题可转化为抛物线 3 3 2 9 y1 = x - x = ( x - ) 2 4 16 2 与直线 y2 = k 的交点个数问题 。 y 5 2 3 4 如图 1 2 -1 0 -9 16 1 - 2 x ≤ k < 5 2 -1 例3: 对一切实数x不等式 |x+1|+|x-2|>m 恒 成立,则实数m的取值范围是________. 思路一:根据绝对值的几何意义可知, 分析: |x+1|+|x-2|表示数轴上的点到-1与2两点的距离之 和, 如图 |x+1|+|x-2|≥3,所以 |x-2| |x+1| m<3 2 x x ● -1 0 1 1-2x (x≤-1) 思路2:设f(x)=|x+1|+|x-2|,则 f(x)= 3 (-1<x<2), 2x-1 (x≥2 ) 易知 f(x)min=3,所以 m<3 y 3 ● 思路3:利用|a|+|b|≥|a±b|,则 |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以 m<3 y=m ● -1 o ● x 2 例4: 2 M = {( x , y ) | y = 9 x , y > 0} ,集合 若集合 N = {( x,y) | y = x + b} ,且 M N? f , 则b的取值范围 3} 为_________。 2 2 ( x , y ) | x + y = 9, 0< y 集合M可化为 { 分析: 表示以(0,0)为圆心,以3为半径 的圆在x轴上方的部分。 集合N则表示一组平行直线,如图, 欲使 M∩N≠φ 即,直线与半 圆有公共点,则直线向上平移与圆 相切向下平移过点(3,0) 易知 -3<b≤ 3 2 y 3 2 b o 3 x -3 练习: 2 y = ax + bx + c 的系数满 1.如图已知二次函数 足abc<0,则 该二次函数的图象可能是( C ) y o X y y y X o X o X O A B C D 说明:本题考查读图视图能力,要求能准确理解图形中所包含的信 息,由形想数。 分析:由开口方向确定a的正负,由与y轴交点 的纵坐标判断C的正负,结合对称轴的位置可确 定b的符号。 练习: 2.

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