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高中数学必修一 新课标人教A版3.1.1方程的根与函数的零点 课件


我们知道,令一个一元二次函数 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 )
2

的函数值y=0,则得到一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

r /> 问题1 观察下表(一),说出表中一元二次方程的实数根与相应 的二次函数图象与x轴的交点的关系。 一元二次方 程

方程的根
-20

二次函数
y=x2-2x-3
-10 -5

x2-2x-3=0
-25

x1=-1,x2=3
-15

图象与x轴的 函数的图象 交点 (-1,0),(3,0)
-1 3
-2 -4 -6

x2-2x+1=0
-15

x1=x2=1
-10

y=x2-2x+1
-5

2
-8

(1,0)
1

-10

-12

-2

x2-2x+3=0
-25 -20

无实数根
-15 -10

y=x2-2x+3
-5

4 -14

-4

没有交点
1

2 -16

-18

-6
-2 -20

结 论: 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
-8
-4

2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
-6

-10

问题2
若将上面特殊的一元二次方程推广 到一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的 关系,上述结论是否仍然成立?(观 察表二)

判别式△ = b2-4ac
h ? x ? = x 2 -2 ?x-3

方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根

函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象

函数的图象 与 x 轴的交点

-15

△>0

-10

两个不相等 的实数根x1 、x2
-5

x1
-2

x2

(x1,0),(x2,0)

-4

△=0
-10

有两个相等的 实数根x1 = x2
-5

2
-6

(x1,0)
-8 -10

x1

△<0

没有实根

没有交点
4-2 2

-4

-10

-5 -2
-6

1

想 一 想 ? ?
二次函数的图像与x轴的交 点与对应的一元二次方程的根的 关系是否可以推广到一般情形?

结论:
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个 数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点 的横坐标。
? y ? ax ? bx ? c (a ? 0) ? y ? 0 ?
2

?

ax ? bx ? c ? 0
2

函数零点的定义: 对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 结论:函数的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图
象与x轴的交点的横坐标.

等价关系

方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:

.
-2 -1

y
2

.
-1 -2

.0

1 1 2

.

在[-2,1]上,我们发现函数f(x)在区间(-2,1)内有零 < 点x= -1 _____,有f(-2)> ____0, f(1)____0得到 f(-2)· ______0(<或>)。 f(1) <
x 在[2,4]上,我们发现函数f(x)在区间(2,4)内有零点 3 < > x= ____,有f(2)____0,f(4) ___ 0得到 f(2)· f(4) ____ 0(<或>)。 <

3 4

-3 -4

.

思考:函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数
零点是否存在某种关系?

观察对数函数f(x)=lgx的图象: y < > 在[0.5 , 2.5] 内 f(0.5) _____0, f(2) ____ 0 f(0.5)· ______0(<或>) f(2) < 1 1 函数f(x)在(0.5 , 2) 内有一个零点 x= ______,.

.

1

0

.

.

2

x

零点存在性定理:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函

数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使 得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
注意: 1 图像是连续不断的曲线
2 f ( a ) ? f (b ) ? 0

例题1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。

解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知 y f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0,14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数,所以 0 -2 它仅有一个零点。 -4
-6

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

x

练习:
1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根:

(1)-x2+3x+5=0;
(2)2x(x-2)=-3; (3) x2 =4x-4; (4)5 x2 +2x=3 x2 +5.

课堂小结:
1、函数零点的定义;
2、函数的零点与方程的根的关系;

3、确定函数的零点的方法。


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