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高一物理竞赛辅导资料运动学第二讲《运动图象追及、相遇问题》

时间:2011-01-29


第二讲 运动图象追及、相遇问题 一、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 1.甲、乙二人同时从 A 地赶往 B 地,甲先骑自行车到中点后改为跑步,而乙则是先跑步,到中 点后改为骑自行车,最后两人同时到达 B 地;又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快.并且二 人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开 A 地的距离 x 与所用时间 t 的函数关系用函数图象表 示 ,

则 在 图 1 所 示 的 四 个 函 数 图 象 中 , 甲 、 乙 二 人 的 图 象 只 可 能 是 ( )

图1 A.甲是①,乙是② C.甲是③,乙是② B.甲是①,乙是④ D.甲是③,乙是④

解析:由题意知 v 甲车>v 甲人、v 乙车>v 乙人、v 甲车>v 乙车,又最后两人同时到达 B 地,则 v 甲人<v 乙


,故 v 甲车>v 乙车>v 乙人>v 甲人,所以 B 项正确.

答案:B 2.(2009·安徽高考)大爆炸理论认为,我们的宇宙起源于 137 亿年前的一次大爆炸.除开始瞬 间外,在演化至今的大部分时间内,宇宙基本上是匀速膨胀的.上世纪末,对 1A 型超新星的观 测显示,宇宙正在加速膨胀.面对这个出人意料的发现,宇宙学家探究其背后的原因,提出宇 宙的大部分可能由暗能量组成,它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀.如 果真是这样, 则标志宇宙大小的宇宙半径 R 和宇宙年龄 t 的关系, 大致是图 2 所示的哪个图象? ( )

图2 解析:题目提供的信息是宇宙先匀速膨胀,后加速膨胀,反映到 R-t 图象上就是图象的斜率

1

先是不变的,后来斜率逐渐变大,故选 C 项. 答案:C 3.如图 3 所示是 A、B 两物体从同一地点出发,沿相同的方向做直线运动的 v-t 图象,由图象 可知 ( )

图3 A.A 比 B 早出发 5 s B.第 15 s 末 A、B 速度相等 C.前 15 s 内 A 的位移比 B 的位移大 50 m D.第 20 s 末 A、B 位移之差为 25 m 解析:首先应理解速度-时间图象中横轴和纵轴的物理含义,其次知道图线的斜率表示加速度 的大小,图线与时间轴围成的面积表示该时间内通过的位移的大小.两图线的交点则表示某时 刻两物体运动的速度相等. 由图象可知,B 物体比 A 物体早出发 5 s,故 A 选项错;10 s 末 A、B 速度相等,故 B 选项错; 由于位移的数值等于图线与时间轴所围“面积”,所以前 15 s 内 B 的位移为 150 m,A 的位移 为 100 m,故 C 选项错;将图线延伸可得,前 20 s 内 A 的位移为 225 m,B 的位移为 200 m,故 D 选项正确. 答案:D 4.(2010·揭阳调研)利用速度传感器与计算机结合, 可以自动作出物体运动的图象.某同学在一次 实验中得到的运动小车的速度-时间图象如图 4 所示,以下说法错误的是 A.小车先做加速运动,后做减速运动 B.小车运动的最大速度约为 0.8 m/s C.小车的位移一定大于 8 m D.小车做曲线运动 解析:由题中图象可知 0~9 s 小车做加速运动,9 s~15 s 小车做减速运动;当 t=9 s 时, 速度最大,vmax≈0.8 m/s,故 A、B 正确.在 v-t 图中,图线与坐标轴所围的面积在数值上表 示位移的大小,图中每小格的面积表示的位移大小为 0.1 m,总格数约为 83 格(大于半格计为 一格,小于半格忽略不计),总位移 8.3 m,C 正确.v-t 图中,v>0 表示物体运动方向始终 ( ) 图4

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沿正方向,做直线运动,图线与运动轨迹不等同,D 错. 答案:D 5.(2010·大连模拟)设物体运动的加速度为 a、速度为 v、位移为 x.现有四个不同物体的运动图 象如图 5 所示,假设物体在 t=0 时的速度均为零,则其中表示物体做单向直线运动的图象是

图5 解析:图象 A 中物体的位移的大小和正负均随时间做周期性变化,物体做往复运动,图象 B 中 物体速度的大小和方向也做周期性变化,也是往复运动,图象 C 中,物体在第 1 s 内匀加速运 动,第 2 s 内向前匀减速,t=2 s 时速度为零,在第 3 s 内又开始向前匀加速运动,故此物体 将一直向前运动,但图象 D 中,第 3 s 内物体将反向匀加速运动.故正确的选项只有 C. 答案:C 二、双项选择题(本题共 5 小题,共 35 分.在每小题给出的四个选项中,只有两个选项正确,全 部选对的得 7 分,只选一个且正确的得 2 分,有选错或不答的得 0 分) 6.(2010·长沙模拟)如图 6 所示为三个运动物体的

v-t 图象,其中 A、B 两物体从不同地点出发, A、C 两物体从同一地点出发,则以下说法正
确的是 A.A、C 两物体的运动方向相同 B.t=4 s 时,A、B 两物体相遇 C.t=4 s 时,A、C 两物体相遇 D.t=2 s 时,A、B 两物体相距最远 解析:在 t=4 s 之前,A、B、C 三物体的速度方向均为正,方向相同,A 正确;当 t=4 s 时, ( ) 图6

A、B 两物体发生的位移相同,但由于两物体不是同地出发,因此此时两者并没有相遇,而 A、 C 两物体是同时同地出发,此时两者的位移也相等,故此时两物体相遇,C 对,B 错;当 t=2 s
时,A、B 两物体的速度相同,此时应当有两者之间距离的一个极值,但由于初始状态没有明 确 A、B 谁在前,故有“相距最远”和“相距最近”两种可能,D 错.答案:AC 7.(2008·广东高考)某人骑自行车在平直道路上行进,图 7 中的实线记录了自行车开始一段时 间内的 v-t 图象.某同学为了简化计算,用虚线作近似处理,下列说法正确的是

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图7 A.在 t1 时刻,虚线反映的加速度比实际的大 B.在 0~t1 时间内,由虚线计算出的平均速度比实际的大 C.在 t1~t2 时间内,由虚线计算出的位移比实际的大 D.在 t3~t4 时间内,虚线反映的是匀速运动 解析:在 v-t 图象中斜率大小表示加速度的大小,图线与横轴围成的面积表示位移大小.故 在 t1 时刻,虚线斜率小于实线切线的斜率,A 错;在 0~t1 时间内,虚线与横轴围成的面积大 于实线与横轴围成的面积,故由虚线计算出的平均速度比实际的大,B 正确;在 t1~t2 时间内, 虚线与横轴围成的面积比实线与横轴围成的面积小,故 C 错误;在 t3~t4 时间内,虚线平行于

t 轴,故虚线反映的是匀速运动,D 正确.
答案:BD 8.(2010·中山模拟)某质点的运动规律如图 8 所示, 下列说法中正确的是 ( )

A.质点在第 1 s 末加速度的方向发生变化 B.质点在第 2 s 内和第 3 s 内加速度大小相等而方向相反 C.质点在第 3 s 内速度越来越大 D.在前 7 s 内质点的位移为负值 解析:由 v-t 图象知,第 1 s 末的速度达到正向最大,之后速度减小,加速度为负向,故 A 正确;第 2 s 和第 3 s 内,尽管速度方向相反,但斜率相等,则加速度相等,B 错;在第 3 s 内,速度的绝对值在增大,说明质点做反向加速运动,C 正确;前 7 s 内图线所围的面积为正, 则对应位移为正,D 错. 答案:AC 9.汽车的加速性能是反映汽车性能的重要指标. 速度变化得越快,表明它的加速性能越好.如图 9 所示为研究甲、乙、丙三辆汽车加速性能得到的 图8

v-t 图象,根据图象可以判定
A.甲车的加速性能最好 B.乙比甲的加速性能好

(

) 图9

C.丙比乙的加速性能好 D.乙、丙两车的加速性能相同

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解析:图象的斜率表示加速度,加速度越大,加速性能越好.选项 B、D 正确. 答案:BD 10.处于平直轨道上的甲、乙两物体相距 x,乙在甲前且两物体同时、同向开始运动,甲以初速 度 v、加速度 a1 做匀加速直线运动,乙做初速度为零、加速度为 a2 的匀加速直线运动,假设甲 能从乙旁边通过,下述情况可能发生的是 A.a1=a2 时,能相遇两次 C.a1<a2 时,能相遇两次 ( )

B.a1>a2 时,能相遇两次 D.a1<a2 时,能相遇一次

解析:利用图象进行分析,如图所示,分别表示 a1=a2 时、a1>a2 时、a1<a2 时的速度图象.

对于 A 选项,甲的速度总是大于乙的速度,它们只能相遇一次,即甲追上乙车并超过乙;对于 B 选项,甲追上乙后,并超过乙,只能相遇一次;对于 C 选项,当甲、乙速度相等时,若是甲 刚好追上乙,那么它们只能相遇一次,若是甲在速度未相等之前追上乙,以后乙的加速度比甲 大,故其速度总会超过甲,乙会追上甲并超过甲,有可能相遇两次,若甲在速度与乙相等时还 没有追上乙,则永远追不上乙,一次相遇的机会都没有.故正确答案为 C、D. 答案:CD 三、非选择题(本题共 2 小题,共 30 分) 11.(15 分)一宇宙空间探测器从某一星球表面垂直升空, 假设探测器的质量恒为 1500 kg,发动机的推力为恒力, 宇宙探测器升空到某一高度时,发动机突然关闭,如图 10 所示为其速度随时间的变化规律.图中 9 s、25 s、45 s 三个时刻分别对应图象中的 A、B、C 三点. (1)试定性分析探测器的运动情况; (2)求探测器上升的最大高度. 图 10

解析:(1)升空后探测器做初速度为零的匀加速直线运动.9 s 末发动机关闭,此时速度最大, 此后做匀减速运动,25 s 末速度减为零,此时探测器离星球表面最高,再后探测器返回做自由 落体运动,45 s 末落地,速度大小为 80 m/s. 1 (2)由(1)中分析知 25 s 末探测器距星球表面最高,最大高度 hm= ×25×64 m=800 m. 2 答案:(1)见解析 (2)800 m
2 12.(15 分)一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以 3 m/s 的加速度开始加速行驶,恰

在这时一辆自行车以 6 m/s 的速度匀速驶来,从后边超过汽车.试求:汽车从路口启动后,在

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追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少? 解析:方法一:公式法 画出汽车和自行车的行程草图如图所示,当汽车的速度与自行车的速度相等时,两车之间的距 离最大. 设经过时间 t 两车之间的距离最大.则有:v 汽=at=v 自

v自 6 所以 t= = s=2 s a 3
1 2 1 2 Δxm=x 自-x 汽=v 自 t- at =6×2 m- ×3×2 m=6 m 2 2 方法二:图象法 画出自行车和汽车的速度-时间图象如图所示, 自行车的位移 x 自等于其图线与时间轴围成的矩 形的面积,而汽车的位移 x 汽则等于其图线与时 间轴围成的三角形的面积.两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差,不难看 出,当 t=t0 时矩形与三角形的面积之差最大.

v-t 图象的斜率表示物体的加速度
6 由 a= =3 得 t0=2 s

t0

1 当 t=2 s 时两车的距离最大:Δxm= ×2×6 m=6 m 2 方法三:二次函数极值法 设经过时间 t 汽车和自行车之间的距离为 Δx,则 1 3 Δx=v 自 t- at2=6t- t2 2 2 6 当 t=- =2 s 时 Δx 有极大值 3 2×(- ) 2 -62 Δ x m= m=6 m. 3 4×(- ) 2 方法四:相对运动法 选自行车为参考系,则从开始运动到两车相距最远这段过程中,以汽车相对地面的运动方向为正 方向,汽车相对此参考系的各个物理量分别为:v0=-6 m/s,a=3 m/s2,v=0 对汽车,由公式 v=v0+at 得

t=

v-v0 0-(-6) = s=2 s a 3

又知:v2- v0 2 =2ax
6

所以有 x=

v 2 ? v0 2 0-(-6)2 = m=-6 m 2×3 2a

相距最远为 6 m. 答案:2 s 6 m 两车同时由静止向同一方向加速行驶, 经过 30 s 13.(2010·南昌调研)在一次警车 A 追击劫匪车 B 时, 13. 2 2 追上.两车各自的加速度为 aA=15 m/s ,aB=10 m/s ,各车最高时速分别为 vA=45 m/s,vB=40 m/s, 问追上时两车各行驶多少路程?原来相距多远?

13 解析:如图所示,以 A 车的初始位置为坐标原点,Ax 为正方向,令 L 为警车追上劫匪车所走 过的全程,l 为劫匪车走过的全程.则两车原来的间距为 ΔL=L-l 设两车加速运动用的时间分别为 tA1、tB1,以最大速度匀速运动的时间分别为 tA2、tB2, 则 vA=aAtA1,解得 tA1=3 s 则 tA2=27 s,同理 tB1=4 s,tB2=26 s 1 警车在 0~3 s 时间段内做匀加速运动,L1= aAtA12 2 在 3 s~30 s 时间段内做匀速运动,则 L2=vAtA2 1 警车追上劫匪车的全部行程为 L=L1+L2= aAtA12+vAtA2=1 282.5 m 同理劫匪车被追上时的全部 2 1 行程为 l=l1+l2= aBtB12+vBtB2=1 120 m, 2 两车原来相距 ΔL=L-l=162.5 m 答案:1 282.5 m 1 120 m 162.5 m
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14.如图所示,小球甲从倾角θ=30°的光滑斜面上高 h=5 cm 的 A 点由静止释放(加速度为 5 m/s ), 同时小球乙自 C 点以速度 v0 沿光滑水平面向左匀速运动,C 点与斜面底端 B 处的距离 L=0.4 m.甲滑 下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝乙匀速追去,甲释放后经过 t=1 s 刚好追上乙,求乙的速 度 v0.(g=10m/s2)

14.解析:设小球甲在光滑斜面上运动的加速度为 a,运动时间为 t1,运动到 B 处时的速度为 v1,从

B 处到追上小球乙所用时间为 t2,则 a=gsin 30°=5 m/s2 由

得:t1=

=0.2 s,t2

=t-t1=0.8 s,v1=at1=1 m/s,v0t+L=v1t2 代入数据解得:v0=0.4 m/s.答案:0.4 m/s

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