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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 从力做的功到向量的数量积课件1 北师大版必修4


力对物体所做的功
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,那么力F 所做的功应当怎样计算? F θ s

W ? F s cos?

向量的夹角
两向量的夹角范围是? ? [0, ? ]
O A A O B A O

b

B A

?


O a 你能指出下列图中两向量的夹角吗?
? a 与b 同向, ? ? 0 B

B

? ? 180? ,a 与b 反向

? ? 90?,a 与b 垂直
记作 a ? b

问题一:a // b时,夹角? =?
由于零向量的方向是不确定的,因此规 定:零向量可与任一向量垂直。

练习一:

在△ABC中,已知A=45°,B=50°,C=85° A 求下列向量的夹角:
(1) (2) (3)

AB与AC 45°

AB与BC; 130°
B

C

AC与BC。85°

射 影
B b 过点B作 BB1 ? OA垂足为 B1 ,则

?
O

a

B1 A

OB1 ? | b | cosθ

| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的射影. 问题二:射影是向量还是数量呢?

其正负如何确定?

练习二、指出下图中b 在 a 方向上的射影, 并判断其正负.
B B b B

b

b

?
O a

?
B1
A

B1

O

a A

? O( B1 ) a

A

θ为锐角时, | b | cosθ>0 a O θ为 b

θ为钝角时, | b | cosθ<0 b B O

θ为直角时, | b | cosθ=0 a A

A B 。 0时,它是 | b |

。 θ为 180时,它是 -| b |

平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为? ,我们把数量

b ,即 | a || b | cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·

a ? b ?| a || b | cos?
注意: “a ? b ”能不能写成“ a ? b ”或者“ ab ” 的形式。 问题 向量的加、减法的结果是向量还是数量?向 三 量的数量积运算呢?其正负如何确定? 规定:零向量与任意向量的数量积为0,即a ? 0 ? 0

向量数量积的意义
※平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos的乘积 ※向量数量积的物理意义是:力对物体做功。 就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F· s

练习三、根据公式a ? b ?| a || b | cos ? 完成下列 各题.并根据条件和结果,猜想数量积的性质
1、已知向量e为a方向上的单位向量,求a在 e方向上的射影及a ? e , e ? a a cos ?

性质(1)e是单位向量, a ? e ? e ? a ? a cos ?
2、已知 a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为90?, 则a ? b ? 0

性质(2)? ? 90? ? a ? b ? a ? b ? 0

3、若 a ? 1, b ? 3, a、b 共线, 则a ? b ?

?3

(3)若a // b,则a ? b ? ? a
a ?a ? a
2

b

或 a ? a ?a

4、已知 a ? 3, b ? 4, a ? b ? ?6, 则a与b的夹角为 120o

a ?b

? 4?

cos ? ? a b

(5) a(5) ?b a 与?a 的大小关系是 ? b b? a b

平面向量数量积的性质:

(1)e是单位向量, a ? e ? e ? a ? a cos ?

*(2)? ? 90? ? a ? b ? a ? b ? 0

(3)a // b ? a ? b ? ? a b
*特别地:a ? a ? a 或 a ? a 2
* ? 4 ? cos ? ? a ?b a b
2

(5) a ? b ? a b (当且仅当a // b时等号成立)

演练反馈 判断下列各题是否正确: (1)若 a ? 0则对任一向量 b ,有 a ? b ? 0 √ (2)若 a ? 0,a ? b ? 0 ,则 b ? 0 × (3)若 a ? 0 ,a ? b ? b ? c ,则 a ? c

×

( 4)

a ? b ? a b ? a // b



总结提炼
①平面向量的数量积及其性质;
②理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新 的运算,注意它们的区别; ③主要题型有:求两向量的数量积、求向量的模、 求两个向量的夹角、判断两向量是否垂直及三角 形的形状等。 下节课我们将进一步的学习。 ④体会分类讨论、数形结合的思想。

作业:
1、 课本P95习题2-5,1(1) 3、4、5 2、已知

。 a与 b的夹角为 30 ,则 a · b=_______

a ? 2sin15 , b ? 4cos15

课后讨论
平面向量数量积,是两个向量之间的一种乘法

运算,它与两个实数之间的乘法运算是否一样
满足交换律、分配律、结合律呢?能否给出你

的结论的证明?


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