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江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试数学试题

时间:2015-02-27


泰州市 2015 届高三第一次模拟考试 数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
命题人:朱占奎 张 俊 吴春胜 审题人:丁凤桂 石志群 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. (参考公式: S ?
2

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? n


? ( xn ? x ) 2 ] , x ?

1 ( x1 ? x2 ? n

? xn ) )

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知 A ? ?1,3,4? , B ? ?3, 4,5? ,则 A 2.函数 f ( x) ? sin(3 x ?

B?


▲ . ▲



?
6

) 的最小正周期为

3.复数 z 满足 i z ? 3 ? 4i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 4.函数 f ( x) ?



2 x ? 4 的定义域为



. ▲ . .

5.执行如右图所示的流程图,则输出的 n 为 6.若数据 2, x, 2, 2 的方差为 0 ,则 x ? ▲

7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概率为 ▲ . ▲ .

8.等比数列 {an } 中, a1 ? 32a6 ? 0 , a3a4 a5 ? 1 ,则数列的前 6 项和为 9.已知函数 f ( x) ? ?

?

x 2 ? sin x, x ? 0

2 ?? x ? cos( x ? ? ), x ? 0

是奇函数,则 sin ? ?





10.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双曲线的 a2 b2
▲ . ▲ . (写出所有

离心率 e ?

11.若 ?、? 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 真命题的序号)

①若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定不存在与直线 m 平行的直线.
高三数学试卷第 1 页 共4页

②若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. 12.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c , c ? 0 ,则
2 2 2

b 的取值范围为 a ? 2c
2


2 2



13.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 ?B ? ?C 且 7a ? b ? c ? 4 3 , 则 ?ABC 面积的最大值为 ▲ .

14.在梯形 ABCD 中, AB ? 2DC , BC ? 6 , P 为梯形 ABCD 所在平面上一点,且满足

AP ? BP ? 4DP =0, DA ? CB ? DA ? DP ,Q 为边 AD 上的一个动点,则 PQ 的最小值
为 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的终边经过点 P(3, 4) . (1)求 sin(? ?

?
4

) 的值;

(2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q ,求 OP ? OQ 的值.

16.(本题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, AC , BD 相交于点 O , EF / / AB ,

AB ? 2 EF ,平面 BCF ? 平面 ABCD , BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG / / 平面 EFCD ; E (2)求证:直线 AC ? 平面 ODE .

F

D O A B G

C

高三数学试卷第 2 页

共4页

17.(本题满分 14 分) 如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角三 角形 ?PRQ 构成,其中 O 为 PQ 的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道

ABCD ,按实际需要,四边形 ABCD 的两个顶点 C、D 分别在线段 QR、PR 上,另外两 B、 C D 个顶点 A、B 在半圆上, AB / /CD / / PQ , 且A
的周长为 c km. (1)若 C、D 分别为 QR、PR 的中点,求 AB 长; (2)求周长 c 的最大值.
R C Q B

间的距离为 1km. 设四边形 ABCD

O

D A P

18.(本题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为

x2 y 2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶 a b 2

点为 A ,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 PA, QA 分别

与 y 轴交于 M , N 两点.若直线 PQ 斜率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

2 时, PQ ? 2 3 . 2

(2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.
y P M A O x

Q N

高三数学试卷第 3 页

共4页

19.( (本题满分 16 分) 数列 an ? , bn ? , cn ? 满足: bn ? an ? 2an?1 , cn ? an?1 ? 2an?2 ? 2 , n ? N * . (1)若数列 an ? 是等差数列,求证:数列 bn ? 是等差数列; (2)若数列 bn ? , cn ? 都是等差数列,求证:数列 an ? 从第二项起为等差数列; (3)若数列 bn ? 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 an ? 是否成等差数列?证明你 的结论.

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 , g ( x) ? ax ? b . x

(1)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2) 若直线 g ( x) ? ax ? b 是函数 f ( x) ? ln x ?

1 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x
2

(3)当 b ? 0 时, 若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 求证:x1 x2 ? 2e . (取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )

泰州市 2015 届高三第一次模拟考试 数 学 试 题(附加题)
(考试时间:30 分钟 总分:40 分)
21.( [选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前
高三数学试卷第 4 页 共4页

两题记分. A. (本小题满分 10 分,几何证明选讲) 如图, EA 与圆 O 相切于点 A , D 是 EA 的中点,过点 D 引圆 O 的割线,与圆 O 相交于 点 B, C ,连结 EC . 求证: ?DEB ? ?DCE .

B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换) 已知矩阵 A ? ?

?1 0 ? ?1 2 ? ?1 , B?? , 若 矩 阵 AB 对 应 的 变 换 把 直 线 l 变 为 直 线 ? ? ?0 2 ? ?0 1 ?

l ? : x ? y ? 2 ? 0 ,求直线 l 的方程.
C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲) 己知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 O 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) . 以原点 O 为 ? y ? 2sin ?

极点, 以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为 ? (sin ? ? cos? ) ? 1 , 直线 l 与圆 M 相交于 A, B 两点,求弦 AB 的长. D. (本小题满分 10 分,不等式选讲) 已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 ,求证:

b c a ? 2 ? 2 ?3. 2 a b c

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 22.((本小题满分 10 分) 如图,在长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, DA ? DC ? 2 , DD? ? 1 , A?C ? 与 B ?D ? 相交于
高三数学试卷第 5 页 共4页

点 O? ,点 P 在线段 BD 上(点 P 与点 B 不重合) . (1)若异面直线 O?P 与 BC ? 所成角的余弦值为

55 ,求 DP 的长度; 55

(2)若 DP ?

3 2 ,求平面 PA?C ? 与平面 DC ?B 所成角的正弦值. 2

23.((本小题满分 10 分) 记 Cir 为从 i 个不同的元素中取出 r 个元素的所有组合的个数.随机变量 ? 表示满足

Cir ?

1 2 i 的 二 元 数 组 (r ,i )中 的 r , 其 中 i ??2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ? 8, , 9每 , 1一 0 个 Cir 2

( r ? 0,1,2,…, i )都等可能出现.求 E? .

泰州市 2015 届高三第一次模拟考试 数学参考答案
一、填空题 1. ?3, 4? ; 2.

2? ; 3

3. 4 ? 3i ;
高三数学试卷第 6 页

4. [2, ??) ;
共4页

5. 4 ;

6. 2 ;

7.

1 ; 3

8. ?

21 ; 4
13.

9. ?1 ;

10.

5 ; 3

11.②④; 二、解答题

12. [?

3 3 , ] ; 3 3

5 ; 5

14.

4 2 3

15. 解: (1)∵角 ? 的终边经过点 P(3, 4) ,∴ sin ? ? ∴ sin(? ?

4 3 , cos ? ? ,……………4 分 5 5

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?

4 2 3 2 7 ? ? ? ? ? 2 .……………7 分 4 5 2 5 2 10

(2)∵ P(3, 4) 关于 x 轴的对称点为 Q ,∴ Q(3, ?4) .………………………………9 分 ∴ OP ? (3, 4), OQ ? (3, ?4) ,∴ OP ? OQ ? 3? 3 ? 4 ? (?4) ? ?7 . 16. 证明(1)∵四边形 ABCD 是菱形, AC ……………14分

BD ? O ,∴点 O 是 BD 的中点,

∵点 G 为 BC 的中点 ∴ OG / / CD , ………………3 分 又∵ OG ? 平面 EFCD , CD ? 平面 EFCD ,∴直线 OG / / 平面 EFCD .………7分 (2)∵ BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点, ∴ FG ? BC , ∵平面 BCF ? 平面 ABCD ,平面 BCF 平面 ABCD ? BC ,

FG ? 平面 BCF , FG ? BC

∴ FG ? 平面 ABCD ,

………………9 分

∵ AC ? 平面 ABCD ∴ FG ? AC , ∵ OG / / AB, OG ?

1 1 AB , EF / / AB, EF ? AB ,∴ OG / / EF , OG ? EF , 2 2
∴ FG / / EO , ………………11 分

∴四边形 EFGO 为平行四边形,

∵ FG ? AC , FG / / EO ,∴ AC ? EO , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? DO , ∵ AC ? EO , AC ? DO , EO ∴ AC ? 平面 ODE .

DO ? O , EO、DO 在平面 ODE 内,
………………14分
Q B C

17. (1)解:连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M 、N ,连结 OB , ∵ C、D 分别为 QR、PR 的中点, PQ ? 2 ,∴ CD ?

1 PQ ? 1 , 2
R

?PRQ 为等腰直角三角形, PQ 为斜边,? RO ?
NO ?

1 PQ ? 1 , 2

N

M O

1 1 1 RO ? .∵ MN ? 1 ,∴ MO ? .………………3 分 2 2 2
高三数学试卷第 7 页 共4页

D A P

在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? ∴ AB ? 2BM ? 3 .

BO 2 ? OM 2 ?

3 , 2
……………6 分

(2) 解法1 设 ?BOM ? ? , 0 ? ? ?

?
2



在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? sin ? , OM ? cos ? . ∵ MN ? 1 ,∴ CN ? RN ? 1 ? ON ? OM ? cos ? ,
2 ∴ BC ? AD ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) ,……………………………………………………8 分 2 ∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(sin ? ? cos ? ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) ) ………………10 分

? 2 2 (sin ? ? cos ? )2 ? ( 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ) 2 ? 2 6 , (当 ? ?
5? ∴当 ? ? 或? ? 时,周长 c 的最大值为 2 6 km . 12 12
解法2 以 O 为原点, PQ 为 y 轴建立平面直角坐标系. 设 B(m, n) , m, n ? 0 , m ? n ? 1, C (m ? 1, m) ,
2 2

?
12



?

5? 时取等号) 12

…………………14 分

2 ∴ AB ? 2n , CD ? 2m , BC ? AD ? 1 ? (m ? n) .……………………………8 分 2 ∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(m ? n ? 1 ? (m ? n) )

………………………10 分

? 2 2 (m ? n)2 ? ( 1 ? (m ? n) 2 ) 2 ? 2 6 ,
(当 m ?

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时取等号) 4 4 4 4 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时,周长 c 的最大值 4 4 4 4
……………14分

∴当 m ?

为 2 6 km . 18. 解: (1)设 P( x0 ,

2 x0 ) , 2
高三数学试卷第 8 页 共4页

∵直线 PQ 斜率为

2 2 2 时, PQ ? 2 3 ,∴ x0 ? ( x0 ) 2 ? 3 ,∴ x02 ? 2 …………3分 2 2



2 1 c a 2 ? b2 2 ? ? 1 ,∵ ,∴ a2 ? 4, b2 ? 2 . e ? ? ? 2 2 a b a a 2
………………6分

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的标准方程为 4 2
(2)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且
2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 2 y0 ? 4, 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) , x0 ? 2 x0 ? 2
………………9分

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ), x0 ? 2 x0 ? 2 2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

4 x0 y0 4 y02 即x ?y ? 2 y? 2 ?0, x0 ? 4 x0 ? 4
2 2

………………12 分

2 2 ∵ x0 ,∴ x ? y ? ? 4 ? ?2 y0
2 2

2 x0 y?2? 0, y0

2 2 令 y ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 ,

∴以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) .

………………16 分

19.证明: (1)设数列 an ? 的公差为 d , ∵ bn ? an ? 2an?1 ,
高三数学试卷第 9 页 共4页

?

∴ bn?1 ? bn ? (an?1 ? 2an?2 ) ? (an ? 2an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? d ? 2d ? ?d , ∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列. (2)当 n ? 2 时, cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 ,

?

………………4分

bn ? cn ?1 b ?c ? 1,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2 bn ?1 ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ? ? ? ∴ an ?1 ? an ? , 2 2 2 2 b ? bn cn ? cn ?1 ? ∵数列 ?bn ? , ?cn ? 都是等差数列,∴ n ?1 为常数, 2 2
∵ bn ? an ? 2an?1 ,∴ an ? ∴数列 an ? 从第二项起为等差数列. (3)数列 an ? 成等差数列. 解法1 设数列 bn ? 的公差为 d ? , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ 2n bn ? 2n an ? 2n?1 an?1 ,∴ 2n?1 bn?1 ? 2n?1 an?1 ? 2n an ,…, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 , ∴ 2n bn ? 2n?1 bn?1 ? 设 Tn ? 2b1 ? 22 b2

?

………………10分

?

?

? 2b1 ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ? 2n?1bn?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ? 2n bn?1 ? 2n?1bn ,

两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (22 ?

? 2n?1 ? 2n )d ? ? 2n?1bn ,

即 Tn ? ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ∴ 2n?1 an?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n?1 (bn ? d ?) ,

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? (bn ? d ?) , ………………12分 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? ? (b2 ? d ?) ? 1 ? b1 , 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 3 2 23
∴ an ?1 ?

∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 , 23
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∴ an?1 ? ?(bn ? d ?) ,∴ an?2 ? an?1 ? ?(bn?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ?d ? , ∴数列 an ? ( n ? 2 )是公差为 ? d ? 的等差数列,

? ?

………………14分

∵ bn ? an ? 2an?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴数列 an ? 是公差为 ? d ? 的等差数列. 解法 2 ∵ bn ? an ? 2an?1 , b1 ? a3 ? 0 , ………………12分 ………………16分

令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴ bn?1 ? an?1 ? 2an?2 , bn?2 ? an?2 ? 2an?3 , ∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? (2an?1 ? an ? an?2 ) ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵数列 bn ? 是等差数列,∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? 0 , ∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵ a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 0 , ∴数列 an ? 是等差数列. 20. 解: (1) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

?

………………14分

?

………………16分

1 1 1 ? ax ? b ,则 h?( x ) ? ? 2 ? a , x x x 1 1 ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x) ? ? 2 ? a ? 0 , x x 1 1 1 1 即对 ?x ? 0 ,都有 a ? ? 2 ,∵ ? 2 ? 0 ,∴ a ? 0 , x x x x
故实数 a 的取值范围是 ( ??, 0] . (2) 设切点 ( x0 , ln x0 ? ………………4 分

1 1 1 1 ) ,则切线方程为 y ? (ln x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) , x0 x0 x0 x0

即y?(

1 1 2 1 1 1 1 1 ? 2 ) x ? ( ? 2 ) x0 ? (ln x0 ? ) ,亦即 y ? ( ? 2 ) x ? (ln x0 ? ? 1) , x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0

高三数学试卷第 11 页

共4页



1 1 1 2 ? t ? 0 ,由题意得 a ? ? 2 ? t ? t 2 , b ? ln x0 ? ? 1 ? ? ln t ? 2t ? 1 ,……7分 x0 x0 x0 x0
1 t (2t ? 1)(t ? 1) , t

令 a ? b ? ? (t ) ? ? ln t ? t 2 ? t ?1 ,则 ? ?(t ) ? ? ? 2t ? 1 ? 当 t ? (0,1) 时 , ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 t ? (1, ??) 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴ a ? b ? ? (t ) ? ? (1) ? ?1,故 a ? b 的最小值为 ?1 . (3)由题意知 ln x1 ?

………………10分

1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 , x1 x2

两式相加得 ln x1 x2 ?

x1 ? x2 x x ?x ? a( x1 ? x2 ) ,两式相减得 ln 2 ? 1 2 ? a( x2 ? x1 ) , x1 x2 x1 x1 x2

x2 x ln 2 x1 x ?x x1 1 1 ? ? a ,∴ ln x1 x2 ? 1 2 ? ( ? )( x1 ? x2 ) , 即 x2 ? x1 x1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ln
即 ln x1 x2 ?

2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln , x1 x2 x2 ? x1 x1

…………12分

不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ? ∴ F (t ) ? ln t ? ∴ ln t ?

2(t ? 1) x2 (t ?1 )2 (t ? 1) ,则 F ?(t) ? ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? ?0 , t ?1 x1 t (t ?1 )

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? F (1) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? t ?1 t ?1

2(t ? 1) x 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ,则 ln 2 ? ,∴ ln x1 x2 ? ? ln ? 2 , t ?1 x1 x1 ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1

又 ln x1 x2 ?

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∴ 2ln x1 x2 ?

4 2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? ? 1, x1 x2 x1 x2

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令 G ( x) ? ln x ? 又 ln 2e ?

2 1 2 ,则 x ? 0 时, G?( x) ? ? 2 ? 0 ,∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, x x x

2 1 2 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 , e 2e 2 2 2 ,则 x1 x2 ? 2e ,即 x1 x2 ? 2e2 . ? 1 ? ln 2e ? x1 x2 2e
………………16分

∴ G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ?

附加题参考答案
21.A.证明:∵ EA 与

O 相切于点 A .由切割线定理: DA2 ? DB ? DC .
………………5分

2 ∵ D 是 EA 的中点,∴ DA ? DE .∴ DE ? DB ? DC .



DE DB ? .∵ ?EDB ? ?CDE ∴ ?EDB DC DE

?CDE ∴ ?DEB ? ?DCE ……10分

21.B.解:∵ B ? ?

?1 2 ? ?1 ?2? ,∴ B?1 ? ? ? ?, ?0 1 ? ?0 1 ?
………………5分

∴ AB

?1

?1 0? ?1 ?2? ?1 ?2? ?? ?? ??? ?, ?0 2? ?0 1 ? ?0 2 ?
?1

设直线 l 上任意一点 ( x, y ) 在矩阵 AB 对应的变换下为点 ( x?, y?)

? x? ? x ? 2 y ?1 ?2 ? ? x ? ? x? ? ?0 2 ? ? y ? ? ? y?? ,∴ ? y? ? 2 y . ? ? ?? ? ? ?
代入 l ? , l ? : ( x ? 2 y) ? (2 y) ? 2 ? 0 ,化简后得: l : x ? 2 . 21.C.解:圆 O : x ? y ? 4 ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0 ,
2 2

………………10分 ………………5 分

圆心 O 到直线 l 的距离 d ?

2 2 1 2 ,弦长 AB ? 2 22 ? ( ? ) ? 14 .………10分 2 2 2

21.D. 证明:∵正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 , ∴ 3 ? a ? b ? c ? 3 3 abc ,∴ abc ? 1 , ………………5 分

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b c a b c a 1 ? 2 ? 2 ? 33 2 ? 2 ? 2 ? 33 ? 3. 2 a b c a b c abc

………………10分

22. 解: (1)以 DA, DC, DD? 为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 由题意,知 D(0,0,0) , A?(2,0,1) ,

B(2, 2,0) , C?(0, 2,1) , O?(1,1,1) .设 P(t , t , 0) ,
∴ O?P ? (t ?1, t ?1, ?1) , BC? ? (?2,0,1) . 设异面直线 O?P 与 BC ? 所成角为 ? , 则 cos ? ?

O?P ? BC? O?P ? BC?

?

?2(t ? 1) ? 1 2(t ? 1)2 ? 1 ? 5

?

55 , 55

2 化简得: 21t ? 20t ? 4 ? 0 ,解得: t ?

2 2 或t ? , 3 7
………………5 分

DP ?

2 2 2 或 DP ? 2. 3 7 3 3 3 2 ,∴ P ( , , 0) , 2 2 2

(2)∵ DP ?

1 3 3 1 DC? ? (0, 2,1) , DB ? (2, 2,0) , PA? ? ( , ? ,1) , PC ? ? (? , ,1) , 2 2 2 2
设平面 DC ?B 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , ∴?

? ? n1 ? DC ? ? 0 ? ? n1 ? DB ? 0

,∴ ?

? 2 y1 ? z1 ? 0 ? z1 ? ?2 y1 ,即 ? ,取 y1 ? ?1, n1 ? (1, ?1, 2) , ?2 x1 ? 2 y1 ? 0 ? x1 ? ? y1

设平面 PA?C ? 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

3 ? 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? ? ? n ? PA ? 0 ? z 2 ? y2 ? 2 ? 2 2 ∴? ,∴ ? ,即 ? ,取 y2 ? 1 , n2 ? (1,1,1) , 3 1 x ? y ? n ? PC ? 0 ? 2 2 ? ?? x ? y ? z ? 0 ? 2 2 2 2 ? ? 2 2
设平面 PA?C ? 与平面 DC ?B 所成角为 ? ,

高三数学试卷第 14 页 共 4 页

∴ cos ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2
7 . 3
r

?

2 2 , ? 3 6? 3
………………10分

∴ sin ? ?

23.解:∵ Ci ? 当 i ? 2 时,

1 2 i , 2

1 1 i (i ? 1) 1 2 52 3 Ci0 ? Cii ? 1 ? i 2 , Ci1 ? Cii ?1 ? i ? i 2 , Ci2 ? Cii ? 2 ? ? i , C5 ? , 2 2 2 2 2
1 2 i 的解为 r ? 0,1, , i . ………………3 分 2 i ?1 r ?1 r 当 6 ? i ? 10, i ? N * , Ci ? Ci ? r ? , 2 i (i ? 1)(i ? 2) 1 2 3 ? i ? i ? 3, 4,5 可知: 由 Ci ? 6 2 1 2 r 当 r ? 0,1, 2, i ? 2, i ? 1, i 时, Ci ? i 成立, 2 1 2 1 2 r 3 r 当 r ? 3, , i ? 3 时, Ci ? Ci ? i (等号不同时成立) ,即 Ci ? i .……………6 分 2 2
∴当 2 ? i ? 5, i ? N * 时, Ci ?
r

?



















P (? )

3 16

3 16

3 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

…………………………………………8 分 ∴ E? ? (0 ? 1 ? 2) ?

3 1 1 1 77 ? (3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? ? 9 ? ? 10 ? ? . 16 16 24 48 24
………………………………………10 分

高三数学试卷第 15 页 共 4 页


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