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2012版高考专题辅导与训练之综合评估训练(六)(数学理)人教A版·浙江专用


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温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。

综合评估训练(六)
专题一~七 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在

每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.在样本的频率分布直方图中,共有 8 个小长方形,若最后一个小长方形的面 积等于其他 7 个小长方形的面积和的 4 ,且样本容量为 200,则第 8 组的频数为 ( (A)40 (B)0.2 (C)50 (D)0.25
2 3 1

)

2. 两个实习生每人加工一个零件, 加工为一等品的概率分别为 3 和 4 ,两个零件 是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( (A) 2
1

)

? ? ? ? a =(1,1),2 a + b =(4,2),则向量 a 3.(滚动单独考查)已知向量

(B) 12

5

(C) 4

1

(D) 6

1

,

? b 的夹角θ

的余

弦值为( (A)
3 10 10

) (B) ?
3 10 10

(C)

2 2

(D) ?

2 2

4.(滚动单独考查)在等差数列{an}中, 首项 a1=0,公差 d≠0,若 ak=a1+a2+a3+…+a7, 则 k=( (A)22 ) (B)23 (C)24 (D)25

5.(2011·杭州模拟)若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5
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等于( (A)-5

) (B)10 (C)-10 (D)5

6.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了 n 位中学生进 行调查,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、第 3 个小长方形的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列, 又第一小组的频数是 10,则 n 等于( )

(A)80

(B)90

(C)100
?

(D)110
?

7.(滚动单独考查)函数 f(x)=sin2(x+ 4 )+cos2(x- 4 )-1 是( (A)周期为π 的偶函数 (B)周期为 2π 的偶函数 (C)周期为 2π 的奇函数 (D)周期为π 的奇函数

)

8.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,…,600.采用系统抽样的方 法抽取一个容量为 50 的样本, 且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三 个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( (A)26,16,8
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)

(B)25,17,8
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(C)25,16,9

(D)24,17,9

9.(2011·台州模拟)甲盒子中装有 2 个编号分别为 1,2 的小球,乙盒子中装有 3 个编号分别为 1,2,3 的小球,从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球,则取出 的两小球编号之和为奇数的概率为( (A) (C)
2 3 1 3

)

(B) (D)

1 2 1 6
x2 ? y2 b2 ? 1 (a>0,b>0)与

10.(滚动单独考查) (2011?温州模拟)已知 F1、 2 是双曲线 a 2 F 椭圆
x2 9 ? y2 5 ? 1 的共同焦点,若点

P 是两曲线的一个交点,且△PF1F2 为等腰三角 )

形,则该双曲线的渐近线方程是( (A)x±
3 y=0

(B)

3 x±y=0

(C)x± 2 2y=0

(D) 2 x±y=0

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在题中的横线 上) 11.一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6,将这 颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数可以构成等差数列的概率 为______________________________. 12.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从 该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学 的次数,结果用茎叶图表示如下:据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用 多媒体进行教学次数在[15,25)内的人数为_________.

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13.(2011·绍兴模拟)A 袋中有 1 张 10 元、1 张 5 元的钱币, 袋中有 2 张 10 元、 B 1 张 5 元的钱币,从 A 袋中任取一张钱币与 B 袋中任取一张钱币互换,这样的 互换进行了一次.那么,A 袋中 10 元钱币至少一张的概率是____________. 14.(滚动单独考查)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为 2 的 正三角形,侧视图是直角三角形,则此几何体的体积为_____________.

15.(2011· 宁波模拟)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球, 球的编号分别为 1,2,3,4.从袋中随机抽取一个球,其编号记为 a,然后从袋中余下的三个球中再 随机抽取一个球, 其编号记为 b.则函数 f(x)=x2+ax+b 有零点的概率是__________. 16.(滚动交汇考查)(2011·宁波模拟)已知一组抛物线 y= ax2+bx+1,其中 a 为 2、
2 1

4 中任取的一个数,b 为 1、3、5 中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两 条,它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是_________. 17.(2011·金华模拟)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从
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这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ =|x-2|+|y-x|,则ξ 的数学期望为_________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 18.(14 分)(滚动单独考查)在△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别是 a,b,c,满足: (b+a)(sinB-sinA)=sinC( b-c).
5 6

(1)求 cos2A 的值. (2)若 b+c=8,a=4,求△ABC 的面积. 19.(14 分)(2011·北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵 数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总 棵数为 19 的概率. (注:方差 s2= [? x1 ? x ? ? ? x 2 ? x ? ? ? ? ? x n ? x ? ] ,其中 x 为 x1,x2,…,xn 的平均
1
2 2 2

n

数) 20.(14 分)(2011·广东高考)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法 从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的 含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据:

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(1)已知甲厂生产的产品共 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175 且 y≥75 时,该产品为优等品,用上述 样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品 数ξ 的分布列及其均值(即数学期望). 21.(15 分)(滚动单独考查)如图,已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是直角梯 形, AB⊥BC, AB∥CD,E,F 分别是棱 BC, 1C1 上的动点, EF∥CC1,CD=DD1=1, B 且 AB=2, BC=3.

(1)证明:无论点 E 怎样运动,四边形 EFD1D 都为矩形; (2)当 EC=1 时,求几何体 A-EFD1D 的体积. 22.(15 分)设 a>0,f(x)= x ? a ,g(x)=exf(x)(其中 e 是自然对数的底数), (1)求证曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处有相同的切线; (2)设函数 g(x)的极大值为 g(t),是否存在整数 m,使 g(t)<m 恒成立?若存在,
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x

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则求 m 的最小值,若不存在,则说明理由.

答案解析
1.【解析】选 A.由题意知第 8 组的频率为 5 ,故第 8 组的频数为 200〓 5 =40. 2.【解析】选 B.所求概率为 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 12 .
? ? ?
2 1 1 3 5 1 1

3.【解析】选 C.∵2 a =(2,2),∴ b =(2 a + b )-2 a =(4,2)-(2,2)=(2,0),
? a |= 2 ∴|

?

?

,|

? ? ? b |=2, a 〃 b =2,

? ? a , b 的夹角θ的余弦值 故向量
? ? a ?b 2 2 cos? ? ? ? ? ? . 2 | a || b | 2 2

4.【解析】选 A.∵a1+a2+a3+…+a7= ∴k=22.

7 ? a1 ? a 7 ? 2

=21d,

5.【解析】选 B.∵[(2x-3)5]′=10(2x-3)4 =a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4. ∴a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10(2〓1-3)4=10. 6.【解析】选 C.设第 1 个小长方形的面积为 S,则 4 个小长方形的面积之和为 4S+ 2 〓0.1,由题意知,4S+ 2 〓0.1=1, ∴S=0.1,又 n =0.1,∴n=100. 7.【解析】选 D.f(x)=sin2( 4 +x)+cos2( 4 -x)-1
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4?3

4?3

10

?

?

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=2cos2( 4 -x)-1 =cos( 2 -2x)=sin2x. 故函数 f(x)是周期为π的奇函数. 8.【解析】选 B.依题意及系统抽样的意义可知,将这 600 名学生按编号依次分 成 50 组,每一组有 12 名学生,第 k(k∈N*)组抽中的号码是 3+12(k-1).令 3+12(k-1)≤300 得 k≤ 4 ,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是 25; 300<3+12(k-1) 令 ≤495 得 4 <k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是 42-25=17.第Ⅲ营区被抽中的 人数是 50-25-17=8. 9. 【解析】 B.记 选 “取出的两小球编号之和为奇数” 为事件 A, P(A)= 2 ? 3 ? 2 . 则 10.【解析】选 B.由题意知|F1F2|=4,设|F2P|=4, 则|F1P|=2,从而 a=1,双曲线的半焦距 c=2, ∴b=
3, 3 x,

?

?

103

103

3

1

∴双曲线的渐近线方程为 y=〒 即
3 x〒y=0.

11.【解析】基本事件总数为 63=216,其中三次点数可以成等差数列包含的基本 事件数为 18,故所求概率 P= 216 =12 . 答案: 12 12. 【解析】 由茎叶图知, 使用多媒体进行教学次数在 [15,25)内的频率为 20 ? 10 , 人数约为 200〓 10 =60(人). 答案:60 13.【解析】互换一张共有 6 种情况.互换后 A 袋中没有 10 元的情况只有 1 种, 故所求概率为 P=1- 6 = 6 .
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18

1

1

6

3

3

1

5

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答案: 6 14.【解析】由三视图知,该几何体是一个四棱锥,其底面是上下底边分别为 3 和 5,高为 2 的直角梯形,故 S 底= 2 (3+5)〓2=8,又四棱锥的高为 体的体积为 V= 3 〓8〓 答案:
8 3 3

5

1

3 ,故该几何

1

3=

8 3 3

.

15.【解析】共有(1,2)(1,3)(1,4) (2,1)(2,3)(2,4) (3,1)(3,2)(3,4) (4,1)(4,2)(4,3)12 种结果. 函数 f(x)=x2+ax+b 有零点,需满足 a2-4b≥0, 即 a2≥4b,有(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)共 6 种,故 P= 12 ? 2 答案: 2 16.【解析】∵y′=ax+b, ∴当 x=1 时,y′=a+b,即 x=1 处切线的斜率. 抛物线有以下可能 a=2,b=1;a=2,b=3;a=2,b=5;a=4,b=1;a=4,b=3;a=4,b=5 共有 6 种, 从中任取两条有 15 种可能,其中 a=2,b=3 和 a=4,b=1 时,a+b 值相同,切线平 行;a=2,b=5 和 a=4,b=3 时,a+b 值相同,也平行,故所求概率 P= 15 . 答案: 15 17.【解析】共有以下九种情况 ①x=1,y=1;②x=1,y=2;③x=1,y=3;④x=2,y=1;⑤x=2,y=2;⑥x=2,y=3; ⑦x=3,y=1;⑧x=3,y=2;⑨x=3,y=3,
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6

1

1

2

2

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ξ的值依次为①1 ②2 ③3 ④1 ⑤0 ⑥1 ⑦3 ⑧2 ⑨1 所以 P(ξ=0)= 9 ,P(ξ=1)= 9 ,P(ξ=2)= 9 ,P(ξ=3)= 9 , ∴E(ξ)=0〓 9 +1〓 9 +2〓 9 +3〓 9 = 9 . 答案: 9
14 6 1 4 2 2 14 1 4 2 2

18.【解析】(1)由正弦定理得:(b+a)(b-a)=c( 5 b-c), ∴由余弦定理得 b2+c2-a2= 5 bc=2bccosA, ∴cosA= 5 . ∴cos2A=2cos2A-1=- 25 . (2)将 b+c=8,a=4 代入 b2+c2-a2= 5 bc, 即(b+c)2-a2= 5 bc,得 82-42= 5 bc,bc=15, 又 sinA=
1
3 4 1 ? cos 2 A ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5

6

3

7

6

16

16

∴S△ABC= 2 bcsinA= 2 〓15〓 5 =6. 19.【解析】(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是 8,8,9,10, 所以平均数为 x ? 方差为 s
2

1

4

8 ? 8 ? 9 ? 10 4

?

35 4

;

?

1? 35 2 35 2 35 2 35 2 ? 11 ? (8 ? 4 ) ? (8 ? 4 ) ? (9 ? 4 ) ? (10 ? 4 ) ? ? 16 . 4? ?

(2)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11; 乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10.分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4) (A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4)
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用 C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为 P(C)= 16 ? 4 . 20.【解析】(1)由题意,抽取比例为 98 ? 7 ,………………………………2 分 则乙厂生产的产品数量为 5〓7=35; ……………………………………………4 分 (2)由表格知乙厂生产的优等品为 2 号和 5 号,所占比例为 5 .……………6 分 由此估计乙厂生产的优等品的数量为 35〓 5 =14; …………………8 分 (3)由(2)知 2 号和 5 号产品为优等品,其余 3 件为非优等品.ξ的取值为 0,1,2.P(ξ=0)= C 2
5 2 C3

4

1

14

1

2

2

?

3 10
,

,

P(ξ=1)=

C1 C1 3 2 C
2 5

?

6 10

?

3 5

P(ξ=2)= C 2
5

C2 2

?

1 10

.

从而分布列为

b …………………………………………………………………………………11 分 数学期望 E(ξ)= 0 ? 10 ? 1? 5 ? 2 ? 10 ? 5 . …………………………………………………………………………………14 分 21.【解析】(1)在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DD1∥CC1,
3 3 1 4

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∵EF∥CC1, ∴EF∥DD1, 又∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 平面 ABCD∩平面 EFD1D=ED, 平面 A1B1C1D1∩平面 EFD1D=FD1, ∴ED∥FD1, ∴四边形 EFD1D 为平行四边形, ∵侧棱 DD1⊥底面 ABCD, 又 DE?平面 ABCD, ∴DD1⊥DE, ∴四边形 EFD1D 为矩形. (2)连结 AE, ∵四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱, ∴侧棱 DD1⊥底面 ABCD, 又 AE?平面 ABCD, ∴DD1⊥AE, 在 Rt△ABE 中,AB=2,BE=2, 则 AE= 2 2 ;
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在 Rt△CDE 中,EC=1,CD=1, 则 DE= 2 ; 在直角梯形 ABCD 中,
2 AD= BC ? ? AB ? CD ? ? 10; 2

∴AE2+DE2=AD2,即 AE⊥ED, 又∵ED∩DD1=D, ∴AE⊥平面 EFD1D; 由(1)可知,四边形 EFD1D 为矩形, 且 DE= 2 ,DD1=1, ∴矩形 EFD1D 的面积为 SEFD D =DE〃DD1= 2 ,
1

∴几何体 A-EFD1D 的体积为
1 1 4 VA ? EFD1D= SEFD1D ? AE= ? 2 ? 2 2= 3 3 3

.
(x 2 ? ax ? a)e x (x ? a) 2 .

22.【解析】(1)f′(x)= (x ? a) 2
1 1

?a

x , g? ? x ? ? e [f ? x ? ? f ? ? x ?] ?

f′(0)= ? a ,g′(0)= ? a .又 f(0)=0,g(0)=f(0)=0. 所以,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处有相同的切线 y ? ? a . (2)设 h(x)=x2-ax-a,则Δ=a2+4a>0,方程 h(x)=0 有两个不同实根 x1,x2. 不妨设 x1<x2,因为 h(a)=-a<0, 所以 x1<a,x2>a. 当 x 变化时,g′(x)、g(x)的取值情况是:
x

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x 1e x1 x1 ? a .

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所以 t=x1,函数 g(x)的极大值是 g ? x 1 ? ? 又因为 h(0)=-a<0,h(-1)=1>0, 所以-1<x1<0. 从而 e < e
1
x1

<1,0< x

x1
1

?a

<1.所以 0<g(t)<1.

因此,这样的整数 m 存在,且 m 的最小值为 1.

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