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2013邯郸一模理科数学答案


邯郸市 2013 年高三第一次模拟考试 理科数学答案
一、选择题:每题 5 分共 60 分 1-5 DDCBB 6-10 ABDBC 11-12 DA

二、填空题:每题 5 分,共 20 分 13、68;14、8;15、 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1;16、

4? . 3

三、解答题:解答应写出

文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12 分) 解: (I)由 m ⊥ n ,得 2a cos C ? c ? 2b ? 0 , 再由正弦定理得: 2sin A cos C ? sin C ? 2sin B ?????2 分 又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 所以 sin C ? 2 cos A sin C ?????4 分
w.w

? sin C ? 0,? cos A ?
又? 0 ? A ? ? ,? A ?

?

1 2
.w

3

?????6 分

(II )由正弦定理得 b ?

a sin B 2 2 ? sin B, c ? sin C sin A 3 3

b?c ?

2 2 (sin B ? sin C ) ? ?sin B ? sin( A ? B)? ??8 分 3 3

? 2(
?A?

3 1 ? sin B ? cos B) ? 2sin( B ? ) ??10 分 2 2 6
2? ? ? 5? ? 1 ),? B ? ? ( , ) ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 6 6 6 2

?
3

,? B ? (0,

故 b+c 的取值范围为(1,2]. ??12 分 18.(12 分) 解: (Ⅰ) 其它组的频率和为 (0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8, 所以第四组的频率为 0.2??3 分

(Ⅱ)依题意“预备生”和“非预备生”的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方 法抽取的 5 人中有“预备生”3 人, “非预备生” 2 人,记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是“预备生”为事件 A

? P( A) ? 1 ? P( A) = 1 ?

2 C2 1 9 ? 1? ? . 2 C5 10 10

????6 分

(Ⅲ)由频率分布直方图可知,第四组的人数为 8 人,第五组的人数为 4 人 ? 的所有可能取值为 0,1,2

P(? ? 0) ?

C82 14 C1C1 16 C2 1 ? , P(? ? 1) ? 8 2 4 ? , P(? ? 2) ? 4 ? 2 2 C12 33 C12 33 C12 11

????9 分

? ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

14 33

16 33

1 11

? E ?) 0 ? ( ?

14 16 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 33 33 11 3

??????12 分

19. (12 分) 解:(Ⅰ)证明: ? 点 P 在平面 ABC 上的射影 D 是 AC 的中点, ? PD⊥平面 ABC,PD ? 平面 PAC ? 平面 PAC⊥平面 ABC ??????2 分

z

P

? BC=2AC=8,AB=4 5
C

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,故 AC⊥BC ???4 分
又平面 PAC ? 平面 ABC=AC,BC ? 平面 ABC
x

D

A

B
y

BC⊥平面 PAC,又 BC ? 平面 PBC ? 平面 PBC⊥平面 PAC???6 分 (Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(4,0,0) ,B(0,8,0) ,P(2, 0, 2 3 ) B ? 22 3 ,P , 8 ,) ( ,?

?? ?

?? ? (0A ?? 8B ) , 4

.???8 分

设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 )

?2 x1 ? 8 y1 ? 2 3z1 ? 0 ? ? ??4 x 1 ?8 y1 ? 0 ?
令 y1 ? 1, 则x1 =2,z1 ?

2 3 2 3 ) ? n ? (2,1, 3 3

设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x2 , y2 , z2 )

??? ? ??? ? CP ? 2,2 3) CB ? (0,8,0) ( 0, ,
?2 x2 ? 2 3 z2 ? 0 ? ? ?8 y2 ? 0 ?
令 y2 =0, z2 =1, x2 =- 3, m ? (- 3, ???10 分 01) ,

cos m,n ?

m ? n 2 19 ? m n 19

? 二面角 A ? PB ? C 的平面角的余弦值为
20.(12 分) 解: (Ⅰ)? b ? c ? 1 ? a ? b ? c ? 2
2 2 2

2 19 ???12 分 19

x2 ? y 2 ? 1???4 分 所以椭圆方程为 2
? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? 2 ? y ?1 ?

(Ⅱ)由已知直线 AB 的斜率存在,设 AB 的方程为: y ? k ( x ? 2) 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0

? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 ,得: k 2 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

1 2 2 ,即 k ? (? , ) 2 2 2

-------6 分

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

(1)若 O 为直角顶点,则 OA ? OB ? 0 ,即 有x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

??? ??? ? ?

? y1 y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ,所以上式可整理得,
8k 2 ? 2 4k 2 5 2 2 ? ? 0 ,解,得 k ? ? ,满足 k ? (? , ) -------8 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 5 2 2
(2)若 A或B 为直角顶点,不妨设以 A 为直角顶点, kOA ? ?

1 ,则 A 满足: k

? 2k 2 1 x? 2 ? ? ? ?y ? ? x k ? 1 ,代入椭圆方程,整理得, k 4 ? 2k 2 ? 1 ? 0 ,解得 ? k ? ? y ? ? 2k ? y ? k ( x ? 2) ? ? k 2 ?1 ?
解得, k ? ?

2 ? 1 ,满足 k ? (?

2 2 , ) -------10 分 2 2

?k ??

5 或k ? ? 5

2 ? 1 时,三角形 OAB 为直角三角形. -------12 分

21. (12 分)

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

m( x 2 ? n) ? 2mx mx 2 ? 2mx ? mn ? ( x 2 ? n) 2 ( x 2 ? n) 2

-----------2 分

, 由 f ( x) 在 点 ( 1 f

( 1处 )的 切 线 方 程 为 y ? 2 , 得 f ?(1) ? 0 , f (1) ? 2 即 )

? mn ? m ? (1 ? n) 2 ? 0 4x ? , 解得 m ? 4, n ? 1 .故 f ( x ) ? 2 ----------------4 分 ? m x ?1 ? ?2 ? 1? n ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?( x ) ?

4(1 ? x )(1 ? x ) ( x ? 1)
2 2

,故 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递增,在 (1,2)

1 2



单调递减,由 f (1) ? 2, f ( 2) ? f ( ) ?

1 2

8 ?8 ? ,故 f ( x ) 的值域为 ? ,2? 5 ?5 ?

------6 分

依题意 g ?( x) ?

axe ? e x2
ax

ax

1 e ax a ( x ? ) a ,记 M ? ? 1 ,2?, ? 2 ?4 ? x ? ?

8 ? ? g ( 2) ? 5 1 (ⅰ)当 a ? 时, g ?( x ) ? 0 , g (x) 在 M 上单调递减,依题意由 ? 得 1 2 ?g ( ) ? 2 ? 4

? 4 ln 2 ? a ? ln

1 16 16 ? e 故此时 ? 4 ln 2 ? a ? ---------------------8 分 , 5 2 5

(ⅱ)当

1 1 1 1 1 1 ? a ? 4 时, 2 > > 当 x ? ( , ) 时, g ' ( x) < 0 ,当 x ? ( ,2) 时, a 4 2 4 a a

g ' ( x) > 0 .依题意得:
?1 ?1 ?2 ? a ? 4 ?2 ? a ? 4 ? 1 ? 1 1 16 8 ? ? ? a ? ln 解得 -----------------------10 分 ?g ( ) ? 2 或 ?g ( ) ? 2 5 5 ? 4 ? 4 ? g ( 2) ? 8 ? g ( 2) ? 2 ? ? 5 ? ? 1 1 ' (ⅲ)当 a ? 4 时, ? ,此时 g ( x) > 0 , g (x) 在 M 单调递增.依题意得 a 4

? ? a?4 ? ? a 即 ? e ? 2 此不等式组无解----------11 分 ? ?e a ? ( 2 ) 4 ? 5 ? 4 5 综上,所求 a 取值范围为 [?4 ln 2, ln ] -----12 分. 5
? ?a ? 4 ? ? ? g (2) ? 2 ? ?g ( 1 ) ? 8 ? 4 5 ?
选做题 22. (10 分) 解: )∵PA 为⊙O 的切线,∴?PAB ? ?ACP , (Ⅰ

AB PA ? .???????4 分 AC PC 2 (Ⅱ )∵PA 为⊙O 的切线, PBC 是过点 O 的割线,∴PA ? PB ? PC .
又 ? P ? ? P ∴?PAB ∽?PCA .∴ 又∵PA ? 10 , PB ? 5 ,∴PC ? 20 , BC ? 15 ?7 分

AB PA 1 ? ? ,∵BC 是⊙O 的直径, AC PC 2 ? 2 2 2 ∴?CAB ? 90 .∴ AC ? AB ? BC ? 225, ∴ AC= 6 5 ?????10 分
由(Ⅰ )知, 23、 (10分) 解: (1)由 ? ?

2 cos ? ,得 ( ? sin ? )2 ? 2? cos? 2 sin ?
????4分
2

? 曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2x
2

(2)将直线 l 的参数方程代入 y ? 2 x ,得 t

sin 2 ? ? 2t cos? ? 1 ? 0
2 cos ? 1 , t1t2 ? ? 2 , ???7分 2 sin ? sin ?

设A、B两点对应的参数分别为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ?

| AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?
当? ?

4 cos2 ? 4 2 ? 2 ? , 4 sin ? sin ? sin 2 ?
????10分

?
2

时,|AB|的最小值为2.

24.(10 分) 解:(Ⅰ) x ?1 ? x ? 4 ? 6 等价于

?x ? 1 ? ??2 x ? 5 ? 6
解得: x ? ?

或?

?1 ? x ? 4 ?3 ? 6

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 6

1 11 或x? . 2 2

故不等式 f ( x) ? 6 的解集为 { x x ? ?

1 11 或x ? }. 2 2

??5 分

(Ⅱ)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以: f ( x)min ? a ?1 由题意得: a ?1 ? 2a , 解得 a ? ,∴a 的取值范围 (??, ] . ??8 分

1 3

1 3

??10 分


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