nbhkdz.com冰点文库

2015-2016学年高中数学 2.2.2双曲线的参数方程练习 新人教A版选修4-4

时间:2015-11-21


2.2.2
?预习梳理

双曲线的参数方程

1.已知动点 M 和定点 A(5,0),B(-5,0). (1)若||MA|-|MB||=8,则 M 的轨迹方程是__________________; (2)若|MA|-|MB|=8,则 M 的轨迹方程是____________________; (3)若|MB|-|MA|=8,则 M 的轨迹方程是____________________.
? ?x=asec φ , x2 y2 2. 双曲线 2- 2=1 的参数方程为? (φ 为参数). 规定 φ 的范围为 φ ∈[0, a b ? ?y=btan φ

π 3π 2π ),且φ ≠ ,φ ≠ .这是中心在________,焦点在________上的双曲线参数方程. 2 2 ?预习思考 - =1 的参数方程为________., 16 9 预习梳理 1.(1) - =1 16 9

x2

y2

x2

y2

(2) - =1(x<0) 16 9

x2

y2

(3) - =1(x>0) 16 9 2.原点 x 轴 预习思考
? ?x=4sec θ , ? (θ 为参数) ?y=3tan θ ?

x2

y2

一 层 练 习 1.双曲线?

?x=2 3tan α , (α 为参数)的两焦点坐标是( ?y=6sec α

)

A.(0,-4 3),(0,4 3) B.(-4 3,0),(4 3,0) C.(0,- 3),(0, 3)

1

D.(- 3,0),( 3,0) 1.A α α ? ?x=sin 2 +cos 2 , 2.参数方程? (α 为参数)的普通方程为( ? ?y= 2+sin α A.y -x =1 B.x -y =1 C.y -x =1(|x|≤ 2) D.x -y =1(|x|≤ 2) 2.C 3.与方程 xy=1 等价的曲线的参数方程(t 为参数)是(
? ?x=t , A.? -2 ?y=t ? ? ?x=cos ?y=sec ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

)

B.?

? ?x=sin ?y=csc ?

t, t

C.?

t, t

D.?

? ?x=tan ?y=cot ?

t, t

3.D 4.双曲线?

?x= 3sec 2, 的顶点坐标为________. ?y=tan 2

4.(- 3,0)、( 3,0) 5.圆锥曲线?
? ?x=4sec θ +1, ?y=3tan θ ?

(θ 为参数)的焦点坐标是________.

5.(-4,0)(6,0) 二 层 练 习
?x=e -e , ? 6.参数方程? (t 为参数)表示的曲线是( t -t ?y=e +e ?
t
-t

)

A.双曲线 B.双曲线的下支 C.双曲线的上支 6.C 7.双曲线?
?x=2+3tan φ , ? ? ?y=sec φ

D.圆

(φ 为参数)的渐近线方程为________.
2

1 7.y=± (x-2) 3 8.已知双曲线方程为 x -y =1,M 为双曲线上任意一点,点 M 到两条渐近线的距离分 别为 d1 和 d2,求证:d1 与 d2 的乘积是常数. 8.证明:设 d1 为点 M 到渐近线 y=x 的距离,d2 为点 M 到渐近线 y=-x 的距离, 因为点 M 在双曲线 x -y =1,则可设点 M 坐标为(sec α ,tan α ). |sec α -tan α | , 2 |sec α +tan α | d2= , 2
2 2 2 2

d1=

d1·d2=

|sec α -tan α | 1 = , 2 2

2

2

故 d1 与 d2 的乘积是常数. 三 层 练 习

a? 1? t+ ?, ? ?x=2? ? t? 9.将参数方程? (t 为参数,a>0,b>0)化为普通方程. b? 1? t- ? ? ?y=2? ? t?
1 2x 1 2y 9.解析:∵t+ = ,t- = ,

t

a

t

b

1 4x ? 1? 2 又?t+ ? =t + 2+2= 2 , t a ? t?

2

2

?t-1? =t2+ 1 -2=4y , ? t? t2 b2 ? ?
2 2 2 2 4x 4y ? 1? ? 1? ∴?t+ ? -?t- ? =4= 2 - 2 ,

2

2

?

t?

?

t?

a

b

即 2- 2=1. ∴普通方程为 2- 2=1(a>0,b>0).
? ?x=t+2sec θ , ?y=2t+tan θ . ?

x2 y2 a b

x2 y2 a b

10.设方程?

(1)当 t=1 时,θ 为参数,此时方程表示什么曲线?把参数方程化为普通方程; π (2)当 θ = 时,t 为参数,此时方程表示什么曲线?把参数方程化为普通方程. 4 10.解析:(1)当 t=1 时,θ 为参数,原方程为
3

?x=1+2sec θ , ? ? 消去参数 θ . ? ?y=2+tan θ ,

∴? 即

?x-1? -(y-2)2=1, ? ? 2 ?
(x-1) 2 +(y-2) =1,这是一个焦点在 x 轴的双曲线. 4
2

2

?x=2 2+t, π (2)当 θ = 时,t 为参数,原方程化为? 4 ?y=1+2t,
消去参数 t,得 y=2x+1-4 2,这是一条直线. 1 x= (e +e ? ? 2 11.已知曲线 C 的方程为? 1 y= (e -e ? ? 2
t t
-t

)cos θ , )sin θ .

-t

当 t 是非零常数,θ 为参数时,C 是什么曲线?当 θ 为不等于 参数时,C 是什么曲线?两曲线有何共同特征? 11.分析:研究曲线的参数方程要首先明确哪个量是参变量. 解析:当 θ 为参数时,将原参数方程记为①, 将参数方程①化为 2x ? ?e +e ? 2y ?e -e ?
t t
-t


2

(k∈Z)的常数,t 为

=cos θ , =sin θ ,

-t

平方相加消去 θ ,得

x2

?e +e ? ? 2 ? ? ?
t

t

-t

2



y2

?e -e ? ? 2 ? ? ?
t

t

-t

=1.② 2

∵(e +e ) >(e -e ) >0, ∴方程②表示的曲线为椭圆. 当 t 为参数时, 2x ? ?cos θ =e +e 将方程①化为? 2y ? ?sin θ =e -e
t t
-t

-t 2

-t 2

, .

-t

平方相减,消去 t,得 2 - =1.③ 2 cos θ sin θ
4

x2

y2

∴方程③表示的曲线为双曲线,即 C 为双曲线.

?e +e ? -?e -e ? =1, 又在方程②中? 则 c=1, 椭圆②的焦点为(-1, 0), (1, 0). 因 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?
此椭圆和双曲线有共同的焦点. 12.如右图所示,设 M 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上任意一点,过点 M 作双曲线两条 渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于 A,B 两点,试求平行四边形 MAOB 的面积. 12.解析:双曲线的渐近线方程为 y=± x. 不妨设 M 为双曲线右支上一点,其坐标为(asec φ ,btan φ ),则直线 MA 的方程为 y -btan φ = - (x-asec φ ), 将 y= x 代入解得点 A 的横坐标为 xA= (sec φ -tan φ ), a 2 同理可得点 B 的横坐标为 xB= (sec φ -tan φ )). 2 设∠AOx=α ,则 tan α = , 所以平行四边形 MAOB 的面积为 S??MAOB?=|OA|· |OB|· sin 2α - · · sin cos α cos α 2α =

t

-t

2

t

-t

2

x2 y2 a b

b a

b a

b

a

a

b a

xA

xB

a2(sec2 φ -tan2 φ )
4cos α
2

·sin 2α = ·tan α = · = . 2 2 a 2

a2

a2 b ab

1.判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法. 如果 x 对应的参数形式是 sec φ ,则焦点在 x 轴上. 如果 y 对应的参数形式是 sec φ ,则焦点在 y 轴上. 2.双曲线标准方程与参数方程的互化可由三角变换公式 sec φ -tan φ =1 得到. 2 2 x2 y2 ?x? ?y? 由 2- 2=1 得? ? -? ? =1, a b
2 2

a

b

? ?

? ?

令 =sec φ ,由三角公式 sec φ -tan φ =1,

x a

2

2

5

2 2 ?y? ?x? 2 2 得? ? =? ? -1=sec φ -1=tan φ , ?b? ?a? 取 =tan φ ,得双曲线的参数方程为
? ?x=asec φ , ? (φ 为参数). ?y=btan φ ?

y b

3.对于双曲线而言,它的参数方程主要应用价值在于: (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标; (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题,从而运用三角性质及变换公式帮助求解 最值、参数的取值范围等问题.

6


赞助商链接

2015-2016学年高中数学 2.1.2圆的参数方程及参数方程与...

2015-2016学年高中数学 2.1.2的参数方程及参数方程与普通方程的互化练习 新人教A版选修4-4_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 ?预习梳理 圆的参数方程及...

...2015学年高中数学 2.2.2双曲线的参数方程同步检测试...

【金版学案】 2014-2015 学年高中数学 2.2.2 双曲线的参数方程同步 检测试题 新人教 A 版选修 4-4 一层练习 1.双曲线? ?x=2 3tan α, ?y=6sec ...

2015-2016学年高中数学 第二讲 参数方程本讲小结 新人...

2015-2016学年高中数学 第二讲 参数方程本讲小结 新人教A版选修4-4_数学_...(这三个内容新教 材中也有)、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程. 2.由于...

...方程3直线的参数方程课后练习新人教A版选修4-4资料

2016-2017学年高中数学2讲参数方程3直线的参数方程课后练习新人教A版选修4-4资料 - 2016-2017 学年高中数学 第 2 讲 参数方程 3 直线的参数方程课后 练习 ...

2015-2016学年高中数学 第二讲 参数方程单元检测卷 新...

2015-2016学年高中数学 第二讲 参数方程单元检测卷 新人教A版选修4-4_数学_...?x=2+t, 2 2 (t 为参数)被双曲线 x -y =1 上截得的弦长. ?y= ...

2015年高中数学《第二章 参数方程》章节测试卷(A)新人教版选修4-4...

2015年高中数学《第二章 参数方程》章节测试卷(A)新人教版选修4-4_数学_高中教育_教育专区。数学选修 4-4《第参数方程》章节测试卷 A(含答案) 一、...

2015-2016学年高中数学 2.4渐开线与摆线练习 新人教A版...

2015-2016学年高中数学 2.4渐开线与摆线练习 新人教A版选修4-4_数学_高中教育...5 三层练习 10.已知圆的直径为 2,其渐开线的参数方程对应的曲线上两点 A,B ...

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案: 2.-3. 双曲...

双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案:Word版含答案 ...

(2015版)人教A版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全册...

人教A 版高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程全册完整教案 (2015 最新版)一 第一讲 坐标系 平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:...

2015-2016学年高中数学 1.2极点坐标练习 新人教A版选修4-4

2015-2016学年高中数学 1.2极点坐标练习 新人教A版选修4-4_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 1.2 极点坐标练习 新人教 A 版选修 4-4 ?...