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【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件:3.1.2《复数的几何意义》

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3.1 数系的扩充与复数 的概念
3.1.2 复数的几何意义

本节主要学习复数的几何意义。以在几何上,我们用什

么来表示实数引入新课。教学过程以学生探究为主,利用一
个复数是由什么来确定,引导学生来理解(1)复数的第一个 几何意义:复数与复平面内的点一一对应;(2)复数的第二

个内何意义:复数与向量一一对应。使学生能够灵活应用所
学知识,加深对复数几何意义的理解。 教学过程例题与变式结合,通过例1和变式1和2巩固掌

握复数与复平面内的点一一对应,解决了有关复数与点之间
的相关问题。通过例2和变式巩固掌握复数的模、以及复数所 对应的点所表示的几何图形的问题等。从而加深了对复数两 个几何意义的理解。

在几何上,我们用 什么来表示实数?

实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应

实数

数轴上的点

(数 )

(形 )
类比实数的表示, 可以用什么来表示 复数?

想 一 想 ?

回 忆

复数的一
般形式?

Z=a+bi(a, b∈R)
a为实部!
b为虚部!
一个复数由



什么唯一确
定?

复数的几何意义(一)
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)

(数) y

(形)
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面 ------复数平面 (简称复平面)

z=a+bi Z(a,b)
a b

o

x

x轴------实轴 y轴------虚轴

例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点
位于第二象限,求实数m允许的取值范围。

? m 2 ? m ? 6 ? 0, ? ?3 ? m ? 2, 解:由 ? 2 得? ?m ? m ? 2 ? 0, ?m ? ?2 或 m ? 1,

? m ? (?3, ?2) ? (1, 2).
温 馨 提 示

表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 足的不等式组的问题 在象限的问题

(几何问题)

(代数问题)

一种重要的数学思想:数形结合思想

变式训练1:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数m的值.

解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内

所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2),
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0,

∴m=1或m=-2.

变式训练2:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i,证明:对一切 m,此复数所对应的点不可能位于第四象限.

证明:若复数所对应的点位于第四象限,
?m 2 ? m ? 6 ? 0, ?m ? ?3或m ? 2, 则? 2 即? ?m ? m ? 2 ? 0, ? ?2 ? m ? 1.
所以不等式解集为空集,
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

复数的几何意义(二)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ
y

z=a+bi Z(a,b)
a b

o

x

复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义:

??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
y z =a +b i Z (a,b)
O

x

??? ? | z | = | OZ | ? a2 ? b2

例2 求下列复数的模: (1)z1=-5i; (2)z2=-3+4i ; (3)z3=5-5i; (4)z4=1+mi(m∈R) ; (5)z5=4a-3ai(a<0).
解:(1) Z1 ? 02 ? 52 ? 5.

2 (2) Z 2 ? (-3) ? 42 ? 5.

2 (3) Z 3 ? 52 ? (-5) ? 5 2.

(4) Z4 ?

12 ? m 2 .

(5)Z5 ? (4a)2 ? (?3a)2 ? ?5a.

变式训练:
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个? 这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形? 解:(1)满足|z|=5(z∈R)的 z值有两个,为-5和5.

5

y

(2)设z=x+yi(x,y∈R),则
| z |? x
2

? y

2

? 5.

–5 O

5 x

所以满足|z|=5(z∈C)对应的点在 复平面构成了以原点为圆心, 以5为半径的圆.

–5

复数的几何意义
复数z=a+bi

平面向量 OZ

??? ?
一一对应

直角坐标系中 的点Z(a,b)

比 一 比 ?

?? ? oz
复数还有哪些特征
能和平面向量类比?


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